مقايضة التقلبات

في مجال التمويل ، تُعدّ مقايضة التقلبات عقدًا آجلًا على التقلبات المستقبلية المحققة لأصل أساسي معين. تُمكّن مقايضات التقلبات المستثمرين من تداول تقلبات الأصل بشكل مباشر، تمامًا كما يتداولون مؤشرًا سعريًا. ويكون عائدها عند تاريخ انتهاء الصلاحية مساويًا لـ

${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})N_{\text{vol}}}$

أين:

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$يمثل التقلب السنوي المحقق،
• ${\displaystyle K_{\text{vol}}}$هو ضربة التقلب، و
• ${\displaystyle N_{\text{vol}}}$هو مبلغ افتراضي متفق عليه مسبقاً.

أي أن حامل عقد مقايضة التقلبات يحصل${\displaystyle N_{\text{vol}}}$لكل نقطة يتغير بها التقلب السنوي المحقق للأصل الأساسي${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$تجاوز سعر التوصيل لـ${\displaystyle K_{\text{vol}}}$وبالعكس، يدفع${\displaystyle N_{\text{vol}}}$لكل نقطة، يقل التقلب المحقق عن سعر التنفيذ. ^{[ 1 ]}

عادةً ما يكون الأصل الأساسي أداة مالية ذات سوق خيارات نشطة أو سائلة ، مثل العملات الأجنبية أو مؤشرات الأسهم أو الأسهم الفردية. وعلى عكس الاستثمار في الخيارات، الذي يتأثر تعرضه للتقلبات بتغير سعره، توفر هذه المقايضات تعرضًا خالصًا للتقلبات فقط. وينطبق هذا بشكل خاص على مقايضات التقلبات الآجلة . مع ذلك، بمجرد تثبيت أصول المقايضة، تعتمد قيمتها السوقية أيضًا على سعر الأصل الحالي. يمكن استخدام هذه الأدوات للمضاربة على مستويات التقلبات المستقبلية، أو لتداول الفرق بين التقلبات المحققة والضمنية، أو للتحوط من مخاطر التقلبات في مراكز أو أعمال أخرى.

تُعدّ مقايضات التقلبات أكثر شيوعًا في التداول من مقايضات التباين ، المشابهة لها ولكنها أبسط ، والتي يمكن محاكاتها باستخدام توليفة خطية من الخيارات ومركز ديناميكي في العقود الآجلة. ويكمن الفرق بينهما في التحدب: فعائد مقايضة التباين خطي مع التباين ولكنه محدب مع التقلبات. ^{[ 1 ]} وهذا يعني، حتمًا، استحالة المحاكاة الثابتة (استراتيجية الشراء والاحتفاظ) لمقايضة التقلبات. ومع ذلك، باستخدام مقايضة التباين (${\displaystyle \Sigma _{T}^{2}}$) كأداة تحوط واستهداف التقلبات (${\displaystyle \Sigma _{T}}$يمكن كتابة التقلب كدالة للتباين:

${\displaystyle \Sigma _{T}=a\Sigma _{T}^{2}+b}$

و${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تم اختيارها لتقليل الانحراف التربيعي المتوقع للجانبين:

${\displaystyle {\text{min}}E[(\Sigma _{T}-a\Sigma _{T}^{2}-b)^{2}]}$

ثم، إذا كان احتمال حدوث تقلبات سلبية محققة ضئيلاً، فيمكن افتراض أن التقلبات المستقبلية طبيعية بمتوسط${\displaystyle {\bar {\Sigma }}}$والانحراف المعياري${\displaystyle \sigma _{\Sigma }}$:

${\displaystyle \Sigma _{T}\sim N({\bar {\Sigma }},\sigma _{\Sigma })}$

إذن، معاملات التحوط هي:

${\displaystyle a={\frac {1}{2{\bar {\Sigma }}+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{\bar {\Sigma }}}}}}$

${\displaystyle b={\frac {\bar {\Sigma }}{2+{\frac {\sigma _{\Sigma }^{2}}{{\bar {\Sigma }}^{2}}}}}}$

يعتمد تعريف التقلب السنوي المحقق على وجهة نظر المتداولين بشأن ملاحظة السعر الأساسي، والتي قد تكون منفصلة أو متصلة زمنيًا. بالنسبة للأولى، مع بناء مماثل لبنية مقايضة التباين ، إذا كانت هناك${\displaystyle n+1}$ويقول: "نقاط أخذ العينات للأسعار الأساسية المرصودة".${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{1}},...,S_{t_{n}}}$ أين${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$ ل${\displaystyle i=1}$ل${\displaystyle n}$. يُعرِّف${\displaystyle R_{i}=\ln(S_{t_{i}}/S_{t_{i-1}}),}$العائدات اللوغاريتمية الطبيعية. ثم يتم تعريف التقلب السنوي المحقق باستخدام أخذ العينات المنفصلة بواسطة

