الحوسبة العشوائية

📅 آخر تحديث: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

الحوسبة الاحتمالية هي مجموعة من التقنيات التي تمثل القيم المستمرة بسلاسل من البتات العشوائية. ويمكن بعد ذلك إجراء عمليات حسابية معقدة من خلال عمليات بسيطة على مستوى البتات في هذه السلاسل. وتختلف الحوسبة الاحتمالية عن دراسة الخوارزميات العشوائية .

الدافع ومثال بسيط

لنفترض أنص،q∈[0،1]{\displaystyle p,q\in [0,1]}لدينا قيمة معطاة، ونريد حسابها.ص×q{\displaystyle p\times q}. تقوم الحوسبة العشوائية بهذه العملية باستخدام الاحتمالات بدلاً من العمليات الحسابية.

على وجه التحديد، لنفترض وجود سلسلتين عشوائيتين مستقلتين من البتات تسمى الأعداد العشوائية (أي عمليات برنولي )، حيث يكون احتمال ظهور الرقم 1 في السلسلة الأولى هوص{\displaystyle p}، والاحتمالية في التيار الثاني هيq{\displaystyle q}يمكننا أخذ النتيجة المنطقية "و" من التيارين.

أأنا{\displaystyle a_{i}}101101...
بأنا{\displaystyle b_{i}}110110...
أأنا∧بأنا{\displaystyle a_{i}\land b_{i}}100100...

احتمال ظهور الرقم 1 في تدفق المخرجات هوصq{\displaystyle pq}من خلال مراقبة عدد كافٍ من بتات الإخراج وقياس تردد الرقم 1، يمكن تقديرصq{\displaystyle pq}بدقة تعسفية.

تحوّل العملية المذكورة أعلاه عملية حسابية معقدة إلى حد ما (ضربص{\displaystyle p}وq{\displaystyle q}) إلى سلسلة من العمليات البسيطة للغاية (تقييمأأنا∧بأنا{\displaystyle a_{i}\land b_{i}}) على بتات عشوائية. ولتوضيح الأمر من منظور آخر، بافتراض جدول الحقيقة لبوابة AND، فإن التفسير التقليدي هو أن الخرج يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كان المدخلان A وB صحيحين. مع ذلك، إذا فُسِّر الجدول عموديًا، فإن (0011) AND (0101) هو (0001)، أي 1/2 × 1/2 = 1/4، وهو بالضبط عملية ضرب حسابية. وبما أن المعلومات مُقدَّمة في شكل توزيع احتمالي ، فإن ضرب الاحتمالات هو في جوهره عملية AND.

أبخارج
000
010
100
111

بشكل عام، تمثل الحوسبة الاحتمالية الأرقام كسلاسل من البتات العشوائية، وتعيد بناء الأرقام عن طريق حساب الترددات. تُجرى العمليات الحسابية على هذه السلاسل، وتُترجم العمليات المعقدة إلىص{\displaystyle p}وq{\displaystyle q}إلى عمليات بسيطة على تمثيلاتها المتدفقة. (بسبب طريقة إعادة البناء، تُسمى الأجهزة التي تُجري هذه العمليات أحيانًا بمعالجات المتوسطات العشوائية). من الناحية الحديثة، يمكن النظر إلى الحوسبة العشوائية على أنها تفسير للحسابات من منظور احتمالي، والتي يتم تقييمها بعد ذلك باستخدام خوارزمية جيبس . ويمكن أيضًا تفسيرها على أنها حاسوب هجين تناظري / رقمي .

تاريخ

صورة لجهاز الكمبيوتر العشوائي RASCEL.
حاسوب RASCEL العشوائي، حوالي عام 1969

طُرحت الحوسبة العشوائية لأول مرة في ورقة بحثية رائدة لجون فون نيومان عام 1953. [ 1 ] إلا أن النظرية لم تتطور بشكل كامل إلا مع التقدم الذي شهدته الحوسبة في ستينيات القرن العشرين، [ 2 ] [ 3 ] وذلك بفضل سلسلة من الجهود المتزامنة والمتوازية في الولايات المتحدة [ 4 ] والمملكة المتحدة. [ 5 ] وبحلول أواخر الستينيات، اتجه الاهتمام نحو تصميم أجهزة متخصصة لإجراء الحوسبة العشوائية. وقد تم بناء عدد كبير [ 6 ] من هذه الأجهزة بين عامي 1969 و1974؛ ويظهر جهاز RASCEL [ 7 ] في هذه المقالة.

