حل ذاتي التشابه

يمكن إيجاد التحديد المبكر للحلول ذاتية التشابه من النوع الثاني في مسائل موجات الصدمة المنهارة ( مسألة غوديرلي-لانداو-ستانيوكوفيتش )، التي حللها جي. غوديرلي (1942) وليف لانداو وكيه. بي. ستانيوكوفيتش (1944)، ^{[ 3 ]} وانتشار موجات الصدمة بواسطة نبضة قصيرة، التي حللها كارل فريدريش فون فايتسكر ^{[ 4 ]} وياكوف بوريسوفيتش زيلدوفيتش (1956)، اللذان صنّفاها أيضًا كنوع ثانٍ لأول مرة. ^{[ 5 ]} نُشرت دراسة مستقلة حول نفس المجال بواسطة ليونيد إيفانوفيتش سيدوف في عام 1959. ^{[ 6 ]} وقُدّم وصف كامل في عام 1972 بواسطة غريغوري بارينبلات وياكوف بوريسوفيتش زيلدوفيتش . ^{[ 7 ]} يظهر الحل المتشابه ذاتيًا من النوع الثاني أيضًا في سياقات مختلفة، مثل مسائل الطبقة الحدية المعرضة لاضطرابات صغيرة، ^{[ 8 ]} كما حدده كيث ستيوارتسون ، ^{[ 9 ]} وبول أ. ليبي وهربرت فوكس. ^{[ 10 ]} تُعد دوامات موفات أيضًا حلًا متشابهًا ذاتيًا من النوع الثاني.

مثال بسيط على ذلك هو نطاق شبه لانهائي محاط بجدار صلب ومملوء بسائل لزج. ^{[ 11 ]} عند الزمن${\displaystyle t=0}$تم تصميم الجدار ليتحرك بسرعة ثابتة${\displaystyle U}$في اتجاه ثابت (للتوضيح، قل الـ${\displaystyle x}$التوجيه والنظر فقط في${\displaystyle xy}$في المستوى، يمكن ملاحظة عدم وجود مقياس طول مميز في المسألة. تُعرف هذه المسألة بمسألة رايلي . أما شروط عدم الانزلاق على الحدود فهي $${\displaystyle u{(y\!=\!0)}=U}$$

كما يتم فرض شرط عدم تأثير الصفيحة على السائل عند اللانهاية. $${\displaystyle u{(y\!\to \!\infty )}=0.}$$

والآن، من معادلات نافيير-ستوكس $${\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {u}}\right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\vec {u}}}$$ يمكن ملاحظة أن هذا التدفق سيكون مستقيماً ، مع وجود تدرجات في${\displaystyle y}$الاتجاه والتدفق في${\displaystyle x}$الاتجاه، وأن مصطلح الضغط لن يحتوي على مركبة مماسية بحيث${\displaystyle {\dfrac {\partial p}{\partial y}}=0}$. ال${\displaystyle x}$يصبح مكون معادلات نافيير-ستوكس بعد ذلك $${\displaystyle {\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}{\vec {u}}}{\partial y^{2}}}}$$ ويمكن تطبيق حجج القياس لإظهار ذلك $${\displaystyle {\frac {U}{t}}\sim \nu {\frac {U}{y^{2}}}}$$ مما يعطي مقياس${\displaystyle y}$التنسيق كـ $${\displaystyle y\sim (\nu t)^{1/2}.}$$

يسمح هذا بطرح فرضية ذاتية التشابه بحيث، مع${\displaystyle f}$و${\displaystyle \eta }$بلا أبعاد، $${\displaystyle u=Uf{\left(\eta \equiv {\dfrac {y}{(\nu t)^{1/2}}}\right)}}$$

يتضمن ما سبق جميع الجوانب الفيزيائية ذات الصلة، والخطوة التالية هي حل المعادلات، والتي ستتضمن في كثير من الحالات استخدام الطرق العددية. هذه المعادلة هي $${\displaystyle -\eta f'/2=f''}$$ مع حل يحقق الشروط الحدية التي $${\displaystyle f=1-\operatorname {erf} (\eta /2)\quad {\text{ أو }}\quad u=U\left(1-\operatorname {erf} \left(y/(4\nu t)^{1/2}\right)\right)}$$ وهو حل متشابه ذاتيًا من النوع الأول.

في تطبيقات نقل الحرارة العابرة ، مثل التسخين الناتج عن اصطدام المواد على سطح السفينة أثناء إطلاق الصواريخ وتحديد أبعاد أنظمة الحماية الحرارية ، يمكن إيجاد حلول ذاتية التشابه للأجسام الصلبة شبه اللانهائية. ^{[ 12 ] [ 13 ]} المعادلة الحاكمة عندما يكون التوصيل الحراري هو آلية نقل الحرارة الأساسية هي معادلة الطاقة أحادية البعد:$${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(k{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)}$$أين${\displaystyle \rho }$هي كثافة المادة ،${\displaystyle c_{p}}$هي السعة الحرارية النوعية للمادة ،${\displaystyle k}$تمثل الموصلية الحرارية للمادة . في حالة افتراض أن المادة متجانسة وخصائصها ثابتة، فإن معادلة الطاقة تُختزل إلى معادلة الحرارة :$${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}},\quad \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}}$$مع${\displaystyle \alpha }$حيث تمثل الانتشارية الحرارية . من خلال إدخال متغير التشابه${\displaystyle \eta =x/{\sqrt {t}}}$وبافتراض أن${\displaystyle T(t,x)=f(\eta )}$، يمكن تحويل المعادلة التفاضلية الجزئية إلى معادلة تفاضلية عادية:$${\displaystyle f''(\eta )+{\frac {1}{2\alpha }}\eta f'(\eta )=0}$$إذا افترضنا نموذجًا بسيطًا لتحديد حجم نظام الحماية الحرارية، حيث يتم تجاهل التحلل وتدفق غاز الانحلال الحراري وتراجع السطح، مع درجة الحرارة الأولية${\displaystyle T(0,x)=f(\infty )=T_{i}}$ودرجة حرارة سطح ثابتة${\displaystyle T(t,0)=f(0)=T_{s}}$ثم يمكن حل المعادلة التفاضلية العادية لإيجاد درجة الحرارة عند عمق معين${\displaystyle x}$والوقت${\displaystyle t}$: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle T(t,x)={\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {\alpha t}}}}\right)\left(T_{i}-T_{s}\right)+T_{s}}$$أين${\displaystyle {\text{erf}}(\cdot )}$هي دالة الخطأ .