مشكلة في توجيه المركبات

تُعدّ مسألة توجيه المركبات ( VRP ) مسألةً في التحسين التوافقي والبرمجة العددية ، وتطرح السؤال التالي: "ما هي مجموعة المسارات المثلى التي يجب أن تسلكها أسطول من المركبات لتوصيل البضائع إلى مجموعة معينة من العملاء؟". ظهرت هذه المسألة لأول مرة، تحت مسمى مسألة إرسال الشاحنات ، في ورقة بحثية لجورج دانتزيج وجون رامسر عام 1959، ^{[ 1 ]} حيث طُبّقت على توصيل البنزين. غالبًا ما يكون السياق هو توصيل البضائع الموجودة في مستودع مركزي إلى العملاء الذين طلبوا هذه البضائع. ^{[ 2 ]} ومع ذلك، تتناول متغيرات أخرى من المسألة، على سبيل المثال، جمع النفايات الصلبة ^{[ 3 ]} ونقل كبار السن والمرضى من وإلى مرافق الرعاية الصحية. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} الهدف الأساسي لمسألة توجيه المركبات هو تقليل التكلفة الإجمالية للمسار. ^{[ 6 ]}^{: 5} كما تُؤخذ أهداف أخرى في الاعتبار، مثل تقليل عدد المركبات المستخدمة أو المسافة المقطوعة. ^{[ 7 ]}

تُعمم مسألة توجيه المركبات (VRP) مسألة البائع المتجول (TSP)، والتي تُعادل اشتراط مسار واحد لزيارة جميع المواقع. وبما أن مسألة البائع المتجول (TSP) هي مسألة صعبة الحل (NP-hard )، فإن مسألة توجيه المركبات (VRP) هي أيضاً مسألة صعبة الحل (NP-hard). ^{[ 6 ]}^{: 5}

تُستخدم مسائل توجيه المركبات (VRP) بشكل مباشر في العديد من التطبيقات الصناعية. غالبًا ما يدّعي مُورّدو أدوات توجيه المركبات أنها تُوفّر ما بين 5% و30% من التكاليف. ^{[ 8 ]} تميل برامج الحلول التجارية إلى استخدام أساليب استدلالية نظرًا لحجم مسائل توجيه المركبات الواقعية وتكرارها.

تحديد المشكلة

تتعلق مسألة توجيه المركبات (VRP) بخدمة شركة توصيل. وتحدد كيفية توصيل البضائع من مستودع واحد أو أكثر ، يمتلك كل منها مجموعة محددة من المركبات ويقودها مجموعة من السائقين القادرين على التنقل عبر شبكة طرق محددة ، إلى مجموعة من العملاء . وتتطلب هذه المسألة تحديد مجموعة من المسارات ، S ، (مسار واحد لكل مركبة يبدأ وينتهي في مستودعها الخاص) بحيث يتم تلبية جميع متطلبات العملاء والقيود التشغيلية، مع تقليل تكلفة النقل الإجمالية إلى أدنى حد. وقد تكون هذه التكلفة مالية أو متعلقة بالمسافة أو غير ذلك. ^{[ 6 ]}

يمكن وصف شبكة الطرق باستخدام رسم بياني حيث تمثل الأقواس الطرق، وتمثل الرؤوس التقاطعات بينها. قد تكون الأقواس موجهة أو غير موجهة نظرًا لوجود شوارع ذات اتجاه واحد أو اختلاف التكاليف في كل اتجاه. لكل قوس تكلفة مرتبطة به، وهي عادةً طوله أو زمن الرحلة، والذي قد يعتمد على نوع المركبة. ^{[ 6 ]}

لمعرفة التكلفة الإجمالية لكل مسار، يجب معرفة تكلفة السفر ووقت السفر بين كل عميل والمستودع. وللقيام بذلك، يتم تحويل الرسم البياني الأصلي إلى رسم بياني تكون فيه الرؤوس هي العملاء والمستودع، والأقواس هي الطرق بينهما. تكلفة كل قوس هي أقل تكلفة بين النقطتين على شبكة الطرق الأصلية. وهذا سهل التنفيذ لأن مسائل أقصر مسار سهلة الحل نسبيًا. هذا يحول الرسم البياني الأصلي المتفرق إلى رسم بياني كامل . لكل زوج من الرؤوس i و j ، يوجد قوس (i,j) في الرسم البياني الكامل، وتُكتب تكلفته على النحو التالي: $C_{ij}$ ويُعرَّف بأنه تكلفة أقصر مسار من i إلى j . وقت السفر $t_{ij}$ هو مجموع أوقات السفر للأقواس على أقصر مسار من i إلى j على مخطط الطريق الأصلي.

