مشكلة وهبة

في الرياضيات التطبيقية ، تسعى مسألة وهبة ، التي طرحتها غريس وهبة لأول مرة عام 1965، إلى إيجاد مصفوفة دوران ( مصفوفة متعامدة خاصة ) بين نظامي إحداثيات انطلاقًا من مجموعة من الملاحظات المتجهة (الموزونة). تُستخدم حلول مسألة وهبة غالبًا في تحديد وضعية الأقمار الصناعية باستخدام أجهزة استشعار مثل مقاييس المغناطيسية وأجهزة استقبال نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) متعددة الهوائيات . دالة التكلفة التي تسعى مسألة وهبة إلى تقليلها هي كما يلي:

${\displaystyle J(\mathbf {R} )={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}a_{k}\|\mathbf {w} _{k}-\mathbf {R} \mathbf {v} _{k}\|^{2}}$ل${\displaystyle N\geq 2}$

أين${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$يمثل القياس ثلاثي الأبعاد رقم k في الإطار المرجعي،${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$يمثل القياس الثلاثي المتجه k المقابل في إطار الجسم و${\displaystyle \mathbf {R} }$هي مصفوفة دوران 3×3 بين إطارات الإحداثيات. ^{[ 1 ]}${\displaystyle a_{k}}$هي مجموعة اختيارية من الأوزان لكل ملاحظة.

ظهرت في الأدبيات العلمية عدة حلول لهذه المشكلة، أبرزها طريقة دافنبورت q، ^{[ 2 ]} و QUEST ، والطرق القائمة على تحليل القيم المفردة (SVD). وقد ناقش ماركلي ومورتاري عدة طرق لحل مشكلة وهبة.

هذه صياغة بديلة لمسألة بروكروستس المتعامدة (اعتبر جميع المتجهات مضروبة في الجذور التربيعية للأوزان المقابلة كأعمدة لمصفوفتين مكونتين من N عمودًا للحصول على الصياغة البديلة). يمكن إيجاد اشتقاق موجز وأنيق في Appel (2015). ^{[ 3 ]}

يمكن إيجاد أحد الحلول باستخدام تحليل القيم المفردة (SVD).

1. الحصول على مصفوفة${\displaystyle \mathbf {B} }$على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {w} _{i}{\mathbf {v} _{i}}^{T}}$

2. أوجد تحليل القيم المفردة لـ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V} ^{T}}$

3. مصفوفة الدوران هي ببساطة:

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {M} \mathbf {V} ^{T}}$

أين${\displaystyle \mathbf {M} =\operatorname {diag} ({\begin{bmatrix}1&1&\det(\mathbf {U} )\det(\mathbf {V} )\end{bmatrix}})}$

• وهبة، ج. المسألة 65-1: تقدير المربعات الصغرى لوضعية القمر الصناعي ، مجلة SIAM، 1965، 7(3)، 409
• شوستر، إم دي وأوه، إس دي، تحديد الاتجاه ثلاثي المحاور من ملاحظات المتجهات ، مجلة التوجيه والتحكم، 1981، 4(1):70-77
• ماركلي، إف إل. تحديد الاتجاه باستخدام ملاحظات المتجهات وتحليل القيم المفردة ، مجلة العلوم الفضائية، 1988، 38: 245-258
• ماركلي، إف إل ومورتاري، دي. تقدير وضعية الكواتيرنيون باستخدام ملاحظات المتجهات ، مجلة العلوم الفلكية، 2000، 48(2):359–380
• ماركلي، إف إل وكراسيديس، جيه إل، أساسيات تحديد اتجاه المركبة الفضائية والتحكم فيه ، سبرينغر 2014
• ليبوس، ب. وسيمونز، ج. وياو، ي. تدوير مجموعات متعددة من النقاط المصنفة لجعلها متطابقة بشكل وثيق: مسألة وهبة المعممة ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية، 2017، 124(2):149–160
• لوراكيس، م. وتيرزاكيس، ج. إعادة النظر في التوجيه المطلق الفعال ، المؤتمر الدولي IEEE/RSJ حول الروبوتات والأنظمة الذكية (IROS)، 2018، ص  5813-5818.

• طريقة الثلاثي
• خوارزمية كابش
• مشكلة بروكروستس المتعامدة