على الرغم من الاهتمام الكبير الذي حظي به الحوسبة العشوائية في الستينيات والسبعينيات، إلا أنها فشلت في نهاية المطاف في منافسة المنطق الرقمي التقليدي، وذلك لأسباب سنوضحها لاحقًا. عُقد المؤتمر الدولي الأول (والأخير) للحوسبة العشوائية [ 8 ] في عام 1978؛ وتراجع البحث النشط في هذا المجال خلال السنوات القليلة التالية.

على الرغم من تراجع الحوسبة العشوائية كطريقة عامة للحوسبة، إلا أنها أظهرت إمكانات واعدة في العديد من التطبيقات. وقد ركزت الأبحاث تقليديًا على مهام محددة في مجال التعلم الآلي والتحكم. [ 9 ] [ 10 ] ومؤخرًا، تحول الاهتمام نحو فك التشفير العشوائي، الذي يطبق الحوسبة العشوائية على فك تشفير رموز تصحيح الأخطاء. [ 11 ] وفي الآونة الأخيرة، استُخدمت الدوائر العشوائية بنجاح في مهام معالجة الصور ، مثل اكتشاف الحواف [ 12 ] وتحديد عتبة الصورة . [ 13 ] كما يُظهر التقدم الأخير في الدوائر العشوائية مزايا واعدة في السرعة وكفاءة الطاقة في تسريع أجهزة الذكاء الاصطناعي على الحوسبة الطرفية .

نقاط القوة والضعف

على الرغم من أن الحوسبة العشوائية لم تحقق نجاحًا تاريخيًا، إلا أنها قد تظل ذات صلة بحل بعض المشكلات. لفهم متى تظل ذات صلة، من المفيد مقارنتها بالأساليب التقليدية للحوسبة الرقمية.

نقاط القوة

لنفترض أننا نريد ضرب عددين، كل منهما بـن{\displaystyle n}دقة متناهية. باستخدام طريقة الضرب المطول التقليدية ، نحتاج إلى إجراء ن2{\displaystyle n^{2}}في العمليات الحسابية العشوائية، يمكننا إجراء عملية AND على أي عدد من البتات، وستكون القيمة المتوقعة صحيحة دائمًا. (مع ذلك، مع عدد قليل من العينات، سيؤدي التباين إلى جعل النتيجة الفعلية غير دقيقة للغاية).

علاوة على ذلك، فإن العمليات الأساسية في المضاعف الرقمي هي دوائر جمع كاملة ، بينما لا يتطلب الحاسوب العشوائي سوى بوابة AND . بالإضافة إلى ذلك، سيتطلب المضاعف الرقمي ببساطة2ن{\displaystyle 2n}بينما يتطلب المضاعف العشوائي سلكي إدخال فقط . (أما إذا قام المضاعف الرقمي بتسلسل مخرجاته، فسيتطلب أيضًا سلكي إدخال فقط).

بالإضافة إلى ذلك، فإن الحوسبة العشوائية قوية ضد الضوضاء؛ فإذا تم قلب بعض البتات في التدفق، فلن يكون لتلك الأخطاء تأثير كبير على الحل.

علاوة على ذلك، يمكن لعناصر الحوسبة العشوائية تحمل انحراف في وقت وصول المدخلات. تعمل الدوائر بشكل صحيح حتى عندما تكون المدخلات غير متزامنة زمنيًا. ونتيجة لذلك، يمكن تصميم الأنظمة العشوائية للعمل باستخدام ساعات محلية منخفضة التكلفة بدلاً من استخدام ساعة عالمية وشبكة توزيع ساعات مكلفة. [ 14 ]

أخيرًا، توفر الحوسبة الاحتمالية تقديرًا للحل يزداد دقةً مع زيادة حجم سلسلة البتات. وعلى وجه الخصوص، فهي توفر تقديرًا تقريبيًا سريعًا جدًا. تُعرف هذه الخاصية عادةً بالدقة التدريجية ، مما يعني أن دقة الأعداد الاحتمالية (سلاسل البتات) تزداد مع تقدم الحساب. [ 15 ] يبدو الأمر كما لو أن البتات الأكثر أهمية في العدد تصل قبل البتات الأقل أهمية ؛ على عكس الدوائر الحسابية التقليدية حيث تصل البتات الأكثر أهمية عادةً في النهاية. في بعض الأنظمة التكرارية، يمكن للحلول الجزئية التي يتم الحصول عليها من خلال الدقة التدريجية أن توفر تغذية راجعة أسرع من تلك التي توفرها طرق الحوسبة التقليدية، مما يؤدي إلى تقارب أسرع.