أحيانًا يكون من المستحيل تلبية جميع طلبات العميل، وفي مثل هذه الحالات، قد يُخفّض مُقدّمو الحلول طلبات بعض العملاء أو يتركون بعضهم دون خدمة. ولمعالجة هذه الحالات، يُمكن إدخال مُتغيّر أولوية لكل عميل أو فرض عقوبات على تقديم خدمة جزئية أو عدم تقديم الخدمة لأي عميل ^{[ 6 ].}

يمكن أن تختلف دالة الهدف لمسألة توجيه المركبات (VRP) اختلافًا كبيرًا اعتمادًا على التطبيق المحدد للنتيجة، ولكن بعض الأهداف الأكثر شيوعًا هي: ^{[ 6 ]}

تقليل تكلفة النقل العالمية بناءً على المسافة العالمية المقطوعة بالإضافة إلى التكاليف الثابتة المرتبطة بالمركبات والسائقين المستخدمين
تقليل عدد المركبات اللازمة لخدمة جميع العملاء
أقل تباين في وقت السفر وحمولة المركبة
تقليل العقوبات المفروضة على الخدمات ذات الجودة المنخفضة
تحقيق أقصى ربح/نتيجة مجمعة.

متغيرات VRP

توجد عدة اختلافات وتخصصات لمشكلة توجيه المركبات:

مسألة توجيه المركبات مع الأرباح (VRPP): هي مسألة تعظيم تُنسب فيها الأرباح إلى كل عميل، والتكاليف (عادةً ما تكون من حيث الوقت) إلى كل مسار (الانتقال من عميل إلى آخر)، مع وجود قيود على هذه الأرباح والتكاليف. ^{[ 9 ]} وتشمل المسائل الفرعية الشائعة في مسألة توجيه المركبات مع الأرباح ما يلي:
- مسألة التوجيه (OP)، حيث يُعطى قيد سعري (أو قيد زمني) والهدف هو تعظيم مجموع الأرباح المُجمّعة مع مراعاة حد التكلفة. يُشترط أن تبدأ المركبات وتنتهي عند المستودع. من بين مسائل التوجيه الأكثر شهرةً ودراسةً ما يلي:
  - مشكلة توجيه الفريق (TOP) وهي أكثر أنواع VRPP دراسة، ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}
  - مشكلة توجيه الفريق ذي القدرات المحدودة (CTOP)،
  - أعلى مستوى مع نوافذ زمنية (TOPTW).
- مشكلة البائع المتجول المجمعة (PCTSP)، حيث يكون الهدف هو تقليل التكلفة الإجمالية، مع مراعاة شرط أن يتجاوز الربح المحصل قيمة معينة.
- مشكلة الجولة المربحة (PTP)، والتي يكون الهدف فيها هو تعظيم الفرق بين الربح والتكلفة.
مشكلة توجيه المركبات مع النقل العكسي (VRPB): تُعطى مجموعات منفصلة من عملاء التوصيل والاستلام. يجب توصيل البضائع من المستودع إلى عميل التوصيل، ومن عملاء الاستلام إلى المستودع. ^{[ 13 ]} قد يُمنع على المركبات استلام البضائع من العملاء حتى يتم توصيل جميع البضائع المنقولة إلى عملاء التوصيل، أو يُسمح لها بتبديل عمليات الاستلام مع عمليات التوصيل بتكلفة محتملة. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}
مشكلة توجيه المركبات مع الاستلام والتسليم (VRPPD): يتطلب الأمر نقل عدد من البضائع من مواقع استلام محددة إلى مواقع تسليم أخرى. والهدف هو إيجاد المسارات المثلى لأسطول من المركبات لزيارة مواقع الاستلام والتسليم.
مشكلة توجيه المركبات مع تطبيق مبدأ LIFO : تشبه هذه المشكلة مشكلة VRPPD، إلا أنها تفرض قيدًا إضافيًا على تحميل المركبات: في أي موقع تسليم، يجب أن يكون العنصر المراد تسليمه هو العنصر الذي تم استلامه مؤخرًا. يقلل هذا النظام من أوقات التحميل والتفريغ في مواقع التسليم، إذ لا حاجة لتفريغ العناصر مؤقتًا باستثناء العناصر التي يجب تسليمها.
مشكلة توجيه المركبات مع النوافذ الزمنية (VRPTW): مواقع التسليم لها نوافذ زمنية يجب أن تتم خلالها عمليات التسليم (أو الزيارات).
مشكلة توجيه المركبات ذات السعة المحدودة: CVRP أو CVRPTW. تتمتع المركبات بسعة نقل محدودة للبضائع التي يجب توصيلها.
مشكلة توجيه المركبات مع رحلات متعددة (VRPMT): يمكن للمركبات القيام بأكثر من مسار واحد.
مشكلة توجيه المركبات المفتوحة (OVRP): المركبات ليست مطالبة بالعودة إلى المستودع.
مشكلة توجيه المخزون (IRP): المركبات مسؤولة عن تلبية الطلبات في كل نقطة تسليم ^{[ 15 ]}
مشكلة توجيه المركبات متعددة المستودعات (MDVRP): توجد مستودعات متعددة يمكن للمركبات أن تبدأ منها وتنتهي فيها. ^{[ 16 ]}
مشكلة توجيه المركبات مع عمليات النقل (VRPWT): يمكن نقل البضائع بين المركبات في مراكز نقل مخصصة.
مشكلة توجيه المركبات الكهربائية (EVRP): نوع مختلف يتم فيه استخدام المركبات الكهربائية، مما يتطلب اعتبارات إضافية مثل نطاق البطارية المحدود وقرارات الشحن.

قام العديد من موردي البرامج بتطوير منتجات برمجية لحل مشاكل VRP المختلفة. تتوفر العديد من المقالات لمزيد من التفاصيل حول أبحاثهم ونتائجهم.

على الرغم من أن مشكلة توجيه المركبات (VRP) مرتبطة بمشكلة جدولة ورش العمل ، إلا أن المشكلتين تُحلان عادةً باستخدام تقنيات مختلفة. ^{[ 17 ]}

طرق الحل الدقيق

هناك ثلاثة مناهج رئيسية لنمذجة VRP باستخدام البرمجة الخطية المختلطة (MILP): ^{[ 6 ]}

صياغات تدفق المركبات - تستخدم هذه الصياغات متغيرات عددية مرتبطة بكل قوس، تُحسب من خلالها عدد مرات عبور المركبة للحافة. تُستخدم هذه الصياغات عادةً في مسائل توجيه المركبات الأساسية. وهي مناسبة للحالات التي يمكن فيها التعبير عن تكلفة الحل كمجموع التكاليف المرتبطة بالأقواس. مع ذلك، لا يمكن استخدامها في العديد من التطبيقات العملية. ^{[ 6 ]}
صياغات تدفق السلع - ترتبط متغيرات عددية إضافية بالأقواس أو الحواف التي تمثل تدفق السلع على طول المسارات التي تسلكها المركبات. وقد استُخدم هذا مؤخرًا فقط لإيجاد حل دقيق. ^{[ 6 ]}
تقسيم المجموعات — يُصاغ نموذج VRP في هذا النهج على أنه مسألة تغطية مجموعة ، حيث تُمثل المواقع الكون، بينما تُمثل مجموعة جميع المسارات الممكنة ( الدورات ) مجموعة المجموعات المتاحة للاختيار. ^{[ 18 ]} يمكن بعد ذلك نمذجة المسألة باستخدام نموذج برمجة خطية لمسألة تغطية المجموعة الموزونة ، حيث يُحدد وزن كل مسار بتكلفته. قد ينتج عن نمذجة VRP بهذه الطريقة عددٌ أُسّي من المتغيرات الثنائية في البرنامج الخطي، حيث يرتبط كل متغير بعددٍ أُسّي محتمل من المسارات الممكنة. ^{[ 6 ]}

معادلات تدفق المركبات

تم توسيع صياغة مسألة البائع المتجول (TSP) بواسطة دانتزيج وفولكرسون وجونسون لإنشاء صيغتي تدفق المركبات المؤشرة لمسألة توجيه المركبات (VRP).

{\text{min}}\sum _{i\in V}\sum _{j\in V}c_{ij}x_{ij}

رهناً بـ

\sum _{i\in V}x_{ij}=1\quad \forall j\in V\backslash \left\{0\right\}

1

\sum _{j\in V}x_{ij}=1\quad \forall i\in V\backslash \left\{0\right\}

2

\sum _{i\in {V\backslash \left\{0\right\}}}x_{i0}=K

3

\sum _{j\in {V\backslash \left\{0\right\}}}x_{0j}=K

4

\sum _{i\notin S}\sum _{j\in S}x_{ij}\geq r(S),~~\forall S\subseteq V\setminus \{0\},S\neq \emptyset

5

x_{ij}\in \{0,1\}\quad \forall i,j\in V

6

في هذه التركيبة $c_{ij}$ يمثل تكلفة الانتقال من العقدة $i$ إلى العقدة $j$ ، $x_{ij}$ هو متغير ثنائي له قيمة $1$ إذا كان القوس المتجه من $i$ ل $j$ يُعتبر جزءًا من الحل و $0$ خلاف ذلك، $K$ هو عدد المركبات المتاحة و $r(S)$ يتوافق مع الحد الأدنى لعدد المركبات اللازمة لخدمة المجموعة $S$ نفترض أيضاً أن $0$ هي عقدة المستودع.

تنص القيود 1 و 2 على أن قوسًا واحدًا فقط يدخل ويخرج من كل رأس مرتبط بعميل، على التوالي. وتنص القيود 3 و 4 على أن عدد المركبات المغادرة للمستودع يساوي عدد المركبات الداخلة إليه. أما القيد 5 فهو قيد قطع السعة، والذي يفرض ضرورة اتصال المسارات وعدم تجاوز الطلب على كل مسار سعة المركبات. وأخيرًا، القيد 6 هو قيد التكامل. ^{[ 6 ]}

أحد القيود التعسفية من بين $2|V|$ القيود مضمنة بالفعل في الباقي $2|V|-1$ يمكن إزالتها. كل قطع محدد من قبل مجموعة العميل $S$ يتقاطع مع عدد من الأقواس لا يقل حجمها عن $r(S)$ ( الحد الأدنى لعدد المركبات اللازمة لخدمة المجموعة) $S$ ). ^{[ 6 ]}

يمكن الحصول على صيغة بديلة عن طريق تحويل قيود خفض السعة إلى قيود إزالة الجولات الفرعية المعممة (GSECs).

