تركيبة رباط الحذاء

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 91 صور
الموسوعة الحرة

مخطط رباط الحذاء لتحديد مساحة مضلع ذي إحداثيات نقطية(x1،y1)،...،(xن،yن){\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}

صيغة رباط الحذاء ، والمعروفة أيضًا بصيغة غاوس للمساحة وصيغة المساح ، [ 1 ] هي خوارزمية رياضية لتحديد مساحة مضلع بسيط تُحدد رؤوسه بإحداثياتها الديكارتية في المستوى. [ 2 ] سُميت بصيغة رباط الحذاء نظرًا للضرب التبادلي الثابت للإحداثيات المكونة للمضلع، كما هو الحال في ربط أربطة الأحذية. [ 2 ] ولها تطبيقات في المساحة والغابات، [ 3 ] وغيرها من المجالات.

وصف ألبريشت لودفيج فريدريش مايستر (1724-1788) هذه الصيغة عام 1769 [ 4 ] ، وهي تستند إلى صيغة شبه المنحرف التي وصفها كارل فريدريش جاوس وسي جي جاكوبي [ 5 ] . ويمكن اعتبار صيغة المساحة المثلثية حالة خاصة من نظرية غرين .

يمكن تطبيق صيغة المساحة أيضًا على المضلعات المتداخلة ذاتيًا، إذ يظل معنى المساحة واضحًا حتى وإن لم تكن هذه المضلعات بسيطة في العادة . [ 6 ] علاوة على ذلك، قد يكون للمضلع المتداخل ذاتيًا تفسيرات متعددة، ولكن يمكن استخدام صيغة رباط الحذاء لإثبات أن مساحة المضلع ثابتة بغض النظر عن التفسير. [ 7 ]

صيغ حساب مساحة المضلع

الفكرة الأساسية: أي ضلع من أضلاع المضلع يحدد المساحة الموقعة لشبه المنحرف. مجموع هذه المساحات يساوي مساحة المضلع.

المعطيات: مضلع بسيط مستوٍ ذو سلسلة من النقاط ذات اتجاه موجب (عكس اتجاه عقارب الساعة)Pأنا=(xأنا،yأنا)،أنا=1،...،ن{\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),i=1,\dots ,n}في نظام إحداثيات ديكارتية . ولتبسيط الصيغ أدناه، من الملائم وضعP0=Pن،Pن+1=P1{\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}.

الصيغ: يمكن التعبير عن مساحة المضلع المعطى بمجموعة متنوعة من الصيغ، والتي ترتبط بعمليات بسيطة (انظر أدناه): إذا كان المضلع سالب الاتجاه ، فإن النتيجةأ{\displaystyle A}إحدى الصيغ سالبة. على أي حال|أ|{\displaystyle |A|}هي المساحة المطلوبة للمضلع. [ 8 ]

صيغة شبه المنحرف

تُلخص صيغة شبه المنحرف سلسلة من المساحات الموجهةأأنا=12(yأنا+yأنا+1)(xأنا-xأنا+1){\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}من أشباه المنحرف معPأناPأنا+1{\displaystyle P_{i}P_{i+1}}كأحد حوافها الأربعة (انظر أدناه): أ=12∑أنا=1ن(yأنا+yأنا+1)(xأنا-xأنا+1)=12((y1+y2)(x1-x2)+⋯+(yن+y1)(xن-x1)){\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2})+\cdots +(y_{n}+y_{1})(x_{n}-x_{1}){\Big )}\end{aligned}}}

صيغة المثلث

تجمع صيغة المثلث المساحات الموجهةأأنا{\displaystyle A_{i}}من المثلثاتياPأناPأنا+1{\displaystyle OP_{i}P_{i+1}}[ 9 ]​ب=12∑أنا=1ن(xأناyأنا+1-xأنا+1yأنا)=12∑أنا=1ن|xأناxأنا+1yأناyأنا+1|=12∑أنا=1ن|xأناyأناxأنا+1yأنا+1|=12(x1y2-x2y1+x2y3-x3y2+⋯+xنy1-x1yن){\displaystyle {\begin{aligned}B&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{vmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}{\Big )}\end{aligned}}}

تركيبة رباط الحذاء

مخطط رباط الحذاء، الشكل العمودي: مع رسم جميع الخطوط المائلة، تشبه المصفوفة بشكل فضفاض حذاءً مربوط الأربطة، مما أدى إلى تسمية الخوارزمية.

تُعد صيغة المثلث أساس صيغة رباط الحذاء الشائعة ، وهي عبارة عن مخطط يعمل على تحسين حساب مجموع المحددات 2×2 يدويًا: 2أ=|x1x2y1y2|+|x2x3y2y3|+⋯+|xنx1yنy1|=|x1x2x3⋯xنx1y1y2y3⋯yنy1|{\displaystyle {\begin{aligned}2A&={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+\cdots +{\begin{vmatrix}x_{n}&x_{1}\\y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\\[10mu]&={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\cdots &x_{n}&x_{1}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\cdots &y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}

في بعض الأحيان يتم تبديل هذا المحدد (كتابته عموديًا، في عمودين)، كما هو موضح في الرسم التخطيطي.

صيغ أخرى

أ=12∑أنا=1نyأنا(xأنا-1-xأنا+1)=12(y1(xن-x2)+y2(x1-x3)+⋯+yن(xن-1-x1)){\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}y_{1}(x_{n}-x_{2})+y_{2}(x_{1}-x_{3})+\cdots +y_{n}(x_{n-1}-x_{1}){\Big )}\end{aligned}}}أ=12∑أنا=1نxأنا(yأنا+1-yأنا-1){\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}

الجبر الخارجي

يمكن تقديم صيغة موجزة للغاية للمعادلة بدلالة الجبر الخارجي . ليكنv1،v2،...،vن{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}لتكن الرؤوس المتتالية للمضلع. توسيع الإحداثيات الديكارتية للجداء الخارجي بالنسبة إلى أساس المستوى المتعامد القياسي المرتب.(x،y){\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}أعطِvأنا∧vأنا+1=(xأناyأنا+1-xأنا+1yأنا)x∧y{\displaystyle \mathbf {v} _{i}\wedge \mathbf {v} _{i+1}=(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\;\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} }والمساحة الموجهة معطاة على النحو التالي. أ=12∑أنا=1نvأنا∧vأنا+1=12∑أنا=1ن(xأناyأنا+1-xأنا+1yأنا)x∧y{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}v_{i}\wedge v_{i+1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\;\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} } لاحظ أن المساحة معطاة كمضاعف لمساحة الوحدةx∧y{\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {y} }.

مثال
على سبيل المثال، شكل رباط الحذاء الأفقي.

مثال

بالنسبة لمنطقة الخماسي مع P1=(1،6)،P2=(3،1)،P3=(7،2)،P4=(4،4)،P5=(8،5){\displaystyle {\begin{aligned}&P_{1}=(1,6),P_{2}=(3,1),P_{3}=(7,2),\\[5pt]&P_{4}=(4,4),P_{5}=(8,5)\end{aligned}}} يحصل المرء 2أ=|1361|+|3712|+|7424|+|4845|+|8156|=(1-18)+(6-7)+(28-8)+(20-32)+(48-5)=33أ=16.5{\displaystyle {\begin{aligned}2A&={\begin{vmatrix}1&3\\6&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&7\\1&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}7&4\\2&4\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}4&8\\4&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}8&1\\5&6\end{vmatrix}}\\[5pt]&=(1-18)\;+(6-7)\;+(28-8)\;+(20-32)\;+(48-5)=33\\[5pt]A&=16.5\end{aligned}}}

ميزة شكل رباط الحذاء: لا يلزم كتابة سوى 6 أعمدة لحساب المحددات الخمسة باستخدام 10 أعمدة.