نقاط الضعف

الحوسبة الاحتمالية، بطبيعتها، عشوائية. عندما نفحص سلسلة بتات عشوائية ونحاول إعادة بناء القيمة الأصلية، يمكن قياس الدقة الفعلية من خلال تباين العينة. في المثال أعلاه، يحسب المضاعف الرقمي رقمًا إلى2ن{\displaystyle 2n}دقة جزئية، لذا فإن الدقة هي2-2ن{\displaystyle 2^{-2n}}إذا كنا نستخدم سلسلة بتات عشوائية لتقدير عدد ما، ونريد أن يكون الانحراف المعياري لتقديرنا للحل على الأقل2-2ن{\displaystyle 2^{-2n}}، سنحتاجيا(24ن){\displaystyle O(2^{4n})}العينات. وهذا يمثل زيادة أسية في العمل. ومع ذلك، في بعض التطبيقات، يمكن استغلال خاصية الدقة التدريجية للحوسبة العشوائية لتعويض هذه الخسارة الأسية.

ثانيًا، تتطلب الحوسبة العشوائية طريقةً لتوليد تدفقات بتات عشوائية متحيزة. عمليًا، تُولَّد هذه التدفقات باستخدام مولدات أرقام شبه عشوائية . لسوء الحظ، يُعد توليد البتات (شبه) العشوائية مكلفًا نسبيًا (مقارنةً بتكلفة، على سبيل المثال، جامع كامل). لذلك، تُفقد عادةً ميزة الحوسبة العشوائية على مستوى البوابات المنطقية.

ثالثًا، يفترض تحليل الحوسبة العشوائية أن تدفقات البتات مستقلة (غير مترابطة). إذا لم يتحقق هذا الافتراض، فقد تفشل الحوسبة العشوائية فشلًا ذريعًا. على سبيل المثال، إذا حاولنا حسابص2{\displaystyle p^{2}}عن طريق ضرب سلسلة بتات لـ ص{\displaystyle p}بمفردها، تفشل العملية: لأنأأنا∧أأنا=أأنا{\displaystyle a_{i}\land a_{i}=a_{i}}، ستؤدي الحسابات العشوائية إلىص×ص=ص{\displaystyle p\times p=p}وهذا ليس صحيحاً بشكل عام (إلا إذاص={\displaystyle p=}(0 أو 1). في الأنظمة ذات التغذية الراجعة، قد تظهر مشكلة فك الارتباط بطرق أكثر تعقيدًا. أنظمة المعالجات العشوائية عُرضة لظاهرة التثبيت ، حيث يمكن أن تؤدي التغذية الراجعة بين المكونات المختلفة إلى حالة جمود. [ 16 ] يتطلب الأمر بذل جهد كبير لفك ارتباط النظام في محاولة لمعالجة مشكلة التثبيت.

رابعًا، على الرغم من أن بعض الدوال الرقمية لها نظائر عشوائية بسيطة للغاية (مثل التحويل بين الضرب وبوابة AND)، فإن العديد منها لا يمتلكها. قد تؤدي محاولة التعبير عن هذه الدوال بشكل عشوائي إلى مشاكل مختلفة. على سبيل المثال، يتطلب فك التشفير العشوائي حساب الدالةو(ص،q)→صq/(صq+(1-ص)(1-q)){\displaystyle f(p,q)\rightarrow pq/(pq+(1-p)(1-q))}لا توجد عملية بت واحدة يمكنها حساب هذه الوظيفة؛ الحل المعتاد يتضمن إنتاج بتات إخراج مترابطة، وهو ما يمكن أن يسبب مجموعة من المشاكل كما رأينا أعلاه.

وظائف أخرى (مثل عامل حساب المتوسط)و(ص،q)→(ص+q)/2{\displaystyle f(p,q)\rightarrow (p+q)/2}يتطلب الأمر إما تقليل عدد عناصر المصفوفة أو زيادة حجمها. وقد يكون التوفيق بين الدقة والذاكرة أمرًا صعبًا.