\sum _{i\in S}\sum _{j\in S}x_{ij}\leq |S|-r(S)

مما يفرض أن يكون على الأقل $r(S)$ تغادر الأقواس كل عميل مجموعة $S$ [ ⁶^]

تحتوي نماذج GCECs وCCCs على عدد هائل من القيود، مما يجعل حل الاسترخاء الخطي شبه مستحيل عمليًا. يتمثل أحد الحلول الممكنة في النظر في مجموعة فرعية محدودة من هذه القيود وإضافة الباقي عند الحاجة. يتم تحديد القيود المطلوبة من خلال إجراء فصل. وقد طُوّرت طرق فصل دقيقة وفعّالة لمثل هذه القيود (استنادًا إلى البرمجة الخطية المختلطة ). ^{[ 19 ]}

ثمة طريقة مختلفة أخرى تتمثل في استخدام مجموعة من القيود التي لها عدد متعدد الحدود ، والمعروفة باسم قيود MTZ، وقد تم اقتراحها لأول مرة لمسألة البائع المتجول ^{[ 20 ]} وتم توسيعها لاحقًا بواسطة كريستوفيدس ومينجوزي وتوث. ^{[ 21 ]}

u_{j}-u_{i}\geq d_{j}-C(1-x_{ij})~~~~~~\forall i,j\in V\backslash \{0\},i\neq j~~~~{\text{s.t. }}d_{i}+d_{j}\leq C

0\leq u_{i}\leq C-d_{i}~~~~~~\forall i\in V\backslash \{0\}

أين $u_{i},~i\in V\backslash \{0\}$ وهو متغير مستمر إضافي يمثل الحمولة المتبقية في السيارة بعد زيارة العميل $i$ و $d_{i}$ هو طلب العميل $i$ تفرض هذه المتطلبات متطلبات الاتصال والسعة على حد سواء. عندما $x_{ij}=0$ ثم قيد $i$ ليس ملزمًا لأن $u_{i}\leq C$ و $u_{j}\geq d_{j}$ بينما $x_{ij}=1$ يفرضون ذلك $u_{j}\geq u_{i}+d_{j}$ .

استُخدمت هذه الأساليب على نطاق واسع لنمذجة مسائل توجيه المركبات الأساسية (CVRP) ومسألة توجيه المركبات القائمة على الأقواس (VRPB). مع ذلك، تقتصر فعاليتها على هذه المسائل البسيطة. ولا يمكن استخدامها إلا عندما يُمكن التعبير عن تكلفة الحل كمجموع تكاليف الأقواس. كما لا يُمكننا معرفة المركبة التي تعبر كل قوس. لذا، لا يُمكننا استخدامها في النماذج الأكثر تعقيدًا حيث تعتمد التكلفة أو الجدوى على ترتيب العملاء أو المركبات المستخدمة. ^{[ 6 ]}

التوجيه الأمثل اليدوي مقابل التوجيه الأمثل التلقائي

توجد طرق عديدة لحل مشاكل توجيه المركبات يدويًا. على سبيل المثال، يُعدّ التوجيه الأمثل مسألة بالغة الأهمية لكفاءة الرافعات الشوكية في المستودعات الكبيرة. من بين الطرق اليدوية لتحديد المسار الأمثل: طريقة أكبر فجوة، والمسار على شكل حرف S، والمسار ممرًا تلو الآخر، والطريقة المُدمجة، والطريقة المُدمجة المُحسّنة. على الرغم من أن الطريقة المُدمجة المُحسّنة هي الأكثر تعقيدًا، وبالتالي الأصعب استخدامًا من قِبل مُشغّلي الرافعات الشوكية، إلا أنها الطريقة الأكثر كفاءة. مع ذلك، بلغ متوسط الفرق بين طريقة التوجيه الأمثل اليدوية والمسار الأمثل الفعلي 13%. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}

حلول تقريبية

تستخدم العديد من التطبيقات العملية أساليب حسابية تُنتج حلولًا تقريبية، نظرًا للتعقيد الحسابي لمسألة توجيه المركبات. وتعتمد هذه الأساليب عادةً على الاستدلالات ، وتنتمي إلى إحدى فئتين: ^{[ 6 ]}^{: 109}

الأساليب الاستدلالية الكلاسيكية - تقوم بتنفيذ مجموعة من العمليات البسيطة نسبياً لإنشاء حل جيد نسبياً بسرعة.
الأساليب الاستدلالية المتقدمة – تصنيف واستكشاف الأجزاء الأكثر واعدة من فضاء الحلول.

الميتاهيروستيك

نظراً لصعوبة الوصول إلى الحل الأمثل في مسائل توجيه المركبات واسعة النطاق، فقد بُذلت جهود بحثية كبيرة في مجال الخوارزميات فوق الحدسية ، مثل الخوارزميات الجينية ، وبحث تابو ، والتقسية المحاكاة ، وبحث الجوار الكبير التكيفي (ALNS). وقد حققت بعض أحدث وأكثر الخوارزميات فوق الحدسية كفاءةً في مسائل توجيه المركبات حلولاً قريبة من الحل الأمثل بنسبة 0.5% أو 1% في مسائل تتضمن مئات أو آلاف نقاط التوصيل. ^{[ 24 ]} وتتميز هذه الطرق أيضاً بمتانتها، إذ يُمكن تكييفها بسهولة أكبر للتعامل مع مجموعة متنوعة من القيود الجانبية. ولذلك، يُفضل غالباً استخدام تقنيات الخوارزميات فوق الحدسية في التطبيقات واسعة النطاق ذات القيود المعقدة ومجموعات القرارات المتعددة.

