دالة القيمة

الموسوعة الحرة

تُعطي دالة القيمة لمسألة التحسين القيمة التي تحققها دالة الهدف عند الحل، مع اعتمادها فقط على معلمات المسألة. [ 1 ] [ 2 ] في نظام ديناميكي مُتحكم به ، تُمثل دالة القيمة العائد الأمثل للنظام على الفترة الزمنية المحددة.[ت،ت1]{\displaystyle [t,t_{1}]}عندما بدأ في ذلك الوقت-ت{\displaystyle t}متغير الحالةx(ت)=x{\displaystyle x(t)=x}[ 3 ] إذا كانت دالة الهدف تمثل تكلفةً ما يُراد تقليلها، فيمكن تفسير دالة القيمة على أنها تكلفة إتمام البرنامج الأمثل، ولذا تُسمى "دالة تكلفة التنفيذ". [ 4 ] [ 5 ] في السياق الاقتصادي، حيث تمثل دالة الهدف عادةً المنفعة ، فإن دالة القيمة تُعادل من الناحية المفاهيمية دالة المنفعة غير المباشرة . [ 6 ] [ 7 ]

في مسألة التحكم الأمثل ، تُعرَّف دالة القيمة بأنها القيمة العليا لدالة الهدف المأخوذة على مجموعة عناصر التحكم المسموح بها.(ت0،x0)∈[0،ت1]×Rد{\displaystyle (t_{0},x_{0})\in [0,t_{1}]\times \mathbb {R} ^{d}}تتمثل إحدى مسائل التحكم الأمثل النموذجية في

أقصىج(ت0،x0؛u)=∫ت0ت1أنا(ت،x(ت)،u(ت))دت+ϕ(x(ت1)){\displaystyle {\text{maximize}}\quad J(t_{0},x_{0};u)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}I(t,x(t),u(t))\,\mathrm {d} t+\phi (x(t_{1}))}

رهناً بـ

دx(ت)دت=و(ت،x(ت)،u(ت)){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(t,x(t),u(t))}

مع متغير الحالة الأوليةx(ت0)=x0{\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}[ 8 ] دالة الهدفج(ت0،x0؛u){\displaystyle J(t_{0},x_{0};u)}يجب تحقيق أقصى قدر من الكفاءة في جميع الضوابط المسموح بهاu∈يو[ت0،ت1]{\displaystyle u\in U[t_{0},t_{1}]}، أينu{\displaystyle u}هي دالة قابلة للقياس وفقًا لمعيار لوبيغ من[ت0،ت1]{\displaystyle [t_{0},t_{1}]}إلى مجموعة محددة تعسفية فيRم{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}ثم تُعرَّف دالة القيمة على النحو التالي:

V(ت،x(ت))=الأعلىu∈يو∫تت1أنا(τ،x(τ)،u(τ))دτ+ϕ(x(ت1)){\displaystyle V(t,x(t))=\max _{u\in U}\int _{t}^{t_{1}}I(\tau ,x(\tau ),u(\tau ))\,\mathrm {d} \tau +\phi (x(t_{1}))}

معV(ت1،x(ت1))=ϕ(x(ت1)){\displaystyle V(t_{1},x(t_{1}))=\phi (x(t_{1}))}، أينϕ(x(ت1)){\displaystyle \phi (x(t_{1}))}هي "قيمة الخردة". إذا كان الزوج الأمثل من مسارات التحكم والحالة هو(x*،u*){\displaystyle (x^{\ast },u^{\ast })}، ثمV(ت0،x0)=ج(ت0،x0؛u*){\displaystyle V(t_{0},x_{0})=J(t_{0},x_{0};u^{\ast })}الوظيفةح{\displaystyle h}وهذا يوفر التحكم الأمثلu*{\displaystyle u^{\ast }}بناءً على الوضع الحاليx{\displaystyle x}يُطلق عليها سياسة التحكم بالتغذية الراجعة، [ 4 ] أو ببساطة دالة السياسة. [ 9 ]

