الرابط (المركب التبسيطي)

الرابط في المركب التبسيطي هو تعميم لجوار رأس في الرسم البياني. ويحمل رابط الرأس معلومات حول البنية المحلية للمركب عند ذلك الرأس .

بفرض وجود مُركّب تبسيطي مجرد X و${\textstyle v}$رأس في${\textstyle V(X)}$، رابطها${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$هي مجموعة تحتوي على كل وجه${\textstyle \tau \in X}$بحيث${\textstyle v\not \in \tau }$و${\textstyle \tau \cup \{v\}}$هو وجه من وجوه X.

• في الحالة الخاصة التي يكون فيها X عبارة عن مركب أحادي البعد (أي: رسم بياني )،${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$يحتوي على جميع الرؤوس${\textstyle u\neq v}$بحيث${\textstyle \{u,v\}}$يمثل حافة في الرسم البياني؛ أي،${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$نظام الأحياء​${\textstyle v}$في الرسم البياني.

بفرض وجود مُركّب هندسي تبسيطي X و${\textstyle v\in V(X)}$، رابطها${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$هي مجموعة تحتوي على كل وجه${\textstyle \tau \in X}$بحيث${\textstyle v\not \in \tau }$وهناك مجمع بسيط في${\textstyle X}$ذلك لديه${\textstyle v}$كرأس و${\textstyle \tau }$كوجه. ^{[ 1 ] : 3} وبالمثل، الوصلة${\textstyle v\star \tau }$وجه في${\textstyle X}$[ ^{2 ] : 20​}

• على سبيل المثال، لنفترض أن v هو الرأس العلوي للهرم الرباعي على اليسار. عندئذٍ، يكون ضلع v هو المثلث الموجود في قاعدة الهرم الرباعي. وذلك لأن تقاطع v مع كل ضلع من أضلاع هذا المثلث يُشكّل مثلثًا (أحد المثلثات الثلاثة الموجودة على جوانب الهرم الرباعي)؛ وتقاطع v مع المثلث نفسه يُشكّل الهرم الرباعي بأكمله.

  

تعريف بديل هو: رابط الرأس${\textstyle v\in V(X)}$الرسم البياني Lk( v , X ) مُنشأ على النحو التالي. رؤوس Lk( v , X ) هي حواف X المتصلة بـ v . حافتان من هذا النوع متجاورتان في Lk( v , X ) إذا وفقط إذا كانتا متصلتين بخلية مشتركة ثنائية الأبعاد عند v .

• غالباً ما يُعطى الرسم البياني Lk( v , X ) طوبولوجيا كرة ذات نصف قطر صغير مركزها v ؛ وهو مماثل للكرة التي مركزها نقطة. ^{[ 3 ]}

يمكن توسيع تعريف الرابط من رأس واحد إلى أي وجه.

بفرض وجود مُركّب تبسيطي مجرد X وأي وجه${\textstyle \sigma }$من X ، رابطها${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$هي مجموعة تحتوي على كل وجه${\textstyle \tau \in X}$بحيث${\textstyle \sigma ,\tau }$منفصلة و${\textstyle \tau \cup \sigma }$هو وجه من وجوه X :${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:~\tau \cap \sigma =\emptyset ,~\tau \cup \sigma \in X\}}$.

بفرض وجود مُركب هندسي بسيط X وأي وجه${\textstyle \sigma \in X}$، رابطها${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$هي مجموعة تحتوي على كل وجه${\textstyle \tau \in X}$بحيث${\textstyle \sigma ,\tau }$منفصلة ويوجد عنصر بسيط في${\textstyle X}$هذا يمتلك كليهما${\textstyle \sigma }$و${\textstyle \tau }$كوجوه. ^{[ 1 ] : 3}

يمثل وصلة رأس من رؤوس رباعي الأوجه مثلثًا؛ إذ تتوافق رؤوس الوصلة الثلاثة مع الحواف الثلاثة المتصلة بالرأس، وتتوافق حواف الوصلة الثلاثة مع الأوجه المتصلة بالرأس. في هذا المثال، يمكن تصور الوصلة بقطع الرأس بمستوى؛ أي بتقاطع رباعي الأوجه مع مستوى قريب من الرأس، فيكون المقطع العرضي الناتج هو الوصلة.

يوضح الشكل أدناه مثالاً آخر. يوجد مُركّب تبسيطي ثنائي الأبعاد. على اليسار، تم تمييز رأس باللون الأصفر. على اليمين، تم تمييز وصلة ذلك الرأس باللون الأخضر.

• 
  رأس ورابطه .​​

• لكل مركب تبسيطي X ، كل رابط${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$هو مغلق من الأسفل، وبالتالي فهو مركب تبسيطي أيضًا؛ إنه مركب فرعي من X.
• لأن X تبسيطي، يوجد تماثل بين المجموعات${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$والمجموعة${\displaystyle X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ بحيث }}\sigma \subseteq \rho \}}$: كل${\textstyle \tau \in \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$يتوافق مع${\textstyle \tau \cup \sigma }$، وهو في${\displaystyle X_{\sigma }}$.

يُعدّ مفهوم النجمة من المفاهيم المرتبطة ارتباطاً وثيقاً بالرابط .

بفرض وجود مُركّب تبسيطي مجرد X وأي وجه${\textstyle \sigma \in X}$،${\textstyle V(X)}$نجمها​${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}$هي مجموعة تحتوي على كل وجه${\textstyle \tau \in X}$بحيث${\textstyle \tau \cup \sigma }$هو وجه من أوجه X. في الحالة الخاصة التي يكون فيها X عبارة عن مركب أحادي البعد (أي: رسم بياني )،${\textstyle \operatorname {St} (v,X)}$يحتوي على جميع الحواف${\textstyle \{u,v\}}$لجميع الرؤوس${\textstyle u}$الذين هم جيران${\textstyle v}$أي أنها نجمة بيانية مركزها عند${\textstyle u}$.

بفرض وجود مُركب هندسي بسيط X وأي وجه${\textstyle \sigma \in X}$نجمها​${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}$هي مجموعة تحتوي على كل وجه${\textstyle \tau \in X}$بحيث يوجد مُعقد بسيط في${\textstyle X}$امتلاك كليهما${\textstyle \sigma }$و${\textstyle \tau }$كوجوه:${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ هي وجوه }}\rho \}}$بمعنى آخر، إنها إغلاق المجموعة${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ هو وجه من }}\rho \}}$—مجموعة العناصر البسيطة التي تحتوي على${\textstyle \sigma }$كوجه.

إذن، الرابط هو جزء من النجمة. وترتبط النجمة والرابط على النحو التالي:

• لأي${\textstyle \sigma \in X}$،${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$[ ^{1 ] : 3​}
• لأي${\textstyle v\in V(X)}$،${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$أي نجم${\textstyle v}$مخروط وصلته عند${\textstyle v}$[ ^{2 ] : 20​}

يوضح الشكل أدناه مثالاً على ذلك. يوجد مُركّب تبسيطي ثنائي الأبعاد. على اليسار، تم تمييز رأس باللون الأصفر. على اليمين، تم تمييز النجمة الناتجة عن ذلك الرأس باللون الأخضر.

• 
  رأس ونجمته .​​

• شكل الرأس - مفهوم هندسي مشابه للوصلة التبسيطية.