فك التشفير العشوائي

على الرغم من وجود بعض العيوب في الحوسبة العشوائية عند اعتبارها طريقةً للحوسبة العامة، إلا أن هناك تطبيقات معينة تُبرز نقاط قوتها. ومن الأمثلة البارزة على ذلك فك تشفير بعض رموز تصحيح الأخطاء.

في تطورات لا علاقة لها بالحوسبة العشوائية، طُوِّرت طرق فعّالة للغاية لفك تشفير رموز LDPC باستخدام خوارزمية نشر الاعتقاد . يتضمن نشر الاعتقاد في هذا السياق إعادة تقدير بعض المعلمات بشكل متكرر باستخدام عمليتين أساسيتين (عملية XOR احتمالية وعملية حساب المتوسط).

في عام ٢٠٠٣، أدرك الباحثون إمكانية نمذجة هاتين العمليتين ببساطة شديدة باستخدام الحوسبة العشوائية. [ ١٧ ] علاوة على ذلك، ولأن خوارزمية نشر الاعتقاد تكرارية، فإن الحوسبة العشوائية توفر حلولًا جزئية قد تؤدي إلى تقارب أسرع. وقد بُنيت تطبيقات الأجهزة لفك التشفير العشوائي على مصفوفات البوابات المنطقية القابلة للبرمجة (FPGAs) . [ ١٨ ] ويجادل مؤيدو هذه الأساليب بأن أداء فك التشفير العشوائي يُضاهي البدائل الرقمية.

الأساليب الحتمية للحوسبة العشوائية

طُوِّرت طرق حتمية لحسابات الدوائر المتسلسلة (SC) لإجراء حسابات دقيقة تمامًا باستخدام هذه الدوائر. [ 19 ] ويكمن المبدأ الأساسي لهذه الطرق في أن كل بت من سلسلة بتات واحدة يتفاعل مع كل بت من سلاسل البتات الأخرى مرة واحدة فقط. وللحصول على نتائج دقيقة تمامًا باستخدام هذه الطرق، يجب أن تُنفَّذ العملية لعدد يساوي حاصل ضرب أطوال سلاسل البتات المدخلة. وقد طُوِّرت الطرق الحتمية بناءً على سلاسل بتات أحادية، [ 20 ] [ 21 ] وسلاسل بتات شبه عشوائية، [ 22 ] وسلاسل بتات منخفضة التباين. [ 23 ]

أنواع الحوسبة العشوائية

توجد عدة صيغ مختلفة لنموذج الحوسبة العشوائية الأساسي. ويمكن الاطلاع على مزيد من المعلومات في الكتاب المرجعي لمارس وبوبلباوم.

تتضمن معالجة الحزم إرسال عدد ثابت من البتات بدلاً من دفق. إحدى مزايا هذا الأسلوب هي تحسين الدقة. لفهم السبب، لنفترض أننا نرسل s{\displaystyle s}بتات. في الحوسبة العشوائية العادية، يمكننا تمثيل دقة تقاربيا(1/s){\displaystyle O(1/{\sqrt {s}})}تختلف القيم بسبب تباين التقدير. في معالجة الحزم، يمكننا تمثيل دقة قدرها1/s{\displaystyle 1/s}ومع ذلك، فإن معالجة الحزم تحتفظ بنفس قوة تحمل الأخطاء التي تتمتع بها المعالجة العشوائية العادية.

تتضمن المعالجة الإرجودية إرسال سلسلة من الحزم، مما يحقق فوائد المعالجة العشوائية المنتظمة ومعالجة الحزم.

تقوم معالجة البيانات المتتابعة بتشفير الرقم باستخدام سلسلة متزايدة ذات أساس أعلى. على سبيل المثال، نقوم بتشفير 4.3 بعشرة أرقام عشرية كما يلي:

