خاصية الجمع الفائق

في الرياضيات ، الدالة${\displaystyle f}$تكون خاصية الجمع الفائق إذا ${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$ للجميع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في مجال​${\displaystyle f.}$

وبالمثل، تسلسل${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$يُطلق عليه اسم "فوق الجمعي" إذا حقق المتباينة$${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}}$$ للجميع${\displaystyle m}$و${\displaystyle n.}$

يُستخدم مصطلح "فوق الجمعي" أيضًا لوصف الدوال من الجبر البولياني إلى الأعداد الحقيقية حيث${\displaystyle P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y),}$مثل الاحتمالات المنخفضة .

• الخريطة${\displaystyle f(x)=x^{2}}$هي دالة فوق جمعية للأعداد الحقيقية غير السالبة لأن${\displaystyle f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy\geq f(x)+f(y).}$

• يكون المحدد فائق الجمع للمصفوفة الهرميتية غير السالبة ، أي إذا${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$إذا كانت هيرميتية غير سالبة${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).}$ويترتب على ذلك نظرية مينكوفسكي للمحددات ، والتي تنص بشكل عام على أن${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$تكون فائقة الجمع (أو مقعرة ) ^{[ 1 ]} للمصفوفات الهرميتية غير السالبة من الحجم${\displaystyle n}$: لو${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$إذا كانت هيرميتية غير سالبة${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.}$
• أثبت هورست ألزر ^{[ 2 ]} أن دالة غاما لهادامارد${\displaystyle H(x)}$خاصية الجمع الفائق هي خاصية لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle x,y}$مع${\displaystyle x,y\geq 1.5031.}$^{[ 3 ]}
• المعلومات المتبادلة

لو${\displaystyle f}$هي دالة فوق جمعية مجالها يحتوي${\displaystyle 0,}$ثم${\displaystyle f(0)\leq 0.}$لرؤية ذلك، ما عليك سوى ضبط${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle y=0}$في تعريف عدم المساواة.

معكوس الدالة فوق الجمعية هو دالة تحت الجمعية .

السبب الرئيسي لاستخدام المتتاليات فوق الجمعية هو اللمة التالية التي وضعها مايكل فيكيت . ^{[ 4 ]}

اللمة: (فيكيت) لكل متتالية فوق جمعية${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,}$الحد​${\displaystyle \lim a_{n}/n}$يساوي القيمة العليا${\displaystyle \sup a_{n}/n.}$ (قد تكون النهاية موجبة لا نهائية، كما هو الحال مع المتتالية)${\displaystyle a_{n}=\log n!}$على سبيل المثال.)

ينطبق نظير ليمّة فيكيت على الدوال شبه الجمعية أيضًا. وهناك امتدادات لليمّة فيكيت لا تتطلب أن يكون تعريف الجمعية الفائقة المذكور أعلاه صحيحًا لجميع الدوال.${\displaystyle m}$و${\displaystyle n.}$ توجد أيضًا نتائج تسمح باستنتاج معدل التقارب إلى النهاية التي ينص عليها مبرهنة فيكيت، إذا وُجد نوع من كلٍّ من خاصية الجمع الفائق والجمع الجزئي. يمكن الاطلاع على شرح وافٍ لهذا الموضوع في ستيل (1997). ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• التكامل الشوكيه – التكامل الفرعي أو التكامل الفائق 
• المقياس الداخلي
• خاصية شبه الجمعية - خاصية لبعض الدوال الرياضية 
• الدالة شبه الخطية - نوع من الدوال في الجبر الخطي 

ملحوظات

• جيورجي بوليا وغابور سزيغو. (1976). مسائل ونظريات في التحليل، المجلد الأول . سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك. رقم ISBN 0-387-05672-6.

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Superadditivity على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .