المعاش السنوي

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 76 صور
الموسوعة الحرة

في مجال الاستثمار ، تُعرَّف المعاشات السنوية بأنها سلسلة من الدفعات المتشابهة التي تُدفع على فترات زمنية متساوية، وعادةً ما تكون لفترة محددة. [ 1 ] تُصدر شركات التأمين على الحياة عادةً المعاشات السنوية ، حيث يدفع الفرد مبلغًا إجماليًا أو سلسلة من الأقساط مقابل الحصول على دفعات دخل منتظمة، غالبًا لتوفير مزايا التقاعد أو مزايا الورثة. [ 2 ]

تشمل الأمثلة النموذجية الإيداعات المنتظمة في حساب التوفير، وأقساط الرهن العقاري الشهرية، وأقساط التأمين الشهرية، ومدفوعات المعاش التقاعدي . [ 1 ] عادةً ما تُعبّر قيمة الدفعة السنوية عن قيمتها الحالية أو قيمتها المستقبلية ، ويتم حسابها عن طريق خصم أو تجميع المدفوعات بسعر فائدة محدد .

يمكن تصنيف المعاشات السنوية حسب توقيت الدفعات، مثل المعاشات الفورية والمعاشات المستحقة، وحسب ما إذا كانت مدة العقد ثابتة أو مشروطة بالبقاء على قيد الحياة، وحسب ما إذا كانت المبالغ ثابتة أو متغيرة أو مرتبطة بمؤشر معين. قد تبدأ العقود بالدفع فورًا أو بعد فترة تأجيل، والعقد الذي يستمر إلى أجل غير مسمى يُسمى عقدًا دائمًا .

تاريخ

في أوروبا خلال العصور الوسطى وبداية العصر الحديث، تطورت المعاشات السنوية من خلال الإيجارات والمستأجرين وحقوق الدخل الأخرى. وكان بإمكان المشتري أو الدائن توفير رأس المال مقابل دفعة دورية مضمونة بالأرض أو إيرادات البلدية أو أي مصدر دخل آخر. [ 3 ] وشملت هذه الترتيبات الإيجارات الدائمة، وإيجارات مدى الحياة، والمعاشات السنوية المؤقتة، والمعاشات البلدية التي استُخدمت لتمويل الحروب والأشغال العامة أو توحيد الديون. [ 4 ] [ 3 ] ولأن هذه المعاملة يمكن صياغتها على أنها بيع لحق دخل، فقد وفرت شكلاً من أشكال الائتمان في الأطر القانونية والدينية التي كانت فيها القروض المباشرة ذات الفائدة مقيدة. [ 3 ]

بحلول القرنين السادس عشر والسابع عشر، أصبحت عقود التأمين على الحياة أدوات مهمة في المالية العامة. فقد باعت الحكومات والبلديات في جمهورية هولندا وفرنسا وإنجلترا عقود تأمين على الحياة محددة المدة، ودائمة، ومشروطة بالعمر لجمع الأموال. [ 4 ] [ 5 ] وقد أثارت عقود التأمين على الحياة مشكلة في التقييم، إذ كان على الجهة المصدرة مراعاة كل من الفائدة وعدم اليقين بشأن البقاء على قيد الحياة. وقد يؤدي التسعير الخام إلى جعل العقود مكلفة للجهات المصدرة إذا حصل المشترون ذوو الأعمار المتوقعة الطويلة على شروط لا تعكس العمر أو معدل الوفيات. [ 3 ] [ 6 ]