4444444555

بما أن متوسط ​​قيمة التدفق السابق هو 4.3، فإن هذا التمثيل يوفر مزايا عديدة: فهو يخلو من العشوائية لأن الأرقام تظهر بترتيب تصاعدي، وبالتالي يتم تجنب مشاكل مولد الأرقام العشوائية الزائفة، مع الحفاظ على العديد من مزايا الحوسبة العشوائية (مثل التقديرات الجزئية للحل). إضافةً إلى ذلك، فإنه يحافظ على الدقة الخطية لمعالجة الحزم والمعالجة الإرجودية.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فون نيومان، ج. (1963). "المنطق الاحتمالي وتوليف الكائنات الموثوقة من مكونات غير موثوقة". الأعمال الكاملة لجون فون نيومان . ماكميلان. ISBN 978-0-393-05169-8.{{cite conference}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  2. ↑ بيتروفيتش، ر.؛ سيلياك، د. (1962). "الضرب عن طريق الصدفة" . وقائع المؤتمر الدولي الثالث للحوسبة التناظرية (ACTES) .
  3. ↑ أفوسو، سي. (1964)، التقرير الفني الفصلي ، قسم علوم الحاسوب، جامعة إلينوي، أوربانا، إلينوي{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  4. ↑ بوبلبوم، دبليو؛ أفوسو، سي؛ إيش، جيه (1967). "عناصر وأنظمة الحوسبة العشوائية". وقائع مؤتمر الحاسوب المشترك لخريف 14-16 نوفمبر 1967 - AFIPS '67 (خريف) . المجلد 31. الصفحات 635-644 . doi : 10.1145/1465611.1465696 . ISBN   9781450378963. S2CID 8504153 . 
  5. ↑ غينز، ب. (1967). "الحوسبة الاحتمالية". وقائع المؤتمر المشترك للحوسبة الربيعي المنعقد في الفترة من 18 إلى 20 أبريل 1967 - AFIPS '67 (ربيع) . المجلد 30. الصفحات 149-156 . doi : 10.1145/1465482.1465505 . ISBN   9781450378956. S2CID 832296 . 
  6. ↑ مارس، ب.؛ بوبلباوم، و. (1981). معالجات المتوسطات العشوائية والحتمية . بي. بيرغرينوس. ISBN 978-0-906048-44-3.
  7. ↑ إيش، جون دبليو. (1969). راسِل، حاسوب تناظري قابل للبرمجة يعتمد على مصفوفة منتظمة من منطق عناصر الحوسبة العشوائية (أطروحة دكتوراه). جامعة إلينوي، أوربانا، إلينوي. AAI700084.
  8. ↑ وقائع الندوة الدولية الأولى حول الحوسبة العشوائية وتطبيقاتها . تولوز، فرنسا. 1978. OCLC 499229066 . 
  9. ↑ غينز، بي آر (2013) [1969]. "أنظمة الحوسبة العشوائية". في تو، يوليوس (محرر). التطورات في علم نظم المعلومات . المجلد 2. سبرينغر. ISBN  9781489958433.
  10. ↑ فان دالن، م.؛ جيفونز، ب.؛ شاو-تايلور، ج. (1993). "بنية عصبية عشوائية تستغل مصفوفات البوابات المنطقية القابلة لإعادة التكوين ديناميكيًا". [ 1993 ] وقائع ورشة عمل IEEE حول مصفوفات البوابات المنطقية القابلة لإعادة التكوين لأجهزة الحوسبة المخصصة . الصفحات 202-211 . doi : 10.1109/FPGA.1993.279462 . ISBN  0-8186-3890-7. S2CID 14929278 . 
  11. ↑ غوديت، فينسنت؛ رابلي، أنتوني (فبراير 2003). "فك التشفير التكراري باستخدام الحساب العشوائي". رسائل الإلكترونيات . 39 (3): 299-301 . Bibcode : 2003ElL....39..299G . doi : 10.1049/el:20030217 .
  12. ↑ ألاغي، أ.؛ لي، س.؛ هايز، ج. ب. (2013). "الدوائر العشوائية لتطبيقات معالجة الصور في الوقت الحقيقي". وقائع المؤتمر السنوي الخمسين لأتمتة التصميم - DAC '13 . ص. 1. doi : 10.1145/2463209.2488901 . ISBN  9781450320719. S2CID 18174415 . 