ينص مبدأ بيلمان للأمثلية بشكل عام على أن أي سياسة مثلى في وقتت{\displaystyle t}،ت0≤ت≤ت1{\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}أخذ الوضع الحالي في الاعتبارx(ت){\displaystyle x(t)}بما أن الشرط الابتدائي "الجديد" يجب أن يكون الأمثل للمسألة المتبقية. إذا كانت دالة القيمة قابلة للتفاضل باستمرار ، [ 10 ] فإن هذا يؤدي إلى معادلة تفاضلية جزئية مهمة تُعرف باسم معادلة هاميلتون-جاكوبي-بيلمان .

-∂V(ت،x)∂ت=الأعلىu{أنا(ت،x،u)+∂V(ت،x)∂xو(ت،x،u)}{\displaystyle -{\frac {\partial V(t,x)}{\partial t}}=\max _{u}\left\{I(t,x,u)+{\frac {\partial V(t,x)}{\partial x}}f(t,x,u)\right\}}

حيث يمكن إعادة كتابة الحد الأقصى على الجانب الأيمن أيضًا على أنه الهاميلتوني ،ح(ت،x،u،λ)=أنا(ت،x،u)+λ(ت)و(ت،x،u){\displaystyle H\left(t,x,u,\lambda \right)=I(t,x,u)+\lambda (t)f(t,x,u)}، مثل

-∂V(ت،x)∂ت=الأعلىuح(ت،x،u،λ){\displaystyle -{\frac {\partial V(t,x)}{\partial t}}=\max _{u}H(t,x,u,\lambda )}

مع∂V(ت،x)/∂x=λ(ت){\displaystyle \partial V(t,x)/\partial x=\lambda (t)}[ 11 ] وبناءً على هذا التعريف ، لدينا أيضًادλ(ت)/دت=∂2V(ت،x)/∂x∂ت+∂2V(ت،x)/∂x2⋅و(x){\displaystyle \mathrm {d} \lambda (t)/\mathrm {d} t=\partial ^{2}V(t,x)/\partial x\partial t+\partial ^{2}V(t,x)/\partial x^{2}\cdot f(x)}وبعد اشتقاق طرفي معادلة هاميلتون-جاكوبي-بيل بالنسبة إلىx{\displaystyle x}،

-∂2V(ت،x)∂ت∂x=∂أنا∂x+∂2V(ت،x)∂x2و(x)+∂V(ت،x)∂x∂و(x)∂x{\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}V(t,x)}{\partial t\partial x}}={\frac {\partial I}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}V(t,x)}{\partial x^{2}}}f(x)+{\frac {\partial V(t,x)}{\partial x}}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}}

وبعد استبدال الحدود المناسبة، يتم استعادة معادلة الحالة المرافقة

-λ˙(ت)=∂أنا∂x+λ(ت)∂و(x)∂x⏟=∂ح∂x{\displaystyle -{\dot {\lambda }}(t)=\underbrace {{\frac {\partial I}{\partial x}}+\lambda (t){\frac {\partial f(x)}{\partial x}}} _{={\frac {\partial H}{\partial x}}}}

أينλ˙(ت){\displaystyle {\dot {\lambda }}(t)}[ 12 ] هو رمز نيوتن للمشتقة بالنسبة للزمن.

دالة القيمة هي الحل الوحيد للزوجة لمعادلة هاميلتون-جاكوبي-بيلمان. [ 13 ] في التحكم الأمثل التقريبي ذي الحلقة المغلقة عبر الإنترنت ، تُعد دالة القيمة أيضًا دالة ليابونوف التي تُثبت الاستقرار التقاربي الشامل لنظام الحلقة المغلقة. [ 14 ]

مراجع

  1. ↑ فليمنج، ويندل هـ .؛ ريشيل، ريموند و. (1975). التحكم الأمثل الحتمي والعشوائي . نيويورك: سبرينغر. ص 81-83 . ISBN  0-387-90155-8.
  2. ↑ كابوتو، مايكل ر. (2005). أسس التحليل الاقتصادي الديناميكي : نظرية التحكم الأمثل وتطبيقاتها . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 185. ISBN   0-521-60368-4.
  3. ↑ ويبر، توماس أ. (2011). نظرية التحكم الأمثل : مع تطبيقات في الاقتصاد . كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 82. ISBN   978-0-262-01573-8.
  4. 1 2 بيرتسيكاس، ديمتري ب.؛ تسيتسيكليس، جون ن. (1996). البرمجة العصبية الديناميكية . بلمونت: أثينا ساينتيفيك. ص 2. ISBN  1-886529-10-8.
  5. ↑ "EE365: البرمجة الديناميكية" (PDF) .
  6. ↑ ماس-كوليل، أندرو ؛ وينستون، مايكل د.؛ غرين، جيري ر. (1995). نظرية الاقتصاد الجزئي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 964. ISBN  0-19-507340-1.
  7. ↑ كورباي، دين؛ ستينشكومب، ماكسويل ب.؛ زيمان، يوراي (2009). مقدمة في التحليل الرياضي للنظرية الاقتصادية والاقتصاد القياسي . مطبعة جامعة برينستون. ص 145. ISBN  978-0-691-11867-3.
  8. ↑ كامين، مورتون آي .؛ شوارتز، نانسي إل. (1991). التحسين الديناميكي : حساب التفاضل والتكامل والتحكم الأمثل في الاقتصاد والإدارة ( الطبعة الثانية). أمستردام: نورث هولاند. ص 259. ISBN    0-444-01609-0.
  9. ↑ ليونغكفيست، لارس ؛ سارجنت، توماس ج. (2018). نظرية الاقتصاد الكلي التكرارية ( الطبعة الرابعة). كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 106. ISBN   978-0-262-03866-9.
  10. ↑ وضع بنفنيست وشينكمان شروطًا كافية لتفاضل دالة القيمة، مما يسمح بدوره بتطبيق نظرية الغلاف ، انظر: بنفنيست، ل.م.؛ شينكمان، ج.أ. (1979). "حول تفاضل دالة القيمة في النماذج الديناميكية للاقتصاد". إيكونومتريكا . 47 (3): 727-732 . doi : 10.2307/1910417 . JSTOR 1910417 . انظر أيضًا: سييرستاد، أتلي (1982). "خصائص قابلية التفاضل لدالة القيمة المثلى في نظرية التحكم". مجلة ديناميكيات الاقتصاد والتحكم . 4 : 303-310 . doi : 10.1016/0165-1889(82)90019-7 .
  11. ↑ كيرك، دونالد إي. (1970). نظرية التحكم الأمثل . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ص 88. ISBN  0-13-638098-0.
  12. ↑ تشو، إكس واي (1990). "مبدأ الحد الأقصى، والبرمجة الديناميكية، وعلاقتهما في التحكم الحتمي". مجلة نظرية التطبيقات الأمثلية . 65 (2): 363-373 . doi : 10.1007/BF01102352 . S2CID 122333807 . 
  13. ↑ النظرية 10.1 في بريسان، ألبرتو (2019). "حلول اللزوجة لمعادلات هاميلتون-جاكوبي ومسائل التحكم الأمثل" (ملف PDF) . ملاحظات المحاضرة .
  14. ↑ كمالابوركار، روشيكيش؛ والترز، باتريك؛ روزنفيلد، جويل؛ ديكسون، وارن (2018). "التحكم الأمثل واستقرار ليابونوف" . التعلم المعزز للتحكم الأمثل بالتغذية الراجعة: منهج قائم على ليابونوف . برلين: سبرينغر. ص 26-27 . ISBN  978-3-319-78383-3.

للمزيد من القراءة