تعتمد العديد من الطرق على التحسين. تتألف هذه الطرق عادةً من مرحلة بناء سريعة لمسار أولي، باستخدام خوارزمية جشعة على سبيل المثال، تليها مرحلة تحسين متكررة، حيث يتم البحث عن تعديلات صغيرة تُحسّن من درجة المسار. تُستخدم آليات لتجنب الحلول المثلى المحلية، على سبيل المثال بالسماح بحركات لا تُحسّن من درجة المسار على المدى القصير. ^{[ 25 ]}

الأساليب غير الميتاهوريستية

تم اقتراح طرق إضافية لحل مشكلة توجيه المركبات، بعضها يعتمد على ظروف المشكلة المحددة.

في حالة مسألة توجيه المركبات ذات الربح المتغير مع الزمن، تم اقتراح خوارزميات متنوعة لمراعاة بُعد الزمن. في أحد هذه الأساليب، يتم تطبيق التحسين المحلي، حيث يتضمن ربح كل خطوة التغير في الربح المحتمل للرؤوس التي لم تتم زيارتها بعد. ^{[ 26 ]}

هناك خوارزمية أخرى، لا تعتمد على التحسين، تبدأ بتقسيم الوقت إلى أجزاء. الرسم البياني ثنائي الأبعاد للرؤوس على الشكل التالي: $(x,y)$ يتم استبدالها برسم بياني ثلاثي الأبعاد من الرؤوس على الشكل التالي $(x,y,t)$ ، أين $t$ يمثل نقطة زمنية. يُخصص لكل رأس في الرسم البياني الجديد ربحٌ مُقابل، وتمثل الحواف الموجهة بين الرؤوس إمكانية الانتقال من موقعٍ ما في وقتٍ مُحدد إلى موقعٍ آخر في وقتٍ مُختلف. ثم تُطبق البرمجة الديناميكية لتحديد مسار ذي ربحٍ عالٍ في الرسم البياني الموجه غير الدوري الناتج. ^{[ 27 ]}

