تحلل تاكر

في الرياضيات، يُحلل تحليل تاكر الموتر إلى مجموعة من المصفوفات وموتر أساسي صغير. سُمي هذا التحليل نسبةً إلى ليديارد ر. تاكر ^{[ 1 ]} ، مع أن أصوله تعود إلى هيتشكوك عام 1927 ^{[ 2 ].} وُصف في البداية بأنه امتداد ثلاثي الأنماط لتحليل العوامل وتحليل المكونات الرئيسية ، ويمكن تعميمه ليشمل تحليل الأنماط العليا، والذي يُسمى أيضًا تحليل القيم المفردة من الرتبة العليا (HOSVD) أو تحليل القيم المفردة من النمط M. الخوارزمية التي يُشار إليها عادةً في المراجع عند مناقشة تحليل تاكر أو تحليل القيم المفردة من الرتبة العليا هي خوارزمية تحليل القيم المفردة من النمط M التي قدمها فاسيلسكو وتيرزوبولوس ^{[ 3 ]} ، ولكنها تُنسب خطأً إلى تاكر أو دي لاثاوير وآخرين.

يمكن اعتباره نموذجًا أكثر مرونة لتحليل العوامل المتوازية ( PARAFAC ). في تحليل العوامل المتوازية، يقتصر الموتر الأساسي على أن يكون "قطريًا".

يُستخدم تحليل تاكر عمليًا كأداة نمذجة. فعلى سبيل المثال، يُستخدم لنمذجة البيانات ثلاثية الأبعاد (أو ذات الأبعاد الأعلى) باستخدام عدد قليل نسبيًا من المكونات لكل نمط من الأنماط الثلاثة أو أكثر، وترتبط هذه المكونات ببعضها البعض عبر مصفوفة أساسية ثلاثية الأبعاد (أو ذات أبعاد أعلى). تُقدَّر معلمات النموذج بحيث تُحاكي البيانات المُنمذجة، عند ثبات عدد المكونات، البيانات الفعلية على النحو الأمثل وفقًا لمعيار المربعات الصغرى. يُقدّم النموذج ملخصًا للمعلومات الموجودة في البيانات، تمامًا كما يفعل تحليل المكونات الرئيسية للبيانات ثنائية الأبعاد.

بالنسبة لموتر من الدرجة الثالثة${\displaystyle T\in F^{n_{1}\times n_{2}\times n_{3}}}$، أين${\displaystyle F}$إما${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$يمكن التعبير عن تحليل تاكر على النحو التالي: $${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}\times _{3}U^{(3)}}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {T}}\in F^{d_{1}\times d_{2}\times d_{3}}}$هو الموتر الأساسي ، وهو موتر من الرتبة الثالثة يحتوي على القيم المفردة للنمط 1 والنمط 2 والنمط 3 لـ${\displaystyle T}$والتي تُعرَّف بأنها معيار فروبينيوس لشرائح النمط 1 والنمط 2 والنمط 3 من الموتر${\displaystyle {\mathcal {T}}}$على التوالى.${\displaystyle U^{(1)},U^{(2)},U^{(3)}}$هي مصفوفات وحدوية في${\displaystyle F^{d_{1}\times n_{1}},F^{d_{2}\times n_{2}},F^{d_{3}\times n_{3}}}$على التوالي. ناتج النمط k (حيث k = 1، 2، 3) لـ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$بواسطة${\displaystyle U^{(k)}}$يُشار إليه بـ${\displaystyle {\mathcal {T}}\times U^{(k)}}$مع إدخالات مثل

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)})(i_{1},j_{2},j_{3})&=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})\\({\mathcal {T}}\times _{2}U^{(2)})(j_{1},i_{2},j_{3})&=\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(2)}(j_{2},i_{2})\\({\mathcal {T}}\times _{3}U^{(3)})(j_{1},j_{2},i_{3})&=\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(3)}(j_{3},i_{3})\end{aligned}}}$

إجمالاً، يمكن كتابة التفكيك بشكل مباشر أكثر على النحو التالي

${\displaystyle T(i_{1},i_{2},i_{3})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{d_{2}}\sum _{j_{3}=1}^{d_{3}}{\mathcal {T}}(j_{1},j_{2},j_{3})U^{(1)}(j_{1},i_{1})U^{(2)}(j_{2},i_{2})U^{(3)}(j_{3},i_{3})}$

أخذ${\displaystyle d_{i}=n_{i}}$للجميع${\displaystyle i}$يكفي دائمًا للتمثيل${\displaystyle T}$بالضبط، ولكن غالباً${\displaystyle T}$يمكن ضغطها أو تقريبها بكفاءة عن طريق الاختيار${\displaystyle d_{i}<n_{i}}$الخيار الشائع هو${\displaystyle d_{1}=d_{2}=d_{3}=\min(n_{1},n_{2},n_{3})}$، وهو ما يمكن أن يكون فعالاً عندما يكون الفرق في أحجام الأبعاد كبيراً.

هناك حالتان خاصتان لتحليل تاكر:

تاكر1 : إذا${\displaystyle U^{(2)}}$و${\displaystyle U^{(3)}}$إذا كانت الهوية${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}}$

تاكر2 : إذا${\displaystyle U^{(3)}}$إذن، هي الهوية${\displaystyle T={\mathcal {T}}\times _{1}U^{(1)}\times _{2}U^{(2)}}$.

يمكن اعتبار تحليل RESCAL ^{[ 4 ]} حالة خاصة من تحليل Tucker حيث${\displaystyle U^{(3)}}$الهوية و${\displaystyle U^{(1)}}$يساوي${\displaystyle U^{(2)}}$.

• تحليل القيم المفردة من الرتبة العليا
• تحليل المكونات الرئيسية متعدد الخطوط