وحدة فائقة

في الرياضيات ، الوحدة الفائقة هي وحدة متدرجة من النوع _Z² فوق حلقة فائقة أو جبر فائق . تنشأ الوحدات الفائقة في الجبر الخطي الفائق ، وهو إطار رياضي لدراسة مفهوم التناظر الفائق في الفيزياء النظرية .

يمكن اعتبار الوحدات الفائقة فوق الجبر الفائق التبادلي تعميمًا للفضاءات المتجهة الفائقة فوق حقل (زوجي بحت) K. غالبًا ما تلعب الوحدات الفائقة دورًا أكثر بروزًا في الجبر الخطي الفائق مقارنةً بالفضاءات المتجهة الفائقة. والسبب في ذلك هو أنه غالبًا ما يكون من الضروري أو المفيد توسيع حقل الكميات القياسية ليشمل المتغيرات الفردية. عند القيام بذلك، ننتقل من الحقول إلى الجبر الفائق التبادلي، ومن الفضاءات المتجهة إلى الوحدات.

في هذه المقالة، يُفترض أن جميع الجبر الفائق ترابطي ووحدوي ما لم يُذكر خلاف ذلك.

ليكن A جبرًا فائقًا ثابتًا . الوحدة الفائقة اليمنى على A هي وحدة يمنى E على A مع تحليل المجموع المباشر (كمجموعة أبيلية ).

${\displaystyle E=E_{0}\oplus E_{1}}$

بحيث يحقق الضرب بعناصر المجموعة A الشرط التالي :

${\displaystyle E_{i}A_{j}\subseteq E_{i+j}}$

لكل i و j في Z _2. ثم تكون المجموعات الفرعية E _i هي وحدات A ₀ اليمنى .

تُسمى عناصر المجموعة Eᵢ متجانسة . زوجية العنصر المتجانس x ، ويرمز لها بـ | x |، تكون 0 أو 1 بحسب ما إذا كان ينتمي إلى _E₀ أو E₁ . تُسمى العناصر ذات الزوجية 0 زوجية _، والعناصر ذات الزوجية 1 فردية . إذا كان a عددًا قياسيًا متجانسًا، و x عنصرًا متجانسًا من E، _فإن | x · a | متجانس، و | x · a | = | x | + | a |.

وبالمثل، تُعرَّف الوحدات الفائقة اليسرى والوحدات الفائقة العليا على أنها وحدات يسارية أو وحدات ثنائية على A ، حيث تحترم عمليات الضرب القياسي فيها التدرجات بطريقة واضحة. إذا كانت A فائقة التبديل ، فيمكن اعتبار كل وحدة فائقة يسارية أو يمينية على A وحدة فائقة عليا بوضع

${\displaystyle a\cdot x=(-1)^{|a||x|}x\cdot a}$

بالنسبة للعناصر المتجانسة a ∈ A و x ∈ E ، والممتدة بالخطية. إذا كانت A زوجية بحتة، فإن هذا يختزل إلى التعريف العادي.

التشاكل بين الوحدات الفائقة هو تشاكل بين الوحدات يحافظ على التدرج. ليكن E و F وحدتين فائقتين يمينيتين على A. الخريطة

${\displaystyle \phi :E\to F\,}$

يكون تماثلًا فوقيًا إذا

• ${\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)\,}$
• ${\displaystyle \phi (x\cdot a)=\phi (x)\cdot a\,}$
• ${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{i}\,}$

لكل a ∈ A ولكل x و y ∈ E. يتم الإشارة إلى مجموعة جميع التشاكلات النمطية من E إلى F بواسطة Hom( E , F ).

في كثير من الحالات، يكون من الضروري أو المناسب النظر في فئة أوسع من التشكلات بين الوحدات الفائقة. ليكن A جبرًا فائق التبادل. عندئذٍ، يمكن اعتبار جميع الوحدات الفائقة على A وحدات فائقة بشكل طبيعي. بالنسبة للوحدات الفائقة E و F ، لنرمز بـ Hom ( E , F ) إلى فضاء جميع التطبيقات الخطية اليمنى على A (أي جميع تشكلات الوحدات من E إلى F باعتبارها وحدات يمنى غير متدرجة على A ). يوجد تدرج طبيعي على Hom ( E , F ) حيث تكون التشكلات الزوجية هي تلك التي تحافظ على التدرج.

${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{i}}$

والتشاكلات الفردية هي تلك التي تعكس التدرج

${\displaystyle \phi (E_{i})\subseteq F_{1-i}.}$

إذا كانت φ ∈ Hom ( E , F ) و a ∈ A متجانسة،

${\displaystyle \phi (x\cdot a)=\phi (x)\cdot a\qquad \phi (a\cdot x)=(-1)^{|a||\phi |}a\cdot \phi (x).}$

أي أن التشاكلات الزوجية تكون خطية من اليمين واليسار، بينما التشاكلات الفردية تكون خطية من اليمين ولكنها مضادة للخطية من اليسار (بالنسبة للتشاكل الذاتي للتصنيف).

يمكن إعطاء المجموعة Hom ( E , F ) بنية ثنائية الوحدات على A عن طريق وضع

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\cdot \phi )(x)&=a\cdot \phi (x)\\(\phi \cdot a)(x)&=\phi (a\cdot x).\end{aligned}}}$

مع التصنيف المذكور أعلاه، يصبح Hom ( E , F ) وحدة فائقة على A، وجزؤها الزوجي هو مجموعة جميع تشاكلات الوحدات الفائقة العادية.

${\displaystyle \mathbf {Hom} _{0}(E,F)=\mathrm {Hom} (E,F).}$

بلغة نظرية الفئات ، تُشكّل فئة جميع الوحدات الفائقة على A فئةً ذات تشاكلات وحدات فائقة كتشاكلات. هذه الفئة هي فئة أحادية متناظرة مغلقة تحت جداء الموتر الفائق، ودالة Hom الداخلية الخاصة بها تُعطى بواسطة Hom .

• ديلين، بيير ؛ جون دبليو. مورغان (1999). "ملاحظات حول التناظر الفائق (تبعًا لجوزيف بيرنشتاين)". الحقول الكمومية والأوتار: دورة للرياضيين . المجلد  1. الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 41-97 . ISBN  0-8218-2012-5.
• مانين، ي. إ. (1997). نظرية حقل القياس والهندسة المعقدة (  الطبعة الثانية). برلين: سبرينغر. ISBN 3-540-61378-1.
• فاراداراجان، ف. س. (2004). التناظر الفائق للرياضيين: مقدمة . سلسلة محاضرات كورانت في الرياضيات 11. الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 0-8218-3574-2.