اشتقاق الصيغ

صيغة شبه المنحرف

اشتقاق صيغة شبه المنحرف

الحافةPأنا،Pأنا+1{\displaystyle P_{i},P_{i+1}}يحدد شبه المنحرف(xأنا،yأنا)،(xأنا+1،yأنا+1)،(xأنا،0)،(xأنا+1،0){\displaystyle (x_{i},y_{i}),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_{i},0),(x_{i+1},0)}بمنطقتها الموجهة

أأنا=12(yأنا+yأنا+1)(xأنا-xأنا+1){\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}

في حالةxأنا<xأنا+1{\displaystyle x_{i}<x_{i+1}}الرقمأأنا{\displaystyle A_{i}}سلبي، وإلا إيجابي أوأأنا=0{\displaystyle A_{i}=0}لوxأنا=xأنا+1{\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}في الرسم التخطيطي، يُشار إلى اتجاه الحافة بسهم. ويُشير اللون إلى إشارةأأنا{\displaystyle A_{i}}اللون الأحمر يعني:أأنا<0{\displaystyle A_{i}<0}يشير اللون الأخضر إلىأأنا>0{\displaystyle A_{i}>0}في الحالة الأولى، يُسمى شبه المنحرف سالبًا، وفي الحالة الثانية موجبًا . تُحذف أجزاء شبه المنحرف السالبة من أجزاء شبه المنحرف الموجبة التي تقع خارج المضلع. في حالة المضلع المحدب (كما في المثال العلوي في الرسم التوضيحي)، يكون هذا واضحًا: مساحة المضلع هي مجموع مساحات شبه المنحرف الموجبة (الحواف الخضراء) مطروحًا منها مساحات شبه المنحرف السالبة (الحواف الحمراء). أما في حالة المضلع غير المحدب، فيجب دراسة الوضع بعناية أكبر (انظر الرسم التوضيحي). في كلتا الحالتين، تكون النتيجة أ=∑أنا=1نأأنا=12∑أنا=1ن(yأنا+yأنا+1)(xأنا-xأنا+1){\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}A_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}

الشكل المثلثي، شكل المحدد

الشكل المثلثي: يشير لون الحواف إلى أي مساحة المثلث موجبة (أخضر) وسالبة (أحمر) على التوالي.

حذف الأقواس واستخدام ∑أنا=1نxأناyأنا=∑أنا=1نxأنا+1yأنا+1{\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i+1}}(انظر الاتفاقية) Pن+1=P1{\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}أعلاه)، نحصل على الصيغة المحددة لصيغة المساحة: أ=12∑أنا=1ن(xأناyأنا+1-xأنا+1yأنا)=12∑أنا=1ن|xأناxأنا+1yأناyأنا+1|{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}} لأن نصف المحدد رقم i هو المساحة الموجهة للمثلثيا،Pأنا،Pأنا+1{\displaystyle O,P_{i},P_{i+1}}يُطلق على هذا الإصدار من صيغة المساحة اسم صيغة المثلث .

صيغ أخرى

مع∑أنا=1نxأناyأنا+1=∑أنا=1نxأنا-1yأنا {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}\ }(انظر الاتفاقية) P0=Pن،Pن+1=P1{\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}أعلاه) يحصل المرء 2أ=∑أنا=1ن(xأناyأنا+1-xأنا+1yأنا)=∑أنا=1نxأناyأنا+1-∑أنا=1نxأنا+1yأنا=∑أنا=1نxأنا-1yأنا-∑أنا=1نxأنا+1yأنا{\displaystyle 2A=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}} بدمج المجموعين واستبعادyأنا{\displaystyle y_{i}}يؤدي إلى أ=12∑أنا=1نyأنا(xأنا-1-xأنا+1){\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})} بهوية∑أنا=1نxأنا+1yأنا=∑أنا=1نxأناyأنا-1{\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i-1}}يحصل المرء أ=12∑أنا=1نxأنا(yأنا+1-yأنا-1){\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}

بدلاً من ذلك، هذه حالة خاصة من نظرية غرين حيث يتم تعيين إحدى الدوال إلى 0 والأخرى إلى x، بحيث تكون المساحة هي تكامل xdy على طول الحدود.

