تقريب بسيط للنسبة المئوية

التقريب الكسري البسيط (SRA) هو فرع من طرق الاستيفاء باستخدام الدوال الكسرية . ويقوم هذا النوع من التقريب باستيفاء دالة معينة باستخدام دالة كسرية محددة ، حيث تكون أقطابها وأصفارها بسيطة، أي لا يوجد تكرار في الأقطاب والأصفار. وفي بعض الأحيان، يقتصر الأمر على وجود أقطاب بسيطة فقط.

يُستخدم تحليل الانحدار البسيط (SRA) بشكل أساسي لإيجاد أصفار الدوال العلمانية . وتُعدّ خوارزمية فرق تسد لإيجاد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لأنواع مختلفة من المصفوفات معروفة جيدًا في التحليل العددي . وبالمعنى الدقيق، يتضمن تحليل الانحدار البسيط (SRA) استيفاءً محددًا باستخدام دوال كسرية بسيطة كجزء من خوارزمية فرق تسد. ولأن هذه الدوال العلمانية تتكون من سلسلة من الدوال الكسرية ذات الأقطاب البسيطة، فإن تحليل الانحدار البسيط (SRA) هو الخيار الأمثل لاستيفاء أصفار الدالة العلمانية. علاوة على ذلك، واستنادًا إلى الأبحاث السابقة، يمكن استيفاء الصفر البسيط الواقع بين قطبين متجاورين بدقة عالية باستخدام دالة كسرية ذات قطبين مهيمنين كدالة تقريبية.

يمكن إيجاد أصل الاستيفاء باستخدام الدوال الكسرية في العمل السابق الذي قام به إدموند هالي . تُعرف صيغة هالي باسم طريقة التكرار من الدرجة الثالثة ذات النقطة الواحدة لحل المعادلات.${\displaystyle \,f(x)=0}$عن طريق تقريب دالة كسرية معرفة بواسطة

${\displaystyle h(z)={\frac {a}{z+b}}+c.}$

يمكننا تحديد قيم a و b و c بحيث

${\displaystyle h^{(i)}(x)=f^{(i)}(x),\qquad i=0,1,2.}$

ثم حل${\displaystyle \,h(z)=0}$ينتج عنه التكرار

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\left({\frac {1}{1-{\frac {f(x_{n})f''(x_{n})}{2(f'(x_{n}))^{2}}}}}\right).}$

يُشار إلى هذا باسم صيغة هالي. هذا التفسير الهندسي${\displaystyle h(z)}$وقد تم اشتقاقها بواسطة غاندر (1978)، حيث تم اشتقاق التكرار المكافئ أيضًا عن طريق تطبيق طريقة نيوتن على

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{\sqrt {f'(x)}}}=0.}$

نسمي هذا التفسير الجبري${\displaystyle g(x)}$من صيغة هالي.

وبالمثل، يمكننا اشتقاق صيغة هالي المعدلة بناءً على طريقة تكرارية من الدرجة الثانية بنقطة واحدة لحل${\displaystyle \,f(x)=\alpha (\neq 0)}$باستخدام التقريب الكسري البسيط بواسطة

${\displaystyle h(z)={\frac {a}{z+b}}.}$

ثم نحتاج إلى التقييم

${\displaystyle h^{(i)}(x)=f^{(i)}(x),\qquad i=0,1.}$

وهكذا لدينا

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})-\alpha }{f'(x_{n})}}\left({\frac {f(x_{n})}{\alpha }}\right).}$

يتم الحصول على التفسير الجبري لهذه العملية التكرارية عن طريق حل

${\displaystyle g(x)=1-{\frac {\alpha }{f(x)}}=0.}$

من المعروف أن هذه الطريقة أحادية النقطة من الرتبة الثانية تُظهر تقاربًا تربيعيًا محليًا إذا كان جذر المعادلة بسيطًا. وتستلزم طريقة SRA بشكل قاطع هذا الاستيفاء أحادي النقطة من الرتبة الثانية بواسطة دالة كسرية بسيطة.

نلاحظ أن حتى طريقة الرتبة الثالثة هي شكل من أشكال طريقة نيوتن. نرى أن خطوات نيوتن تُضرب في عوامل معينة. تُسمى هذه العوامل عوامل تقارب التباينات، وهي مفيدة لتحليل معدل التقارب. انظر غاندر (1978).

• ديميل، جيمس دبليو. (1997)، الجبر الخطي العددي التطبيقي ، فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية ، رقم ISBN 0-89871-389-7MR 1463942​ .
• إلحاي، س.؛ غولوب، غ.هـ .؛ رام، ي.م. (2003)، "طيف قلم رصاص خطي معدل"، الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات ، 46 ( 8-9 ): 1413-1426 ، doi : 10.1016/S0898-1221(03)90229-X ، MR 2020255 .
• غو، مينغ؛ إيزنستات، ستانلي سي. (1995)، "خوارزمية فرق تسد لمسألة القيم الذاتية ثلاثية الأقطار المتناظرة" ، مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها ، 16 (1): 172-191 ، doi : 10.1137/S0895479892241287 ، MR 1311425 .
• غاندر، والتر (1978)، حول مشكلة المربعات الصغرى الخطية مع قيد تربيعي ، جامعة ستانفورد ، كلية العلوم الإنسانية والعلوم، قسم علوم الحاسوب..