طريقة ستون

في التحليل العددي ، تُعدّ طريقة ستون ، المعروفة أيضًا بالإجراء الضمني القوي ( SIP) ، خوارزميةً لحلّ نظام المعادلات الخطية المتفرقة . تستخدم هذه الطريقة تحليل LU غير الكامل ، الذي يُقارب تحليل LU الدقيق ، للحصول على حلّ تكراري للمسألة. سُمّيت هذه الطريقة نسبةً إلى هارولد س. ستون ، الذي اقترحها عام 1968.

يُعدّ تحليل LU أداةً ممتازةً لحلّ المعادلات الخطية العامة. لكنّ عيبه الأكبر هو عدم قدرته على الاستفادة من كون مصفوفة المعاملات مصفوفةً متفرقة. فتحليل LU لمصفوفة متفرقة لا يكون متفرقًا في العادة، وبالتالي، قد يتطلب تحليل LU لأنظمة المعادلات الكبيرة كميةً هائلةً من الذاكرة وعددًا كبيرًا من العمليات الحسابية .

في الطرق التكرارية المُهيأة ، إذا كانت مصفوفة المُهيئ M تقريبًا جيدًا لمصفوفة المعاملات A، فإن التقارب يكون أسرع. وهذا يقودنا إلى فكرة استخدام تحليل LU التقريبي للمصفوفة A كمصفوفة تكرار M.

اقترح ستون في عام 1968 نسخةً من طريقة التفكيك الجزئي السفلي-العلوي غير الكامل. صُممت هذه الطريقة لأنظمة المعادلات الناتجة عن تجزئة المعادلات التفاضلية الجزئية ، واستُخدمت لأول مرة لنظام معادلات خماسي الأقطار ناتج عن حل معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية في فضاء ثنائي الأبعاد باستخدام طريقة الفروق المحدودة . وقد اعتُبر التفكيك التقريبي LU، بنفس الشكل الخماسي الأقطار للمصفوفة الأصلية (ثلاثة أقطار للمصفوفة L وثلاثة أقطار للمصفوفة U )، أفضل تطابق بين المعادلات السبع الممكنة للمجاهيل الخمسة لكل صف من صفوف المصفوفة.

طريقة ستون هي: بالنسبة للنظام الخطي A x = b، احسب تحليل LU غير الكامل للمصفوفة A: A x = ( M - N )x = ( LU - N )x = b، M x (k+1) = N x (k) +b، حيث || M || >> || N ||، M x (k+1) = LU x (k+1) = c (k)، LU x (k) = L ( U x (k+1) ) = L y (k) = c (k). حدد تخمينًا k = 0، x (k) r (k) = b - A x (k) طالما ( ||r (k) || 2 ≥ ε ) نفّذ تقييم الجانب الأيمن الجديد c (k) = N x (k) + b حل المعادلة L y (k) = c (k) بالتعويض الأمامي y (k) = L −1 c (k) حل المعادلة U x (k+1) = y (k) بالتعويض العكسي x (k+1) = U −1 y (k) نهاية الحلقة

• ستون، إتش إل (1968). "الحل التكراري للتقريبات الضمنية للمعادلات التفاضلية الجزئية متعددة الأبعاد". مجلة SIAM للتحليل العددي . 5 (3): 530-538 . Bibcode : 1968SJNA....5..530S . doi : 10.1137/0705044 . hdl : 10338.dmlcz/104038 .- المقال الأصلي
• فيرزيجر، جيه إتش وبيريك، إم. (2001). الأساليب الحسابية لديناميكا الموائع . سبرينغر-فيرلاغ، برلين. ISBN 3-540-42074-6.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
• أكوستا، جيه إم (2001). الخوارزميات العددية لمسائل ديناميكا الموائع الحسابية ثلاثية الأبعاد. أطروحة دكتوراه . جامعة البوليتكنيك في كاتالونيا.
• تتضمن هذه المقالة نصًا من مقالة Stone's_method على موقع CFD-Wiki والتي تخضع لرخصة GFDL .