التلاعب بالمضلع

أ(P1،...،Pن){\displaystyle A(P_{1},\dots ,P_{n})}يشير إلى المنطقة الموجهة للمضلع البسيطP1،...،Pن{\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}معن≥4{\displaystyle n\geq 4}(انظر أعلاه).أ{\displaystyle A}تكون القيمة موجبة/سالبة إذا كان اتجاه المضلع موجبًا/سالبًا. من صيغة المثلث لقانون المساحة أو الرسم البياني أدناه، يُلاحظ ما يلي:1<ك<ن{\displaystyle 1<k<n}: أ(P1،...،Pن)=أ(P1،...،Pك-1،Pك+1،...،Pن)+أ(Pك-1،Pك،Pك+1){\displaystyle A(P_{1},\dots ,P_{n})=A(P_{1},\dots ,P_{k-1},P_{k+1},\dots ,P_{n})+A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})} في حالةك=1أون{\displaystyle k=1\;{\text{or}}\;n}ينبغي أولاً تحريك المؤشرات.

لذلك:

  1. الانتقالPك{\displaystyle P_{k}}يؤثر فقطأ(Pك-1،Pك،Pك+1){\displaystyle A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}ويغادرأ(P1،...،Pك-1،Pك+1،...،Pن){\displaystyle A(P_{1},...,P_{k-1},P_{k+1},...,P_{n})}لم يطرأ أي تغيير. لا يوجد تغيير في المساحة إذاPك{\displaystyle P_{k}}يتم تحريكها بالتوازي معPك-1Pك+1¯{\displaystyle {\overline {P_{k-1}P_{k+1}}}}.
  2. تطهيرPك{\displaystyle P_{k}}يغير المساحة الإجمالية بمقدارأ(Pك-1،Pك،Pك+1){\displaystyle A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}والتي يمكن أن تكون إيجابية أو سلبية.
  3. نقطة الإدخالسؤال{\displaystyle Q}بينPك،Pك+1{\displaystyle P_{k},P_{k+1}}يغير المساحة الإجمالية بمقدارأ(Pك،سؤال،Pك+1){\displaystyle A(P_{k},Q,P_{k+1})}والتي يمكن أن تكون إيجابية أو سلبية.

مثال:

P1=(3،1)،P2=(7،2)،P3=(4،4)،{\displaystyle P_{1}=(3,1),P_{2}=(7,2),P_{3}=(4,4),}
P4=(8،6)،P5=(1،7)، سؤال=(4،3){\displaystyle P_{4}=(8,6),P_{5}=(1,7),\ Q=(4,3)}
التلاعب بالمضلع

باستخدام الترميز المذكور أعلاه لمخطط رباط الحذاء، نحصل على المنطقة الموجهة من

  • المضلع الأزرق :أ(P1،P2،P3،P4،P5)=12|374813124671|=20.5{\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&7&4&8&1&3\\1&2&4&6&7&1\end{vmatrix}}=20.5}
  • المثلث الأخضر :أ(P2،P3،P4)=12|74872462|=-7{\displaystyle A(P_{2},P_{3},P_{4})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}7&4&8&7\\2&4&6&2\end{vmatrix}}=-7}
  • المثلث الأحمر :أ(P1،سؤال،P2)=12|34731321|=-3.5{\displaystyle A(P_{1},Q,P_{2})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&4&7&3\\1&3&2&1\end{vmatrix}}=-3.5}
  • مضلع أزرق ناقص نقطةP3{\displaystyle P_{3}}:أ(P1،P2،P4،P5)=12|3781312671|=27.5{\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&7&8&1&3\\1&2&6&7&1\end{vmatrix}}=27.5}
  • مضلع أزرق زائد نقطةسؤال{\displaystyle Q}بينP1،P2{\displaystyle P_{1},P_{2}}:أ(P1،سؤال،P2،P3،P4،P5)=12|34748131324671|=17{\displaystyle A(P_{1},Q,P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&4&7&4&8&1&3\\1&3&2&4&6&7&1\end{vmatrix}}=17}