انظر أيضاً

مراجع

↑ دانتزيغ، جورج برنارد؛ رامسر، جون هوبرت (أكتوبر 1959). "مشكلة إرسال الشاحنات" (ملف PDF) . مجلة علوم الإدارة . 6 (1): 80-91 . doi : 10.1287/mnsc.6.1.80 .
↑ فيشر، مارشال ل.؛ جايكومار، رامشاندرا (يونيو 1981). "طريقة استدلالية معممة لتخصيص مسارات المركبات". الشبكات . 11 (2): 109-124 . doi : 10.1002/net.3230110205 .
↑ شوستر، كينيث أ.؛ شور، دينيس أ. (1974). التوجيه الاستدلالي لمركبات جمع النفايات الصلبة . وكالة حماية البيئة الأمريكية.
↑ كوردو، جان فرانسوا؛ لابورت، جيلبرت (يوليو 2007). "مشكلة النقل عند الطلب: النماذج والخوارزميات". حوليات بحوث العمليات . 153 (1): 29-46 . doi : 10.1007/s10479-007-0170-8 .
↑ كابارت، كوينتين؛ توماس، تشارلز؛ شوس، بيير؛ روسو، لويس-مارتن (2018). "نهج البرمجة المقيدة لحل مشاكل نقل المرضى". مبادئ وممارسة البرمجة المقيدة . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 11008. الصفحات 490-506 . doi : 10.1007/978-3-319-98334-9_32 . hdl : 2078.1/202079 . ISBN 978-3-319-98333-2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 توث، ب.؛ فيجو، د.، محرران. (2002). مسألة توجيه المركبات . دراسات في الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها. المجلد 9. فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 0-89871-579-2.
↑ جاسكل، تي جيه (سبتمبر 1967). "أسس جدولة أسطول المركبات". مجلة جمعية بحوث العمليات . 18 (3): 281-295 . doi : 10.1057/jors.1967.44 .
↑ جير هاسل؛ كنوت-أندرياس لي؛ إيوالد كواك، محرران. (2007). النمذجة الهندسية، والمحاكاة العددية، والتحسين: الرياضيات التطبيقية في سينتيف . برلين: سبرينغر فيرلاغ. ص 397-398 . ISBN 978-3-540-68783-2.
↑ أركيتي، سي.؛ سبيرانزا، إم جي؛ فيجو، دي. (2014). مسائل توجيه المركبات مع الأرباح ( الطبعة الثانية). جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية.
↑ تشاو، آي-مينغ؛ غولدن، بروس إل؛ واسيل، إدوارد أ (1996). "مشكلة توجيه الفريق". المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 88 (3): 464-474 . doi : 10.1016/0377-2217(94)00289-4 .
↑ أركيتي، سي.؛ سبيرينزا، جي.؛ فيجو، دي. (2014). "مشكلات توجيه المركبات مع الأرباح". في توث، بي.؛ فيجو، دي. (محرران). توجيه المركبات: المشكلات والأساليب والتطبيقات (الطبعة الثانية ). ص 273-297 . doi : 10.1137/1.9781611973594.ch10 .
↑ حمامي، فاروق؛ رقيق، مونيا؛ كويلو، لياندرو سي. (2020). "خوارزمية بحث هجينة تكيفية في الجوار الكبير لحل مشكلة توجيه الفريق". الحوسبة وبحوث العمليات . 123 105034. doi : 10.1016/j.cor.2020.105034 . S2CID 221134904 .
1 2 ديف، آي.؛ بودين، إل إيه (1984). كيدر، أ. (محرر). "توسيع خوارزمية كلارك ورايت لحل مشكلة توجيه المركبات مع النقل العكسي". وقائع مؤتمر كلية بابسون حول استخدامات البرمجيات في إدارة النقل والخدمات اللوجستية . بابسون بارك، ماساتشوستس، الولايات المتحدة: 75-96 .
↑ جولدن، بي إل؛ بيكر، إي؛ ألفارو، جيه؛ شافير، جيه (1985). هامسفار، آر (محرر). "مشكلة توجيه المركبات مع النقل العكسي: نهجان". وقائع الاجتماع السنوي الحادي والعشرين لجمعية SE TIMS . ميرتل بيتش، كارولاينا الجنوبية، الولايات المتحدة: 90-92 .
^ اكيجي، علي. أوزينر، أوكان أورسان؛ كويزو ، جولتكين (نوفمبر 2015). “جداول التسليم الدورية لمشكلة توجيه المخزون”. علوم النقل . 49 (4): 817-829 . دوى : 10.1287/trsc.2014.0538 .
↑ محمود، نافيكس؛ حق، محمد مكاميل (فبراير 2019). حل مشكلة توجيه المركبات في مستودعات متعددة (MDVRP) باستخدام الخوارزمية الجينية . المؤتمر الدولي للهندسة الكهربائية والحاسوبية والاتصالات 2019 (ECCE). doi : 10.1109/ECACE.2019.8679429 .
↑ بيك، جيه سي؛ بروسر، بي؛ سيلينسكي، إي. (2003). "توجيه المركبات وجدولة ورش العمل: ما الفرق؟" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي الثالث عشر حول تخطيط وجدولة الذكاء الاصطناعي .
↑ بالينسكي، إم إل؛ كواندت، آر إي (أبريل 1964). "حول برنامج عدد صحيح لمسألة توصيل". بحوث العمليات . 12 (2): 300-304 . doi : 10.1287/opre.12.2.300 .
↑ بافليكوف، ك.؛ بيترسن، ن. س.؛ سورنسن، ج. ل. (2023). "الفصل الدقيق لمتباينات السعة المقربة لمسألة توجيه المركبات ذات السعة المحدودة" . الشبكات . 83. الشبكات: 197-209 . doi : 10.1002/net.22183 . S2CID 263321558 .
↑ ميلر، سي إي؛ تاكر، إي دبليو؛ زملين، آر إيه (1960). "صياغات البرمجة العددية الصحيحة ومسائل البائع المتجول" . مجلة ACM . 7 : 326-329 . doi : 10.1145/321043.321046 . S2CID 2984845 .
↑ كريستوفيدس، ن.؛ مينغوزي، أ.؛ توث، ب. (1979). مشكلة توجيه المركبات . تشيتشستر، المملكة المتحدة: وايلي. ص 315-338 .
↑ "لماذا يُعدّ التوجيه الأمثل اليدوي للمستودعات غير فعّال؟" . Locatible.com . 2016-09-26. مؤرشف من الأصل في 2017-03-18 . تم الاطلاع عليه في 2016-09-26 .
↑ رودبيرجن، كيس جان (2001). "طرق توجيه البضائع في المستودعات ذات الممرات العرضية المتعددة" (ملف PDF) . roodbergen.com . تاريخ الاسترجاع: 26-09-2016 .
↑ فيدال تي، كراينيك تي جي، جيندرو إم، برينس سي (2014). "إطار حل موحد لمشاكل توجيه المركبات متعددة السمات" (ملف PDF) . المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 234 (3): 658-673 . doi : 10.1016/j.ejor.2013.09.045 . S2CID 21037953 .
↑ تشاو، آي إم؛ غولدن، بي إل؛ واسيل، إي إيه (1996). "طريقة استدلالية سريعة وفعالة لمشكلة التوجيه". المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 88 (3): 475-489 .
↑ إركوت، إي.؛ تشانغ، ج. (1996). "مسألة التجميع القصوى مع المكافآت المعتمدة على الوقت". بحوث اللوجستيات البحرية (NRL) . 43 (5): 749-763 .
↑ ما، ز.؛ ين، ك.؛ ليو، ل.؛ سوخاتمي، ج.س. (سبتمبر 2017). "تمثيل مكاني-زماني لمسألة التوجيه مع أرباح متغيرة مع الزمن". المؤتمر الدولي IEEE/RSJ للروبوتات والأنظمة الذكية (IROS) لعام 2017. IEEE. الصفحات 6785-6792 .

