دالة المجموعة الفرعية الجمعية

في الرياضيات، تُعرف دالة المجموعة شبه الجمعية بأنها دالة مجموعة تتميز، بشكل غير رسمي، بأن قيمة هذه الدالة على اتحاد مجموعتين لا تتجاوز مجموع قيمها على كل مجموعة على حدة. ويرتبط هذا المفهوم ارتباطًا وثيقًا بخاصية شبه الجمعية للدوال الحقيقية.

يترك$أوميغا$كن مجموعة و${\displaystyle f\colon 2^{\Omega }\rightarrow \mathbb {R} }$لتكن دالة مجموعة ، حيث${\displaystyle 2^{\Omega }}$يشير إلى مجموعة القوى لـ$أوميغا$تكون الدالة f شبه جمعية إذا كان لكل مجموعة جزئية${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$ل$أوميغا$لدينا${\displaystyle f(S)+f(T)\geq f(S\cup T)}$[ ^{1 ] [ 2 ]} لاحظ أنه بالاستبدال ^بـ${\displaystyle T=S}$وبإدخالها في المعادلة المحددة، يترتب على ذلك أن${\displaystyle f(S)\geq 0}$للجميع​${\displaystyle S}$⁠ .

كل دالة مجموعة فرعية غير سالبة هي دالة فرعية جمعية (عائلة الدوال الفرعية غير السالبة موجودة بشكل صارم في عائلة الدوال الفرعية الجمعية).

الدالة التي تحسب عدد المجموعات اللازمة لتغطية مجموعة معينة هي دالة شبه جمعية. ليكن${\displaystyle T_{1},\dotsc ,T_{m}\subseteq \Omega }$بحيث${\displaystyle \cup _{i=1}^{m}T_{i}=\Omega }$. يُعرِّف${\displaystyle f}$باعتبارها الحد الأدنى لعدد المجموعات الجزئية اللازمة لتغطية مجموعة معينة. رسميًا،${\displaystyle f(S)}$هو الحد الأدنى للعدد${\displaystyle t}$بحيث توجد مجموعات${\displaystyle T_{i_{1}},\dotsc ,T_{i_{t}}}$مُرضٍ${\displaystyle S\subseteq \cup _{j=1}^{t}T_{i_{j}}}$. ثم${\displaystyle f}$هو شبه إضافي.

أكبر دالة في مجموعة الدوال الجمعية هي دالة فرعية جمعية (وبالمقابل، أصغر دالة في مجموعة الدوال الجمعية هي دالة فائقة الجمعية ). رسميًا، لكل${\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,m\}}$، يترك${\displaystyle a_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} }$لتكن دوال مجموعات جمعية. إذن${\displaystyle f(S)=\max _{i}a_{i}(S)}$هي دالة مجموعة فرعية جمعية.

تُعد دوال المجموعات شبه الجمعية الكسرية تعميمًا للدوال شبه المعيارية وحالة خاصة من الدوال شبه الجمعية.${\displaystyle f}$ويكون أيضًا شبه جمعي كسري إذا استوفى التعريف التالي. ^{[ 1 ]} لكل${\displaystyle S\subseteq \Omega }$، كل${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}\subseteq \Omega }$وكل${\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\in [0,1]}$، لو${\displaystyle 1_{S}\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}1_{X_{i}}}$، ثم${\displaystyle f(S)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(X_{i})}$مجموعة الدوال شبه الجمعية الجزئية تساوي مجموعة الدوال التي يمكن التعبير عنها كأكبر قيمة للدوال الجمعية، كما في المثال الوارد في الفقرة السابقة. ^{[ 1 ]}

• دالة المجموعة الفرعية
• دوال المنفعة على السلع غير القابلة للتجزئة