التماثل

في الجبر ، التشاكل هو دالة تحافظ على البنية بين بنيتين جبريتين من النوع نفسه (مثل مجموعتين ، أو حلقتين ، أو فضاءين متجهيين ). كلمة "تشاكل" مشتقة من اليونانية القديمة : ὁμός ( homos ) وتعني "نفس الشيء"، و μορφή ( morphe ) وتعني "شكل" أو "هيئة". مع ذلك، يبدو أن الكلمة دخلت الرياضيات نتيجة ترجمة (خاطئة) للكلمة الألمانية ähnlich التي تعني "مشابه" إلى ὁμός التي تعني "نفس الشيء". ^{[ 1 ]} ظهر مصطلح "التشاكل" في وقت مبكر من عام 1892، ونُسب إلى عالم الرياضيات الألماني فيليكس كلاين (1849-1925). ^{[ 2 ]}

تُسمى التشاكلات في الفضاءات المتجهة أيضًا بالخرائط الخطية ، ودراستها هي موضوع الجبر الخطي .

تم تعميم مفهوم التشاكل، تحت مسمى التشكل ، ليشمل العديد من البنى الأخرى التي إما لا تمتلك مجموعة أساسية، أو ليست جبرية. هذا التعميم هو نقطة انطلاق نظرية الفئات .

قد يكون التشاكل أيضًا تشاكلًا متماثلًا ، أو تشاكلًا داخليًا ، أو تشاكلًا ذاتيًا ، إلخ (انظر أدناه). ويمكن تعريف كل منها بطريقة يمكن تعميمها على أي فئة من التشكلات.

التشاكل هو دالة بين بنيتين جبريتين من نفس النوع (مثل مجموعتين، حقلين، فضاءين متجهيين)، تحافظ على عمليات البنيتين. وهذا يعني دالة${\displaystyle f:A\to B}$بين مجموعتين${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$مجهزة بنفس البنية بحيث إذا${\displaystyle \cdot }$إذا كانت عمليةً من عمليات البنية (بافتراض أنها عملية ثنائية هنا، للتبسيط )، فإن

$${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$$

لكل زوج${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$من عناصر${\displaystyle A}$[ ^{ملاحظة 1 ] يُقال} غالبًا أن${\displaystyle f}$يحافظ على العملية أو يكون متوافقاً معها.

بشكل رسمي، خريطة${\displaystyle f:A\to B}$يحافظ على عملية${\displaystyle \mu }$من رتبة${\displaystyle k}$، محددة على كليهما${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$لو

$${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$$

لجميع العناصر${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$في${\displaystyle A}$.

تشمل العمليات التي يجب الحفاظ عليها بواسطة التماثل العمليات الصفرية ، أي الثوابت. وعلى وجه الخصوص، عندما يتطلب نوع البنية عنصرًا محايدًا ، يجب ربط العنصر المحايد للبنية الأولى بالعنصر المحايد المقابل له في البنية الثانية.

على سبيل المثال:

• التشاكل شبه المجموعة هو دالة بين أنصاف المجموعات تحافظ على عملية شبه المجموعة.
• التشاكل الأحادي هو تطبيق بين الأحاديات يحافظ على عملية الأحاديات ويحول عنصر الوحدة للأحادي الأول إلى عنصر الوحدة للأحادي الثاني (عنصر الوحدة هو عملية صفرية ).
• التشاكل بين الزمر هو دالة بين زمرتين تحافظ على خاصية الزمرة. وهذا يعني أن التشاكل بين الزمرتين يُسقط العنصر المحايد في الزمرة الأولى على العنصر المحايد في الزمرة الثانية، ويُسقط معكوس أي عنصر في الزمرة الأولى على معكوس صورته. وبالتالي، فإن التشاكل بين الزمرتين في شبه الزمرتين هو بالضرورة تشاكل بين الزمرتين.
• التشاكل الحلقي هو دالة بين حلقتين تحافظ على جمع الحلقات، وضرب الحلقات، والعنصر المحايد الضربي . يعتمد الحفاظ على العنصر المحايد الضربي على تعريف الحلقة المستخدم. إذا لم يُحافظ على العنصر المحايد الضربي، يكون لدينا تشاكل حلقي من نوع rng .
• التطبيق الخطي هو تماثل بين فضاءات المتجهات ؛ أي تماثل بين فضاءات المتجهات يحافظ على بنية المجموعة الأبيلية والضرب القياسي .
• يتم تعريف التماثل بين الوحدات ، والذي يسمى أيضًا بالتحويل الخطي بين الوحدات ، بشكل مشابه.
• التشاكل الجبري هو دالة تحافظ على العمليات الجبرية .

