عامل ماثيو شبه الكامل

في الفيزياء الرياضية ، يظهر مؤثر ماثيو التقريبي ، الذي سُمي بهذا الاسم لتشابهه مع مؤثر ماثيو ^{[ 1 ]} الذي قدمه إميل ليونارد ماثيو ^{[ 2 ]،} في دراسة تأثير هول الكمومي . ويُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle [H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }u](n)=u(n+1)+u(n-1)+2\lambda \cos(2\pi (\omega +n\alpha ))u(n),\,}$

يعمل كمؤثر ذاتي الترافق على فضاء هيلبرت${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$. هنا${\displaystyle \alpha ,\omega \in \mathbb {T} ,\lambda >0}$هي معلمات. في الرياضيات البحتة ، تكمن أهميتها في كونها أحد أفضل الأمثلة المفهومة لمؤثر شرودنغر الإرجودي . على سبيل المثال، تضمنت ثلاث مسائل (تم حلها جميعًا الآن) من بين مسائل باري سيمون الخمس عشرة حول مؤثرات شرودنغر "للقرن الحادي والعشرين" مؤثر ماثيو شبه الكامل. ^{[ 3 ]} في الفيزياء، يمكن استخدام مؤثرات ماثيو شبه الكاملة لدراسة التحولات من المعدن إلى العازل كما في نموذج أوبري-أندريه .

ل${\displaystyle \lambda =1}$، ويُطلق على عامل ماثيو شبه الكامل أحيانًا اسم معادلة هاربر .

تم التكهن ببنية طيف هذا المؤثر لأول مرة من قبل مارك كاك ، الذي قدم عشرة كؤوس من المارتيني مقابل أول برهان على التكهن التالي:

للجميع${\displaystyle \lambda \neq 0}$كل شيء غير عقلاني${\displaystyle a}$وجميع الأعداد الصحيحة${\displaystyle n_{1},n_{2}}$، مع${\displaystyle 0<n_{1}+n_{2}a<1}$، هناك فجوة لمؤثر ماثيو التقريبي الذي${\displaystyle k(E)=n_{1}+n_{2}a}$، أين${\displaystyle k(E)}$هي الكثافة المتكاملة للحالات .

أطلق باري سيمون على هذه المشكلة اسم "مشكلة المارتيني العشرة الجافة" لأنها كانت "أقوى" من المشكلة الأضعف التي أصبحت تُعرف باسم "مشكلة المارتيني العشرة": ^{[ 1 ]}

للجميع${\displaystyle \lambda \neq 0}$كل شيء غير عقلاني${\displaystyle a}$وكل شيء${\displaystyle \omega }$، طيف عامل ماثيو التقريبي هو مجموعة كانتور .

لو${\displaystyle \alpha }$إذا كان عددًا نسبيًا ، فإن${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$ هو عامل دوري، وبحسب نظرية فلوكي، فإن طيفه متصل بشكل مطلق تمامًا .

والآن إلى الحالة التي${\displaystyle \alpha }$غير منطقي . لأن التحويل${\displaystyle \omega \mapsto \omega +\alpha }$إذا كان الحد الأدنى ضئيلاً، فإن نطاق${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$لا يعتمد على${\displaystyle \omega }$من ناحية أخرى، وبحسب خاصية الإرجودية، فإن نطاقات أجزاء الطيف المتصلة تمامًا، والمتصلة بشكل منفرد، والنقطية البحتة، تكون مستقلة بشكل شبه مؤكد عن${\displaystyle \omega }$من المعروف الآن أن

• ل${\displaystyle 0<\lambda <1}$،${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$من المؤكد أن له طيفًا متصلًا تمامًا. ^{[ 4 ]} (كانت هذه إحدى مشاكل سيمون.)
• ل${\displaystyle \lambda =1}$،${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$من المؤكد أن له طيفًا متصلًا فريدًا تمامًا لأي عدد غير منطقي${\displaystyle \alpha }$[ ^{5 ]​}
• ل${\displaystyle \lambda >1}$،${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$يمتلك طيفًا نقطيًا نقيًا شبه مؤكد ويُظهر خاصية التموضع الأندرسوني . ^{[ 6 ]} (من المعروف أنه لا يمكن استبدال "شبه مؤكد" بـ "مؤكد"). ^{[ 7 ] [ 8 ]}

أن المقاييس الطيفية تكون منفردة عندما${\displaystyle \lambda \geq 1}$ويتبع ذلك (من خلال عمل يورام لاست وسيمون) ^{[ 9 ]} من الحد الأدنى لأس ليابونوف${\displaystyle \gamma (E)}$مقدم من

${\displaystyle \gamma (E)\geq \max\{0,\log(\lambda )\}.\,}$

تم إثبات هذا الحد الأدنى بشكل مستقل من قبل جوزيف أفرون، وسيمون، ومايكل هيرمان ، بعد حجة سابقة شبه صارمة من سيرج أوبري وجيل أندريه. في الواقع، عندما${\displaystyle E}$إذا انتمى إلى الطيف، فإن عدم المساواة يصبح مساواة (صيغة أوبري-أندريه)، وقد أثبت ذلك جان بورغين وسفيتلانا جيتوميرسكايا . ^{[ 10 ]}

ومن الخصائص اللافتة الأخرى لمؤثر ماثيو التقريبي أن طيفه هو مجموعة كانتور لجميع الأعداد غير النسبية${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \lambda >0}$وقد تم إثبات ذلك من خلال قيام أفيلا وجيتوميرسكايا بحل " مسألة تين مارتيني" الشهيرة آنذاك ^{[ 11 ]} (وهي أيضًا إحدى مسائل سيمون) بعد العديد من النتائج السابقة (بما في ذلك بشكل عام ^{[ 12 ]} وتقريبًا بشكل مؤكد ^{[ 13 ]} فيما يتعلق بالمعلمات).

علاوة على ذلك، من المعروف أن مقياس ليبيغ لطيف مؤثر ماثيو التقريبي هو

${\displaystyle \operatorname {Leb} (\sigma (H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }))=|4-4\lambda |\,}$

للجميع${\displaystyle \lambda >0}$. ل${\displaystyle \lambda =1}$هذا يعني أن الطيف له قياس صفري (وقد اقترح دوغلاس هوفستاتر هذا لأول مرة ، وأصبح فيما بعد إحدى مسائل سيمون). ^{[ 14 ]} لـ${\displaystyle \lambda \neq 1}$تم اكتشاف الصيغة عدديًا بواسطة أوبيري وأندريه، وأثبتتها جيتوميرسكايا وكراسوفسكي. في وقت سابق، أثبت لاست ^{[ 15 ] [ 16 ]} هذه الصيغة لمعظم قيم المعاملات.

دراسة الطيف لـ${\displaystyle \lambda =1}$يؤدي ذلك إلى فراشة هوفستاتر ، حيث يتم عرض الطيف كمجموعة.