للمزيد من القراءة

أوليفيرا، إتش سي بي دي؛ فاسكونسيلوس، جي سي (2008). "طريقة بحث هجينة لمسألة توجيه المركبات مع النوافذ الزمنية". حوليات بحوث العمليات . 180 : 125-144 . doi : 10.1007/s10479-008-0487-y . S2CID 32406011 .
فرازولي، إي.؛ بولو، ف. (2004). "خوارزميات لا مركزية لتوجيه المركبات في بيئة عشوائية متغيرة مع الزمن". المؤتمر الثالث والأربعون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات (IEEE) حول التحكم واتخاذ القرارات (CDC) لعام 2004 (رقم تصنيف IEEE: 04CH37601) . المجلد 4. معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات. الصفحات 3357-3363 . doi : 10.1109/CDC.2004.1429220 . ISBN 0-7803-8682-5ISSN 0191-2216
بسارافتيس، إتش إن (1988). "مشكلات توجيه المركبات الديناميكية" (ملف PDF) . توجيه المركبات: الأساليب والدراسات . 16 : 223-248 .
بيرتسيماس، دي جيه؛ فان رايزن، جي. (1991). "مسألة توجيه المركبات العشوائية والديناميكية في المستوى الإقليدي". بحوث العمليات . 39 (4): 601-615 . doi : 10.1287/opre.39.4.601 . hdl : 1721.1/2353 . JSTOR 171167 .
فيدال تي، كراينيك تي جي، جيندرو إم، برينس سي (2013). "الأساليب الاستدلالية لمشاكل توجيه المركبات متعددة السمات: دراسة استقصائية وتوليف" (ملف PDF) . المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 231 (1): 1-21 . doi : 10.1016/j.ejor.2013.02.053 . S2CID 15983279 .
هيروتاكا، إيري؛ وونغبايسارنسين، غوراغوت؛ تيرابي، ماسايوشي؛ ميكي، أكيرا؛ تاغوتشي، شينيتشيرو (2019). "التلدين الكمي لمسألة توجيه المركبات مع مراعاة الزمن والحالة والسعة". arXiv : 1903.06322 [ quant-ph ].

[DantzigRamser1959-1] دانتزيغ، جورج برنارد؛ رامسر، جون هوبرت (أكتوبر 1959). "مشكلة إرسال الشاحنات" (ملف PDF) . مجلة علوم الإدارة . 6 (1): 80-91 . doi : 10.1287/mnsc.6.1.80 .

[2] فيشر، مارشال ل.؛ جايكومار، رامشاندرا (يونيو 1981). "طريقة استدلالية معممة لتخصيص مسارات المركبات". الشبكات . 11 (2): 109-124 . doi : 10.1002/net.3230110205 .

[3] شوستر، كينيث أ.؛ شور، دينيس أ. (1974). التوجيه الاستدلالي لمركبات جمع النفايات الصلبة . وكالة حماية البيئة الأمريكية.

[4] كوردو، جان فرانسوا؛ لابورت، جيلبرت (يوليو 2007). "مشكلة النقل عند الطلب: النماذج والخوارزميات". حوليات بحوث العمليات . 153 (1): 29-46 . doi : 10.1007/s10479-007-0170-8 .

[5] كابارت، كوينتين؛ توماس، تشارلز؛ شوس، بيير؛ روسو، لويس-مارتن (2018). "نهج البرمجة المقيدة لحل مشاكل نقل المرضى". مبادئ وممارسة البرمجة المقيدة . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 11008. الصفحات 490-506 . doi : 10.1007/978-3-319-98334-9_32 . hdl : 2078.1/202079 . ISBN 978-3-319-98333-2.

[toth-6] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 توث، ب.؛ فيجو، د.، محرران. (2002). مسألة توجيه المركبات . دراسات في الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها. المجلد 9. فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 0-89871-579-2.

[7] جاسكل، تي جيه (سبتمبر 1967). "أسس جدولة أسطول المركبات". مجلة جمعية بحوث العمليات . 18 (3): 281-295 . doi : 10.1057/jors.1967.44 .

[Springer_Verlag-8] جير هاسل؛ كنوت-أندرياس لي؛ إيوالد كواك، محرران. (2007). النمذجة الهندسية، والمحاكاة العددية، والتحسين: الرياضيات التطبيقية في سينتيف . برلين: سبرينغر فيرلاغ. ص 397-398 . ISBN 978-3-540-68783-2.

[VRbook-9] أركيتي، سي.؛ سبيرانزا، إم جي؛ فيجو، دي. (2014). مسائل توجيه المركبات مع الأرباح ( الطبعة الثانية). جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية.

[10] تشاو، آي-مينغ؛ غولدن، بروس إل؛ واسيل، إدوارد أ (1996). "مشكلة توجيه الفريق". المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 88 (3): 464-474 . doi : 10.1016/0377-2217(94)00289-4 .

[11] أركيتي، سي.؛ سبيرينزا، جي.؛ فيجو، دي. (2014). "مشكلات توجيه المركبات مع الأرباح". في توث، بي.؛ فيجو، دي. (محرران). توجيه المركبات: المشكلات والأساليب والتطبيقات (الطبعة الثانية ). ص 273-297 . doi : 10.1137/1.9781611973594.ch10 .