  13. ↑ نجفي، م.ح؛ صالحي، م.إ (2016). "معمارية سريعة مقاومة للأعطال لخوارزمية تحديد عتبة الصور المحلية لـ Sauvola باستخدام الحوسبة العشوائية". معاملات IEEE لأنظمة التكامل واسع النطاق جدًا (VLSI) . 24 (2): 808-812 . doi : 10.1109/TVLSI.2015.2415932 . S2CID 6591306 . 
  14. ↑ نجفي، م.ح؛ ليليا، د.ج؛ ريدل، م.د؛ بازارجان، ك. (2016). "الدوائر العشوائية متعددة التزامن". المؤتمر الحادي والعشرون لأتمتة التصميم في آسيا وجنوب المحيط الهادئ (ASP-DAC) لعام 2016. الصفحات 492-498 . doi : 10.1109/ASPDAC.2016.7428060 . ISBN  978-1-4673-9569-4. S2CID 8973285 . 
  15. ↑ ألاغي، أ.؛ هايز، ج. ب. (2013). "دراسة استقصائية للحوسبة العشوائية". معاملات ACM لأنظمة الحوسبة المدمجة . 12 (2s): 1. CiteSeerX 10.1.1.296.4448 . doi : 10.1145/2465787.2465794 . S2CID 4689958 .  
  16. ↑ وينستيد، سي.؛ رابلي، أ.؛ غوديت، ف.؛ شليغل، سي. (سبتمبر 2005). "فك التشفير التكراري العشوائي". وقائع الندوة الدولية لنظرية المعلومات، 2005. ISIT 2005. أديلايد، أستراليا. ص 1116-1120 . arXiv : cs/0501090 . doi : 10.1109/ISIT.2005.1523513 . ISBN  0-7803-9151-9. S2CID 16390484 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  17. ↑ غوديت، فينسنت؛ رابلي، أنتوني (فبراير 2003). "فك التشفير التكراري باستخدام الحساب العشوائي". رسائل الإلكترونيات . 39 (3): 299-301 . Bibcode : 2003ElL....39..299G . doi : 10.1049/el:20030217 .
  18. ↑ غروس، دبليو؛ غوديت، في؛ ميلنر، أ. (2006). "التنفيذ العشوائي لفك تشفير LDPC". وقائع المؤتمر التاسع والثلاثين لأسيلومار حول الإشارات والأنظمة والحواسيب .
  19. ↑ نجفي، م. حسن؛ جينسون، ديفون؛ ليليا، ديفيد ج.؛ ريدل، مارك د. (ديسمبر 2019). "إجراء الحسابات العشوائية بشكل حتمي" . معاملات IEEE لأنظمة التكامل واسع النطاق جدًا (VLSI) . 27 (12): 2925-2938 . doi : 10.1109/tvlsi.2019.2929354 . ISSN 1063-8210 . S2CID 201888463 .  
  20. ↑ جينسون، ديفون؛ ريدل، مارك (2016-11-07). "نهج حتمي للحساب العشوائي". وقائع المؤتمر الدولي الخامس والثلاثين للتصميم بمساعدة الحاسوب . نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: ACM. الصفحات 1-8 . doi : 10.1145/2966986.2966988 . ISBN  978-1-4503-4466-1. S2CID 11281124 . 
  21. ↑ نجفي، م. حسن؛ جمالي-زافاره، شيفا؛ ليليا، ديفيد ج.؛ ريدل، مارك د.؛ بازارجان، كيا؛ هارجاني، راميش (مايو 2017). "قيم مشفرة زمنيًا للدوائر العشوائية عالية الكفاءة" . معاملات IEEE لأنظمة التكامل واسع النطاق جدًا (VLSI) . 25 (5): 1644-1657 . doi : 10.1109/tvlsi.2016.2645902 . ISSN 1063-8210 . S2CID 5672761 .  
  22. ↑ نجفي، م. حسن؛ ليليا، ديفيد (2018). "تقليل حجم البيانات بجودة عالية للمناهج الحتمية في الحوسبة العشوائية" . معاملات IEEE في المواضيع الناشئة في الحوسبة . 9 : 7-14 . doi : 10.1109/tetc.2017.2789243 . ISSN 2168-6750 . 
  23. ↑ نجفي، م. حسن؛ ليليا، ديفيد ج.؛ ريدل، مارك (5 نوفمبر 2018). "الأساليب الحتمية للحوسبة العشوائية باستخدام متواليات منخفضة التباين". وقائع المؤتمر الدولي للتصميم بمساعدة الحاسوب . نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: ACM. الصفحات 1-8 . doi : 10.1145/3240765.3240797 . ISBN  978-1-4503-5950-4. S2CID 53236540 . 

للمزيد من القراءة