• ${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}:={\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}},}$

وهو في الأساس الجذر التربيعي للتباين السنوي المحقق . هنا،${\displaystyle A}$يشير إلى عامل سنوي يتم اختياره عادةً ليكون عدد الأسعار الملاحظة في سنة معينة، أي${\displaystyle A=252}$إذا تمت مراقبة السعر يومياً أو${\displaystyle A=52}$إذا تم القيام بذلك أسبوعياً.${\displaystyle T}$هو تاريخ انتهاء صلاحية مقايضة التقلبات المحدد بواسطة${\displaystyle غير متوفر}$.

يتم تعريف النسخة المستمرة من التقلب السنوي المحقق عن طريق الجذر التربيعي للتغير التربيعي للعائد اللوغاريتمي للسعر الأساسي:

• ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}:={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

أين${\displaystyle \sigma (s)}$يمثل التقلب اللحظي للأصل الأساسي. بمجرد أن يزداد عدد مشاهدات السعر إلى ما لا نهاية، يمكن للمرء أن يجد أن${\displaystyle \sigma _{\text{realised}}}$يتقارب احتماليًا إلى${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$^{[ 2 ]} أي

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}},}$

يمثل ذلك الترابط والاتساق بين النهجين.

بشكل عام، بالنسبة لأصل أساسي محدد، يتمثل الهدف الرئيسي من تسعير المقايضات في إيجاد سعر تنفيذ عادل، نظرًا لعدم وجود تكلفة للدخول في العقد. ومن أكثر الطرق شيوعًا لتحقيق هذه العدالة استخدام طريقة مارتينجال للتسعير ، وهي طريقة لإيجاد القيمة الحالية المتوقعة لأصل مشتق معين بالنسبة لمقياس احتمالية محايد للمخاطر (أو مقياس مارتينجال). وتعتمد كيفية اختيار هذا المقياس على النموذج المستخدم لوصف تطور السعر.

رياضياً، إذا افترضنا أن عملية السعر${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$يتبع نموذج بلاك-شولز في ظل مقياس مارتينجال${\displaystyle \mathbb {Q} }$ثم يقوم بحل المعادلة التفاضلية العشوائية التالية:

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)dt+\sigma (t)dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

أين:

• ${\displaystyle T}$يمثل تاريخ انتهاء صلاحية عقد المقايضة،
• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$هو معدل الفائدة الخالي من المخاطر (الذي يعتمد على الوقت)،
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$تقلب الأسعار (المعتمد على الوقت)، و
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$هي حركة براونية في فضاء الاحتمالية المُصفّى${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$أين${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$هي عملية الترشيح الطبيعية لـ${\displaystyle W}$.

بما أننا نعلم ذلك${\displaystyle (\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}})\times N_{\text{vol}}}$يمثل العائد من مقايضة التقلبات عند تاريخ انتهاء الصلاحية في حالة أخذ العينات المنفصلة (والتي يتم تحويلها إلى${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$(في الحالة المستمرة)، فإن قيمتها المتوقعة عند الزمن${\displaystyle t_{0}}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle V_{t_{0}}}$يكون

${\displaystyle V_{t_{0}}=e^{\int _{t_{0}}^{T}r(s)ds}\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}-K_{\text{vol}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]\times N_{\text{vol}},}$

مما يعطي

${\displaystyle K_{\text{vol}}=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[\sigma _{\text{realised}}|{\mathcal {F}}_{t_{0}}]}$

بسبب سعر المقايضة الصفري، يتم تحديد قيمة سعر تنفيذ عادل للتقلبات. يمكن إيجاد الحل بطرق مختلفة. على سبيل المثال، نحصل على صيغة التسعير المغلقة بمجرد معرفة دالة توزيع الاحتمالات لـ${\displaystyle \sigma }_{\text{realized}}$أو${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{\text{realized}}}$إذا كانت القيمة معروفة، أو يمكن حسابها عدديًا باستخدام طريقة مونت كارلو . بدلاً من ذلك، وفي ظل قيود معينة، يمكن استخدام قيمة الخيارات الأوروبية لتقريب الحل. ^{[ 3 ]}

• مبادلة التباين
• التقلبات (التمويل)
• تقلبات الأسعار المستقبلية
• خيار التباين المحقق

• استراتيجيات تقلبات السوق الجاهزة