تحويل Z المتقدم

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ومعالجة الإشارات ، يُعدّ تحويل z المتقدم امتدادًا لتحويل z ، ليشمل التأخيرات المثالية التي لا تُعدّ مضاعفات لزمن أخذ العينات . ويُستخدم تحويل z المتقدم على نطاق واسع، على سبيل المثال، لنمذجة تأخيرات المعالجة بدقة في التحكم الرقمي . ويُعرف أيضًا باسم تحويل z المُعدَّل .

يأخذ الشكل

F(z،م)=∑ك=0∞و(كتي+م)z-ك{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}

أين

  • T هي فترة أخذ العينات
  • يمثل m (معامل التأخير) جزءًا من فترة أخذ العينات[0،تي].{\displaystyle [0,T].}

ملكيات

إذا تم اعتبار معلمة التأخير، m ، ثابتة، فإن جميع خصائص تحويل z تنطبق على تحويل z المتقدم.

الخطية

Z{∑ك=1نجكوك(ت)}=∑ك=1نجكFك(z،م).{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).}

تغيير التوقيت

Z{u(ت-نتي)و(ت-نتي)}=z-نF(z،م).{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).}

ممتص الصدمات

Z{و(ت)هـ-أت}=هـ-أمF(هـأتيz،م).{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}

الضرب الزمني

Z{تyو(ت)}=(-تيzددz+م)yF(z،م).{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}

نظرية القيمة النهائية

ليمك→∞و(كتي+م)=ليمz→1(1-z-1)F(z،م).{\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m).}

مثال

لنأخذ المثال التالي حيثو(ت)=كوس⁡(ωت){\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}:

F(z،م)=Z{كوس⁡(ω(كتي+م))}=Z{كوس⁡(ωكتي)كوس⁡(ωم)-الخطيئة⁡(ωكتي)الخطيئة⁡(ωم)}=كوس⁡(ωم)Z{كوس⁡(ωكتي)}-الخطيئة⁡(ωم)Z{الخطيئة⁡(ωكتي)}=كوس⁡(ωم)z(z-كوس⁡(ωتي))z2-2zكوس⁡(ωتي)+1-الخطيئة⁡(ωم)zالخطيئة⁡(ωتي)z2-2zكوس⁡(ωتي)+1=z2كوس⁡(ωم)-zكوس⁡(ω(تي-م))z2-2zكوس⁡(ωتي)+1.{\displaystyle {\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega \begin{aligned} ...

لوم=0{\displaystyle m=0}ثمF(z،م){\displaystyle F(z,m)}يختزل إلى التحويل

F(z،0)=z2-zكوس⁡(ωتي)z2-2zكوس⁡(ωتي)+1،{\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},}

وهو بوضوح مجرد تحويل z لـو(ت){\displaystyle f(t)}.

مراجع