قد تحتوي البنية الجبرية على أكثر من عملية، ويتطلب الأمر وجود تشاكل للحفاظ على كل عملية. لذا، فإن التطبيق الذي يحافظ على بعض العمليات فقط ليس تشاكلاً للبنية، بل هو تشاكل للبنية الفرعية الناتجة عن النظر فقط في العمليات المحفوظة. على سبيل المثال، التطبيق بين أحاديات يحافظ على عملية الأحادية ولا يحافظ على عنصرها المحايد، ليس تشاكلاً للأحادية، بل هو تشاكل لشبه زمرة فقط.

لا يشترط أن تكون رموز العمليات متطابقة في مصدر وهدف التشاكل. على سبيل المثال، تشكل الأعداد الحقيقية زمرة للجمع، وتشكل الأعداد الحقيقية الموجبة زمرة للضرب. الدالة الأسية

$${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$$

يرضي

$${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$$

وبالتالي فهو تماثل بين هاتين المجموعتين. بل هو تماثل أيضاً (انظر أدناه)، لأن دالته العكسية ، اللوغاريتم الطبيعي ، تحقق الشرط التالي:

$${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$$ وهو أيضاً تماثل زمر.

الأعداد الحقيقية هي حلقة ، تخضع لعمليتي الجمع والضرب. ومجموعة جميع المصفوفات من الرتبة 2×2 هي أيضاً حلقة، تخضع لعمليتي جمع وضرب المصفوفات . إذا عرّفنا دالة بين هاتين الحلقتين كما يلي:

$${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$$

إذا كان r عددًا حقيقيًا، فإن f هو تشاكل بين الحلقات، لأن f يحافظ على كل من الجمع:

$${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$$

والضرب:

$${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$$

كمثال آخر، تُشكّل الأعداد المركبة غير الصفرية زمرةً تحت عملية الضرب، وكذلك الأعداد الحقيقية غير الصفرية. (يجب استبعاد الصفر من كلتا الزمرتين لأنه لا يملك معكوسًا ضربيًا ، وهو شرط أساسي لعناصر الزمرة). عرّف دالة${\displaystyle f}$من الأعداد المركبة غير الصفرية إلى الأعداد الحقيقية غير الصفرية بواسطة

$${\displaystyle f(z)=|z|.}$$

إنه،${\displaystyle f}$هي القيمة المطلقة (أو المعيار) للعدد المركب${\displaystyle z}$. ثم${\displaystyle f}$هو تماثل بين المجموعات، لأنه يحافظ على عملية الضرب:

$${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).}$$

لاحظ أنه لا يمكن تمديد f إلى تشاكل الحلقات (من الأعداد المركبة إلى الأعداد الحقيقية)، لأنه لا يحافظ على الجمع:

$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$$

كمثال آخر، يوضح الرسم التخطيطي تماثل أحادي${\displaystyle f}$من المونويد${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$إلى المونويد${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$بسبب اختلاف أسماء العمليات المتناظرة، فإن خصائص الحفاظ على البنية التي يتم استيفاؤها بواسطة${\displaystyle f}$المبلغ إلى${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$و${\displaystyle f(0)=1}$.

جبر التركيب${\displaystyle A}$فوق حقل${\displaystyle F}$لها شكل تربيعي ، يسمى المعيار ،${\displaystyle N:A\to F}$، وهو تشاكل زمر من الزمرة الضربية لـ${\displaystyle A}$إلى المجموعة الضربية لـ${\displaystyle F}$.

توجد أنواع عديدة من التشاكلات لها اسم محدد، وهو الاسم الذي يتم تحديده أيضًا للتشاكلات العامة .

أي تماثل${\displaystyle f:X\to Y}$يُعرّف علاقة التكافؤ${\displaystyle \sim }$على${\displaystyle X}$بواسطة${\displaystyle a\sim b}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(a)=f(b)}$العلاقة${\displaystyle \sim }$يُطلق عليه اسم نواة${\displaystyle f}$إنها علاقة تطابق على${\displaystyle X}$مجموعة القسمة${\displaystyle X/{\sim }}$ويمكن بعد ذلك إعطاؤها بنية من نفس النوع مثل${\displaystyle X}$بطريقة طبيعية، من خلال تعريف عمليات مجموعة القسمة بواسطة${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$لكل عملية${\displaystyle \ast }$ل${\displaystyle X}$في هذه الحالة، صورة${\displaystyle X}$في${\displaystyle Y}$في ظل التشاكل${\displaystyle f}$متماثل بالضرورة مع${\displaystyle X/\!\sim }$هذه الحقيقة هي إحدى نظريات التشاكل .