يتم التحقق من صحة المعادلات التالية: أ(P1،P2،P3،P4،P5)=أ(P1،P2،P4،P5)+أ(P2،P3،P4)=20.5{\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})=A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5})+A(P_{2},P_{3},P_{4})=20.5}أ(P1،P2،P3،P4،P5)+أ(P1،سؤال،P2)=أ(P1،سؤال،P2،P3،P4،P5)=17{\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})+A(P_{1},Q,P_{2})=A(P_{1},Q,P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})=17}

تعميم

في الأبعاد الأعلى، يمكن حساب مساحة المضلع من رؤوسه باستخدام الصيغة الجبرية الخارجية لصيغة رباط الحذاء (على سبيل المثال، في ثلاثة أبعاد، مجموع الضرب الاتجاهي المتتالي ):أ=12‖∑أنا=1نvأنا∧vأنا+1‖{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left\|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\wedge v_{i+1}\right\|}(عندما لا تكون الرؤوس في مستوى واحد، فإن هذا يحسب مساحة المتجه المحصورة داخل الحلقة، أي المساحة المسقطة أو "الظل" في المستوى الذي تكون فيه أكبر ما يمكن).

يمكن تعميم هذه الصيغة لحساب حجم متعدد السطوح ذي الأبعاد n من إحداثيات رؤوسه، أو بدقة أكبر، من شبكة سطحه الفائق . [ 10 ] على سبيل المثال، يمكن إيجاد حجم متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد عن طريق تقسيم شبكة سطحه إلى مثلثات وجمع الأحجام الموقعة للأهرامات الرباعية التي تشكلها كل مثلثات السطح ونقطة الأصل:V=16‖∑Fvأ∧vب∧vج‖{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left\|\sum _{F}v_{a}\wedge v_{b}\wedge v_{c}\right\|}حيث يكون المجموع على جميع الأوجه، ويجب الحرص على ترتيب الرؤوس بشكل متسق (جميعها باتجاه عقارب الساعة أو عكسها عند النظر إليها من خارج المجسم). بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق تعبير بدلالة مساحات الأوجه والمتجهات العمودية على السطح باستخدام نظرية التباعد (انظر المجسم § الحجم ).

دليل

قم بتطبيق نظرية التباعد على حقل المتجهاتv(x،y،z)=(x،y،z){\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=(x,y,z)}والمجسم متعدد الأوجهP{\displaystyle P}مع الحدود∂P{\displaystyle \partial P}يتكون من وجوه مثلثةFأنا{\displaystyle F_{i}}:

∇⋅v=∂v∂x+∂v∂y+∂v∂z=3{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}=3} لذا 13∫P∇⋅vدV=V(P){\displaystyle {\frac {1}{3}}\int _{P}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV=V(P)}

لكل وجه مثلثF{\displaystyle F}مع رؤوسv1،v2،v3{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}، نرمز إلى متجه العمودي الخارجي بـن{\displaystyle \mathbf {n} }، نرمز إلى المساحة بـأ{\displaystyle A}.

نأ=(v3-v2)∧(v1-v2){\displaystyle \mathbf {n} A=(v_{3}-v_{2})\wedge (v_{1}-v_{2})}هو المتجه العمودي لـF{\displaystyle F}بحجمأ{\displaystyle A}.

