مُركّب خلوي مُجرّد

في الرياضيات، يُعرف مُركّب الخلايا المجرد بأنه مجموعة مجردة ذات طوبولوجيا ألكسندروف ، حيث يُخصص لكل نقطة فيها عدد صحيح غير سالب يُسمى البُعد . يُطلق على هذا المُركّب اسم "مجرد" لأن نقاطه، التي تُسمى "خلايا"، ليست مجموعات جزئية من فضاء هاوسدورف كما هو الحال في مُركّبات إقليدس وCW . تلعب مُركّبات الخلايا المجردة دورًا هامًا في تحليل الصور ورسومات الحاسوب .

ترتبط فكرة المجمعات الخلوية المجردة ^{[ 1 ]} (وتُسمى أيضًا المجمعات الخلوية المجردة) بج. ليستينغ (1862) ^{[ 2 ]} وإ . شتاينيتز (1908). ^{[ 3 ]} كما وصفها أيضًا أ. و. تاكر (1933)، ^{[ 4 ]} وك. ريديميستر (1938)، ^{[ 5 ]} وب. س. ألكساندروف (1956) ^{[ 6 ]} ، بالإضافة إلى ر. كليت وأ. روزنفيلد (2004) ^{[ 7 ]} . وقد عرّف إ. شتاينيتز المجمع الخلوي المجرد على النحو التالي:${\displaystyle C=(E,B,dim)}$حيث E مجموعة مجردة ، وB علاقة ثنائية غير متناظرة وغير انعكاسية ومتعدية تسمى علاقة التقييد بين عناصر E ، و dim دالة تُسند عددًا صحيحًا غير سالب لكل عنصر من عناصر E بحيث إذا${\displaystyle B(a,b)}$، ثم${\displaystyle dim(a)<dim(b)}$وصف ف. كوفاليفسكي (1989) ^{[ 8 ]} مجمعات الخلايا المجردة للأبعاد الثلاثية وما فوقها. كما اقترح تطبيقات عديدة في تحليل الصور. وفي كتابه (2008) ^{[ 9 ]} ، اقترح نظرية بديهية للفضاءات الطوبولوجية المحدودة محليًا ، والتي تُعد تعميمًا لمجمعات الخلايا المجردة. يحتوي الكتاب على تعريفات جديدة للكرات الطوبولوجية والكرات الكروية المستقلة عن المقياس ، وتعريف جديد للمشعبات التوافقية ، والعديد من الخوارزميات المفيدة في تحليل الصور.

تعتمد طوبولوجيا مجمعات الخلايا المجردة على ترتيب جزئي في مجموعة نقاطها أو خلاياها.

يرتبط مفهوم مُركّب الخلايا المجرد، الذي عرّفه إ. شتاينيتز، بمفهوم المُركّب التبسيطي المجرد ، ويختلف عنه في أن عناصره ليست تبسيطات : فالعنصر ذو البُعد n في المُركّب المجرد لا يمتلك بالضرورة n +1 ضلعًا صفريًا، وليس كل مجموعة جزئية من مجموعة الأضلاع الصفرية للخلية خليةً بالضرورة. وهذا مهم لأن مفهوم مُركّب الخلايا المجرد يُمكن تطبيقه على الشبكات ثنائية وثلاثية الأبعاد المُستخدمة في معالجة الصور، وهو ما لا ينطبق على المُركّبات التبسيطية. أما المُركّب غير التبسيطي فهو تعميم يُتيح إدخال إحداثيات الخلايا: فهناك مُركّبات غير تبسيطية هي نواتج ديكارتية لمُركّبات أحادية البُعد "خطية" حيث تُحيط كل خلية صفرية البُعد، باستثناء اثنتين منها، بخليتين أحاديتي البُعد. هذه المُركّبات الديكارتية فقط هي التي تُتيح إدخال إحداثيات بحيث يكون لكل خلية مجموعة إحداثيات، ولكل خليتين مختلفتين مجموعتا إحداثيات مختلفتان. يمكن أن تكون مجموعة الإحداثيات بمثابة اسم لكل خلية من خلايا المركب، وهو أمر مهم لمعالجة المركبات.

تتيح المجمعات المجردة إدخال الطوبولوجيا الكلاسيكية (طوبولوجيا ألكسندروف) في الشبكات التي تُشكل أساس معالجة الصور الرقمية. وتُحدد هذه الإمكانية الميزة الكبرى لمجمعات الخلايا المجردة: إذ يُصبح من الممكن تحديد مفاهيم الاتصال وحدود المجموعات الفرعية بدقة. ويختلف تعريف بُعد الخلايا والمجمعات، في الحالة العامة، عن تعريف بُعد المجمعات التبسيطية (انظر أدناه).

