عامل الضغط

في الفيزياء الكمومية ، يكون عامل الضغط لنمط واحد من المجال الكهرومغناطيسي هو ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {S}}(z)=\exp \left({1 \over 2}(z^{*}{\hat {a}}^{2}-z{\hat {a}}^{\dagger 2})\right),\qquad z=r\,e^{i\theta }}$

حيث أن المؤثرات داخل الدالة الأسية هي مؤثرات السلم . وهي مؤثر وحدوي، وبالتالي تخضع لـ${\displaystyle S(z)\,S^{\dagger }(z)=S^{\dagger }(z)\,S(z)={\hat {1}}}$، أين${\displaystyle {\hat {1}}}$هو عامل الهوية.

ينتج عن تأثيره على عوامل الإفناء والخلق

${\displaystyle {\hat {S}}^{\dagger }(z)\,{\hat {a}}\,{\hat {S}}(z)={\hat {a}}\cosh r-e^{i\theta }{\hat {a}}^{\dagger }\sinh r\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {S}}^{\dagger }(z)\,{\hat {a}}^{\dagger }\,{\hat {S}}(z)={\hat {a}}^{\dagger }\cosh r-e^{-i\theta }{\hat {a}}\sinh r}$

يُعدّ عامل الضغط شائعًا في البصريات الكمومية ، ويمكنه العمل على أي حالة. فعلى سبيل المثال، عند تطبيقه على الفراغ، ينتج عامل الضغط حالة الفراغ المضغوط.

يمكن لمؤثر الضغط أن يؤثر أيضًا على الحالات المتماسكة وينتج حالات متماسكة مضغوطة . لا يتبادل مؤثر الضغط مع مؤثر الإزاحة .

${\displaystyle {\hat {S}}(z){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z),}$

كما أنها لا تتبادل مع عوامل التشغيل السلمية، لذا يجب الانتباه جيدًا لكيفية استخدام هذه العوامل. ومع ذلك، توجد علاقة تضفير بسيطة. ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {S}}^{\dagger }(z){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}(z){\hat {D}}(\gamma ),\qquad {\text{where}}\qquad \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}$^{[ 2 ]}

يؤدي تطبيق كلا العاملين المذكورين أعلاه على الفراغ إلى حالة انضغاطية مُزاحة:

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(r)|0\rangle =|r,\alpha \rangle }$.

أو حالة متماسكة مضغوطة :

${\displaystyle {\hat {S}}(r){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha ,r\rangle }$.

كما ذكر أعلاه، فإن عمل عامل الضغط${\displaystyle S(z)}$على عامل الإبادة${\displaystyle a}$يمكن كتابتها على النحو التالي$${\displaystyle S^{\dagger }(z)aS(z)=\cosh(|z|)a-{\frac {z}{|z|}}\sinh(|z|)a^{\dagger }.}$$لاستنتاج هذه المساواة، دعونا نُعرّف المؤثر (الهيرميتي المنحرف).${\displaystyle A\equiv (za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2})/2}$، لهذا السبب${\displaystyle S^{\dagger }=e^{A}}$.

وبالتالي فإن الطرف الأيسر من المعادلة هو${\displaystyle e^{A}ae^{-A}}$يمكننا الآن الاستفادة من المساواة العامة$${\displaystyle e^{A}Be^{-A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}[\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k\,{\text{times}}},B]\dots ]],}$$وهذا ينطبق على أي زوج من المؤثرات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$لحساب${\displaystyle e^{A}ae^{-A}}$وبالتالي، يختزل الأمر إلى مشكلة حساب المبدلات المتكررة بين${\displaystyle A}$و${\displaystyle a}$كما يمكن التحقق منه بسهولة، لدينا$${\displaystyle [A,a]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a]={\frac {z}{2}}[a^{\dagger 2},a]=-za^{\dagger },}$$$${\displaystyle [A,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a^{\dagger }]=-{\frac {z^{*}}{2}}[a^{2},a^{\dagger }]=-z^{*}a.}$$باستخدام هذه المعادلات، نحصل على

${\displaystyle [\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k},a]\dots ]]={\begin{cases}|z|^{k}a,&{\text{ for }}k{\text{ even}},\\-z|z|^{k-1}a^{\dagger },&{\text{ for }}k{\text{ odd}}.\end{cases}}}$

حتى نحصل في النهاية

${\displaystyle e^{A}ae^{-A}=a\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k}}{(2k)!}}-a^{\dagger }{\frac {z}{|z|}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k+1}}{(2k+1)!}}=a\cosh |z|-a^{\dagger }e^{i\theta }\sinh |z|.}$

ويمكن الحصول على النتيجة نفسها أيضاً عن طريق تفاضل المؤثر المحوّل

${\displaystyle a(t)=e^{tA}a\,e^{-tA}}$

فيما يتعلق بالمعلمة${\displaystyle t}$نظام خطي من المعادلات التفاضلية لـ${\displaystyle a(t)}$و${\displaystyle a^{\dagger }(t)}$يظهر ذلك عند العمل عبر المبدلات${\displaystyle [A,a(t)]}$و${\displaystyle [A,a^{\dagger }(t)]}$يوفر حلهم الرسمي المؤثر المحول${\displaystyle {\hat {S}}^{\dagger }a\,{\hat {S}}=a(t=1)}$كتركيبة خطية من${\displaystyle a}$و${\displaystyle a^{\dagger }}$يمكن تعميم هذه التقنية لتشمل عوامل تشغيل أخرى أو تحويلات حالة أخرى. ^{[ 3 ]}

• حالة متماسكة مضغوطة