عرض مطلق لمجموعة

في الرياضيات ، يعد العرض المطلق إحدى طرق تعريف المجموعة . ^{[ 1 ]}

تذكر أنه لتعريف مجموعة${\displaystyle G}$من خلال العرض التقديمي ، يتم تحديد مجموعة${\displaystyle S}$من المولدات بحيث يمكن كتابة كل عنصر من عناصر المجموعة كحاصل ضرب بعض هذه المولدات، ومجموعة${\displaystyle R}$العلاقات بين تلك المولدات. بالرموز :

${\displaystyle G\simeq \langle S\mid R\rangle .}$

بشكل غير رسمي${\displaystyle G}$هي المجموعة المولدة بواسطة المجموعة${\displaystyle S}$بحيث${\displaystyle r=1}$للجميع${\displaystyle r\in R}$لكن هنا يوجد افتراض ضمني بأن${\displaystyle G}$تُعتبر هذه المجموعة "الأكثر حرية" حيث تتحقق العلاقات بوضوح في أي صورة متماثلة لـ${\displaystyle G}$إحدى طرق التخلص من هذا الافتراض الضمني هي تحديد أن كلمات معينة في${\displaystyle S}$لا ينبغي أن يكون مساوياً لـ${\displaystyle 1.}$أي أننا نحدد مجموعة${\displaystyle I}$، والتي تسمى مجموعة العلاقات غير المباشرة ، بحيث${\displaystyle i\neq 1}$للجميع${\displaystyle i\in I.}$

لتحديد عرض مطلق لمجموعة${\displaystyle G}$يحدد المرء مجموعة${\displaystyle S}$من المولدات والمجموعات${\displaystyle R}$و${\displaystyle I}$من العلاقات وعدم العلاقات بين تلك المولدات. ثم نقول${\displaystyle G}$له عرض مطلق

${\displaystyle \langle S\mid R,I\rangle }$

بشرط أن:

1. ${\displaystyle G}$يتضمن عرضًا تقديميًا${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$
2. بالنظر إلى أي تماثل${\displaystyle h:G\rightarrow H}$بحيث تكون العلاقات غير المترابطة${\displaystyle I}$راضون في${\displaystyle h(G)}$،${\displaystyle G}$متماثل مع​${\displaystyle h(G)}$.

وهناك طريقة جبرية أكثر، ولكنها مكافئة، لصياغة الشرط الثاني وهي:

2أ. إذا${\displaystyle N\triangleleft G}$هي مجموعة فرعية طبيعية غير تافهة من${\displaystyle G}$ثم${\displaystyle I\cap N\neq \left\{1\right\}.}$

ملاحظة: لقد أثبت مفهوم العرض المطلق جدواه في مجالات مثل الزمر المغلقة جبريًا وطوبولوجيا غريغورتشوك . في الأدبيات، وفي سياق مناقشة العروض المطلقة، يُشار أحيانًا إلى العرض (بالمعنى المعتاد للكلمة) على أنه عرض نسبي ، وهو مثال على مصطلح رجعي .

تتميز المجموعة الدورية من الرتبة 8 بالعرض التالي

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1\rangle .}$

لكن، حتى التماثل، هناك ثلاث مجموعات أخرى "تفي" بالعلاقة${\displaystyle a^{8}=1,}$أي:

${\displaystyle \langle a\mid a^{4}=1\rangle }$

${\displaystyle \langle a\mid a^{2}=1\rangle }$و

${\displaystyle \langle a\mid a=1\rangle .}$

لكن لا شيء من هذه الأمور يحقق عدم العلاقة${\displaystyle a^{4}\neq 1}$إذن، فإن التمثيل المطلق للمجموعة الدورية من الرتبة 8 هو:

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{4}\neq 1\rangle .}$

من تعريف العرض المطلق أن العلاقات غير المتطابقة لا تتحقق في أي صورة متماثلة مناسبة للمجموعة. لذلك:

${\displaystyle \langle a\mid a^{8}=1,a^{2}\neq 1\rangle }$

لا يمثل هذا تمثيلاً مطلقاً للمجموعة الدورية من الرتبة 8 بسبب عدم العلاقة${\displaystyle a^{2}\neq 1}$يتحقق في المجموعة الدورية من الرتبة 4.

ينشأ مفهوم العرض المطلق من دراسة برنارد نيومان لمشكلة التشاكل للمجموعات المغلقة جبريًا . ^{[ 1 ]}

استراتيجية شائعة للنظر فيما إذا كانت مجموعتان${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$إن مفهوم التماثل يعني النظر فيما إذا كان من الممكن تحويل تمثيلٍ لأحدهما إلى تمثيلٍ للآخر. مع ذلك، فإن الزمر المغلقة جبريًا ليست مولدة نهائيًا ولا تُعرض بشكلٍ تكراري، لذا يستحيل مقارنة تمثيلاتها. وقد طرح نيومان الاستراتيجية البديلة التالية:

لنفترض أننا نعلم أن مجموعة${\displaystyle G}$مع عرض محدود${\displaystyle G=\langle x_{1},x_{2}\mid R\rangle }$يمكن تضمينها في المجموعة المغلقة جبريًا${\displaystyle G^{*}}$ثم بالنظر إلى مجموعة مغلقة جبريًا أخرى${\displaystyle H^{*}}$يمكننا أن نسأل "هل${\displaystyle G}$يتم تضمينها في${\displaystyle H^{*}}$"

سرعان ما يتضح أن العرض التقديمي المقدم لمجموعة لا يحتوي على معلومات كافية لاتخاذ هذا القرار، على الرغم من أنه قد يكون هناك تماثل.${\displaystyle h:G\rightarrow H^{*}}$لا يشترط أن يكون هذا التشاكل تضمينًا. المطلوب هو تحديد لـ${\displaystyle G^{*}}$هذا "يُجبر" أي تماثل يحافظ على تلك المواصفات على أن يكون تضمينًا. العرض المطلق يفعل ذلك تحديدًا.

• عرض مجموعة