تدفقv{\displaystyle \mathbf {v} }خلالF{\displaystyle F}يكون∫Fv⋅ندأ{\displaystyle \int _{F}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA}

لكل نقطة(x،y،z){\displaystyle (x,y,z)}علىF{\displaystyle F}، v(x،y،z)⋅ن{\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)\cdot \mathbf {n} }هو إسقاط المتجه(x،y،z){\displaystyle (x,y,z)}على متجه الوحدة العمودين{\displaystyle \mathbf {n} }وهو الارتفاعح{\displaystyle h}من رباعي الأوجه المتكون بواسطةv1،v2،v3{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}و(0،0،0){\displaystyle (0,0,0)}إذن، الدالة المراد تكاملها ثابتة.ح{\displaystyle h}علىF{\displaystyle F}.

∫Fv⋅ندأ=أ⋅ح=±12‖v1∧v2∧v3‖{\displaystyle \int _{F}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA=A\cdot h=\pm {\frac {1}{2}}\|v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3}\|}

أين‖v1∧v2∧v3‖{\displaystyle \|v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3}\|}حجمه يساوي 6 أضعاف حجم رباعي الأوجه المتكون بواسطةv1،v2،v3{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}و(0،0،0){\displaystyle (0,0,0)}إشارة القيمة العددية الزائفةv1∧v2∧v3{\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3}}يمثل اتجاه منطقتنا، ويجب أخذه في الاعتبار لحساب التدفق الكلي.

التدفق الكلي هو مجموع التدفقات عبر جميع الأوجه:

V(P)=13∫∂Pv⋅ندأ=16‖∑Fv1∧v2∧v3‖{\displaystyle V(P)={\frac {1}{3}}\int _{\partial P}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA={\frac {1}{6}}\left\|\sum _{F}v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3}\right\|}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بارت برادن (1986). "صيغة المساحة للمساح" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 17 (4): 326-337 . doi : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 29 يونيو 2014. 
  2. 1 2 دالكه، كارل. "صيغة رباط الحذاء" . تم الاطلاع عليه في 9 يونيو 2008 .
  3. ↑ هانز بريتزش، ديناميكيات الغابات، النمو والإنتاج: من القياس إلى النمذجة ، سبرينغر، 2009، رقم ISBN 3-540-88306-1، ص 232.
  4. ↑ مايستر، ألف (1769)، "جنراليا دي جينيسي فيجوراروم بلاناروم إي إندي بيندينتيبوس إيروم المعاطف" ، نوفمبر كوم. جوت. (باللاتينية) 1 : 144.
  5. ^ ماكس كوشر، ألويس كريج: إيبين جيوميتري ، سبرينغر-فيرلاغ، 2013، ISBN 3662068095، 9783662068090، ص. 116
  6. ↑ بي دبليو شور؛ سي جيه فان ويك (1992)، "الكشف عن المنحنيات المتداخلة ذاتيًا وتحليلها"، مجلة الهندسة الحاسوبية: النظرية والتطبيقات ، 2 (1): 31-50 ، doi : 10.1016/0925-7721(92)90019-O
  7. ↑ رالف ب. بولاند؛ خورخي أوروتيا (2000). مسائل مساحة المضلعات . المؤتمر الكندي الثاني عشر للهندسة الحسابية. الصفحات 159-162 . 
  8. ↑ أنتي لاكسونين: دليل البرمجة التنافسية: تعلم الخوارزميات وتحسينها من خلال المسابقات ، سبرينغر، 2018، ISBN 3319725475، 9783319725475، ص 217
  9. ↑ مورين أبرو دي سوزا، همبرتو ريميغيو غامبا، هيليو بيدريني: التصوير متعدد الوسائط: التطبيقات والتقنيات الحسابية ، سبرينغر، 2018، ISBN 331998974X، 9783319989747، ص 229
  10. ↑ ألجوير، يوجين ل.؛ شميدت، فيليب هـ. (1986). "حساب أحجام المجسمات متعددة الأوجه" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 46 (173): 171-174 . doi : 10.2307/2008221 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2008221 .