عندما يكون التركيب الجبري عبارة عن مجموعة لبعض العمليات، فإن فئة التكافؤ${\displaystyle K}$يكفي تحديد عنصر الوحدة في هذه العملية لوصف علاقة التكافؤ. في هذه الحالة، يُرمز إلى ناتج القسمة على علاقة التكافؤ بـ${\displaystyle X/K}$(عادةً ما تُقرأ على النحو التالي "${\displaystyle X}$تعديل${\displaystyle K}$"). وفي هذه الحالة أيضًا، يكون الأمر كذلك${\displaystyle K}$بدلاً من${\displaystyle \sim }$، وهذا ما يسمى نواة${\displaystyle f}$تتمتع نوى التشاكلات من نوع معين من البنية الجبرية ببنية معينة بطبيعتها. هذا النوع من البنية للنوى هو نفسه البنية المدروسة في حالة الزمر الأبيلية والفضاءات المتجهة والوحدات ، ولكنه يختلف ويحمل اسمًا خاصًا في حالات أخرى، مثل الزمرة الجزئية العادية لنوى تشاكلات الزمر ، والمثاليّات لنوى تشاكلات الحلقات (في حالة الحلقات غير التبادلية، تكون النوى هي المثاليّات ثنائية الجانب ).

في نظرية النماذج ، يُعمم مفهوم البنية الجبرية ليشمل البنى التي تتضمن العمليات والعلاقات. ليكن L توقيعًا يتكون من رموز الدوال والعلاقات، وليكن A و B بنيتين من نوع L. عندئذٍ، يكون التشاكل من A إلى B تطبيقًا h من مجال A إلى مجال B بحيث

• h ( F ^A ( a ₁ ,..., a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),..., h ( a _n )) لكل رمز دالة من الرتبة n، F في L ،
• R ^A ( a ₁ ,..., a _n ) يستلزم R ^B ( h ( a ₁ ),..., h ( a _n )) لكل رمز علاقة من النوع n R في L .

في الحالة الخاصة التي تحتوي على علاقة ثنائية واحدة فقط، نحصل على مفهوم تماثل الرسم البياني . ^{[ 8 ]}

تُستخدم التشاكلات أيضًا في دراسة اللغات الصورية ^{[ 9 ]} ، ويُشار إليها غالبًا باختصار باسم التشكلات . ^{[ 10 ]} بالنظر إلى الأبجديات${\displaystyle \Sigma _{1}}$و${\displaystyle \Sigma _{2}}$، دالة${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$بحيث${\displaystyle h(uv)=h(u)h(v)}$للجميع${\displaystyle u,v\in \Sigma _{1}}$يُطلق عليه اسم التشاكل على${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$[ ^{ملاحظة 2 ]} إذا${\displaystyle h}$هو تشاكل على${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$و${\displaystyle \varepsilon }$يشير إلى السلسلة الفارغة، ثم${\displaystyle h}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \varepsilon }$التشاكل الحر عندما${\displaystyle h(x)\neq \varepsilon }$للجميع${\displaystyle x\neq \varepsilon }$في${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$.

التشاكل${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$على${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$ذلك يرضي${\displaystyle |h(a)|=k}$للجميع${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle k}$-التشاكل المنتظم . ^{[ 11 ]} إذا${\displaystyle |h(a)|=1}$للجميع${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$(إنه،${\displaystyle h}$(إذا كان 1-موحدًا)، فإن${\displaystyle h}$ويُطلق عليه أيضاً اسم الترميز أو الإسقاط .

المجموعة${\displaystyle \Sigma ^{*}}$من الكلمات المشتقة من الأبجدية${\displaystyle \Sigma }$يمكن اعتبارها شبه زمرة حرة مولدة بواسطة${\displaystyle \Sigma }$هنا ، عملية المونويد هي عملية الربط ، وعنصر التطابق هو الكلمة الفارغة. من هذا المنظور، فإن تماثل اللغة هو تحديدًا تماثل مونويد. ^{[ ملاحظة 3 ]}

• التماثل الشكلي
• التشفير المتماثل
• مشاركة الأسرار المتماثلة – بروتوكول تصويت لا مركزي بسيط
• المورفية
• التماثل الشكلي

• كريجر، داليا (2006). "حول الأسس الحرجة في النقاط الثابتة للتشاكلات غير الممحاة". في: إيبارا، أوسكار هـ.؛ دانغ، تشي (محرران). تطورات في نظرية اللغة  : المؤتمر الدولي العاشر، DLT 2006، سانتا باربرا، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية، 26-29 يونيو 2006  : وقائع المؤتمر . برلين: سبرينغر. ص 280-291 . ISBN  978-3-540-35430-7. OCLC 262693179 . 
• ستانلي ن. بوريس؛ إتش بي سانكابانافار (2012). دورة في الجبر الشامل (ملف PDF) . ستانلي ن. بوريس وإتش بي سانكابانافار. رقم ISBN 978-0-9880552-0-9.
• ماك لين، سوندرز (1971)، تصنيفات للرياضي العامل ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  5، سبرينغر، ISBN 0-387-90036-5، Zbl 0232.18001 
• فرالي، جون ب. كاتز، فيكتور ج. (2003)، دورة أولى في الجبر التجريدي ، أديسون ويسلي، ISBN 978-1-292-02496-7