يختلف مفهوم مُركّب الخلايا المجرد اختلافًا جوهريًا عن مفهوم مُركّب CW، لأن مُركّب الخلايا المجرد ليس فضاء هاوسدورف . وهذا أمرٌ بالغ الأهمية من منظور علوم الحاسوب، إذ يستحيل تمثيل فضاء هاوسدورف غير منفصل تمثيلًا صريحًا في الحاسوب. (يجب أن تحتوي جوار كل نقطة في هذا الفضاء على عدد لا نهائي من النقاط).

يتضمن كتاب ف. كوفاليفسكي ^{[ 10 ]} وصفًا لنظرية الفضاءات المحدودة محليًا، وهي تعميم لمجمعات الخلايا المجردة. يُعرَّف الفضاء المحدود محليًا S بأنه مجموعة من النقاط، حيث تُعرَّف مجموعة جزئية من S لكل نقطة P من S. تُسمى هذه المجموعة الجزئية، التي تحتوي على عدد محدود من النقاط، الجوار الأصغر لـ P. تُعرَّف علاقة جوار ثنائية في مجموعة نقاط الفضاء المحدود محليًا S : يكون العنصر (النقطة) b في علاقة جوار مع العنصر a إذا كان b ينتمي إلى الجوار الأصغر للعنصر a . وقد صِيغت بديهيات جديدة للفضاء المحدود محليًا، وثبت أن الفضاء S يتوافق مع هذه البديهيات فقط إذا كانت علاقة الجوار مضادة للتناظر ومتعدية. علاقة الجوار هي الغلاف الانعكاسي لعلاقة التقييد العكسية. وقد بُيِّن أنه يمكن استنتاج البديهيات الكلاسيكية للطوبولوجيا كنظريات من البديهيات الجديدة. لذا، يُعد الفضاء المحدود محليًا الذي يُحقق البديهيات الجديدة حالة خاصة من الفضاء الطوبولوجي الكلاسيكي. وتُعرف طوبولوجيته بطوبولوجيا المجموعات المرتبة جزئيًا أو طوبولوجيا ألكسندروف . ويُعتبر مُركب الخلايا المجرد حالة خاصة من الفضاء المحدود محليًا، حيث يُحدد البُعد لكل نقطة. وقد بُرهن أن بُعد الخلية c في مُركب الخلايا المجرد يساوي طول (عدد الخلايا ناقص 1) أطول مسار مُحيط يصل بين أي خلية في المُركب والخلية c . ويُمثل المسار المُحيط سلسلة من الخلايا، حيث تُحيط كل خلية بالخلية التي تليها. يتضمن الكتاب نظرية القطع المستقيمة الرقمية في المُركبات ثنائية الأبعاد، والعديد من الخوارزميات لتتبع الحدود في بُعدين وثلاثة أبعاد، ولترميز الحدود بكفاءة، ولإعادة بناء مجموعة فرعية بدقة من رمز حدودها. وباستخدام مُركبات الخلايا المجردة، طُوّرت ووُصفت في الكتاب ^{[ 11 ]} خوارزميات فعّالة لتتبع الحدود وترميزها وتقسيمها إلى مُضلعات، بالإضافة إلى كشف الحواف .

يمكن تمثيل الصورة الرقمية بواسطة مركب خلية مجردة ثنائي الأبعاد (ACC) عن طريق تقسيم الصورة إلى مكوناتها البعدية ACC: النقاط (خلية 0)، والشقوق/الحواف (خلية 1)، والبكسلات/الأوجه (خلية 2).

يُتيح هذا التفكيك، إلى جانب قاعدة تعيين الإحداثيات التي تُحدد بدقة إحداثيات وحدات البكسل في الصورة للمكونات البُعدية، إجراء عمليات تحليل صور مُعينة باستخدام خوارزميات مُتقنة، مثل تتبع حدود الشقوق ، وتقسيم القطع المستقيمة الرقمية ، وغيرها. إحدى هذه القواعد تُحدد إحداثيات النقاط والشقوق والوجوه في الزاوية العلوية اليسرى من البكسل. لا تتطلب هذه المكونات البُعدية ترجمة صريحة إلى هياكل بيانات خاصة بها، بل يُمكن فهمها ضمنيًا وربطها بالمصفوفة ثنائية الأبعاد، وهي التمثيل المعتاد لهيكل بيانات الصورة الرقمية. تظهر قاعدة تعيين الإحداثيات هذه، بالإضافة إلى تمثيل كل خلية في هذه الصورة، في الصورة على اليمين.

• مُركَّب تبسيطي
• مجمع مكعب