[12] حمامي، فاروق؛ رقيق، مونيا؛ كويلو، لياندرو سي. (2020). "خوارزمية بحث هجينة تكيفية في الجوار الكبير لحل مشكلة توجيه الفريق". الحوسبة وبحوث العمليات . 123 105034. doi : 10.1016/j.cor.2020.105034 . S2CID 221134904 .

[deif-backhauling-13] 1 2 ديف، آي.؛ بودين، إل إيه (1984). كيدر، أ. (محرر). "توسيع خوارزمية كلارك ورايت لحل مشكلة توجيه المركبات مع النقل العكسي". وقائع مؤتمر كلية بابسون حول استخدامات البرمجيات في إدارة النقل والخدمات اللوجستية . بابسون بارك، ماساتشوستس، الولايات المتحدة: 75-96 .

[14] جولدن، بي إل؛ بيكر، إي؛ ألفارو، جيه؛ شافير، جيه (1985). هامسفار، آر (محرر). "مشكلة توجيه المركبات مع النقل العكسي: نهجان". وقائع الاجتماع السنوي الحادي والعشرين لجمعية SE TIMS . ميرتل بيتش، كارولاينا الجنوبية، الولايات المتحدة: 90-92 .

[15] اكيجي، علي. أوزينر، أوكان أورسان؛ كويزو ، جولتكين (نوفمبر 2015). “جداول التسليم الدورية لمشكلة توجيه المخزون”. علوم النقل . 49 (4): 817-829 . دوى : 10.1287/trsc.2014.0538 .

[16] محمود، نافيكس؛ حق، محمد مكاميل (فبراير 2019). حل مشكلة توجيه المركبات في مستودعات متعددة (MDVRP) باستخدام الخوارزمية الجينية . المؤتمر الدولي للهندسة الكهربائية والحاسوبية والاتصالات 2019 (ECCE). doi : 10.1109/ECACE.2019.8679429 .

[Beck2003-17] بيك، جيه سي؛ بروسر، بي؛ سيلينسكي، إي. (2003). "توجيه المركبات وجدولة ورش العمل: ما الفرق؟" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي الثالث عشر حول تخطيط وجدولة الذكاء الاصطناعي .

[18] بالينسكي، إم إل؛ كواندت، آر إي (أبريل 1964). "حول برنامج عدد صحيح لمسألة توصيل". بحوث العمليات . 12 (2): 300-304 . doi : 10.1287/opre.12.2.300 .

[19] بافليكوف، ك.؛ بيترسن، ن. س.؛ سورنسن، ج. ل. (2023). "الفصل الدقيق لمتباينات السعة المقربة لمسألة توجيه المركبات ذات السعة المحدودة" . الشبكات . 83. الشبكات: 197-209 . doi : 10.1002/net.22183 . S2CID 263321558 .

[mtz-20] ميلر، سي إي؛ تاكر، إي دبليو؛ زملين، آر إيه (1960). "صياغات البرمجة العددية الصحيحة ومسائل البائع المتجول" . مجلة ACM . 7 : 326-329 . doi : 10.1145/321043.321046 . S2CID 2984845 .

[christof-21] كريستوفيدس، ن.؛ مينغوزي، أ.؛ توث، ب. (1979). مشكلة توجيه المركبات . تشيتشستر، المملكة المتحدة: وايلي. ص 315-338 .

[22] "لماذا يُعدّ التوجيه الأمثل اليدوي للمستودعات غير فعّال؟" . Locatible.com . 2016-09-26. مؤرشف من الأصل في 2017-03-18 . تم الاطلاع عليه في 2016-09-26 .

[23] رودبيرجن، كيس جان (2001). "طرق توجيه البضائع في المستودعات ذات الممرات العرضية المتعددة" (ملف PDF) . roodbergen.com . تاريخ الاسترجاع: 26-09-2016 .

[24] فيدال تي، كراينيك تي جي، جيندرو إم، برينس سي (2014). "إطار حل موحد لمشاكل توجيه المركبات متعددة السمات" (ملف PDF) . المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 234 (3): 658-673 . doi : 10.1016/j.ejor.2013.09.045 . S2CID 21037953 .

[Chao1996-25] تشاو، آي إم؛ غولدن، بي إل؛ واسيل، إي إيه (1996). "طريقة استدلالية سريعة وفعالة لمشكلة التوجيه". المجلة الأوروبية لبحوث العمليات . 88 (3): 475-489 .

[Erkut1996-26] إركوت، إي.؛ تشانغ، ج. (1996). "مسألة التجميع القصوى مع المكافآت المعتمدة على الوقت". بحوث اللوجستيات البحرية (NRL) . 43 (5): 749-763 .

[Ma2017-27] ما، ز.؛ ين، ك.؛ ليو، ل.؛ سوخاتمي، ج.س. (سبتمبر 2017). "تمثيل مكاني-زماني لمسألة التوجيه مع أرباح متغيرة مع الزمن". المؤتمر الدولي IEEE/RSJ للروبوتات والأنظمة الذكية (IROS) لعام 2017. IEEE. الصفحات 6785-6792 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