تطورت المعالجة الرياضية للمدفوعات المشروطة بالبقاء على قيد الحياة انطلاقًا من هذه المشكلة العملية. وقد ساهم عمل جون جرانت على سجلات الوفيات في إثبات إمكانية دراسة الوفيات إحصائيًا على مستوى السكان. [ 6 ] في عام 1671، أعدّ يوهان دي ويت تقريرًا عن المعاشات التقاعدية مدى الحياة للحكومة الهولندية، مستخدمًا فيه منطق القيمة المتوقعة المخصومة لمقارنة المعاشات التقاعدية مدى الحياة بالمعاشات التقاعدية القابلة للاسترداد. [ 7 ] وفي وقت لاحق، استخدم إدموند هالي بيانات من بريسلاو لإنشاء جدول حياة وحساب قيم المعاشات التقاعدية مدى الحياة. [ 8 ] وقد طبّقت هذه الأعمال مجتمعةً ملاحظات الوفيات وحسابات الفائدة المركبة على المدفوعات المشروطة بالبقاء على قيد الحياة. [ 7 ] [ 8 ] [ 6 ]

تطورت أنظمة التونتين بالتوازي مع المعاشات التقاعدية العادية . في نظام التونتين، قد تزداد المدفوعات للمشاركين الباقين على قيد الحياة مع وفاة مشاركين آخرين، بينما يضمن المعاش التقاعدي عادةً دخلاً محدداً طوال فترة حياة المستفيد. [ 4 ] استخدمت الحكومات أنظمة التونتين كأدوات للاقتراض العام، لكن هيكل مدفوعاتها عرّض المشاركين لشكل مختلف من تجميع مخاطر طول العمر مقارنةً بالمعاشات التقاعدية العادية. [ 5 ] وقد أحيت مقترحات حديثة ترتيبات شبيهة بنظام التونتين كتصاميم لدخل التقاعد تجمع مخاطر طول العمر دون ضمان حصول كل مشارك على دفعة ثابتة مدى الحياة. [ 9 ]

خلال القرن الثامن عشر، توسعت حسابات المعاشات السنوية لتشمل المعاشات المشتركة، ومزايا الورثة، والمعاشات الموروثة. وكانت المعاشات الموروثة، التي تُدفع عادةً للأرملة أو المعال بعد وفاة شخص آخر، تُستخدم في صناديق الأرامل، وصناديق رجال الدين، وغيرها من الترتيبات التعاونية أو المهنية. [ 10 ] [ 7 ] وتعتمد أسعارها على افتراضات الوفيات، ومعايير الاختيار، ومستويات المساهمة، وشروط انضمام المشاركين إلى النظام. [ 10 ] [ 7 ]

بحلول القرن التاسع عشر، تحوّل قطاع المعاشات التقاعدية بشكل كبير من التزامات خاصة وعامة إلى مؤسسات تأمين على الحياة مُدمجة تُسعّر العقود بناءً على بيانات الوفيات المُسجّلة. [ 4 ] وقد غيّرت الممارسات الاكتوارية قطاع المعاشات التقاعدية، إذ تطلّبت الوعود طويلة الأجل جداول وفيات، وافتراضات فائدة، واحتياطيات، وأساليب تقييم الملاءة المالية. [ 6 ] وأصبح التأمين على الحياة والمعاشات التقاعدية مرتبطين داخل المؤسسات نفسها، حيث يحمي التأمين على الحياة من الوفاة المبكرة، بينما يحمي المعاش التقاعدي من طول العمر غير المعتاد.

في القرن العشرين، ساهمت أنظمة المعاشات التقاعدية العامة في زيادة شيوع الدخل الشبيه بالدخل السنوي، حتى في الحالات التي لم يشترِ فيها الأفراد عقود التأمين على الحياة بشكل مباشر. غالبًا ما توفر معاشات التقاعد ذات المزايا المحددة وخطط المعاشات التقاعدية العامة دخلًا مدى الحياة، بينما تستخدم خيارات المعاشات التقاعدية المشتركة مبادئ عقود التأمين على الحياة المتعددة. [ 11 ] في الولايات المتحدة، ظلت أسواق عقود التأمين على الحياة الخاصة صغيرة حتى ثلاثينيات القرن العشرين، عندما ازداد الطلب على منتجات شركات التأمين خلال فترة الكساد الكبير ، وتطورت عقود التأمين الجماعي على الحياة لخطط المعاشات التقاعدية للشركات . [ 12 ]

تطورت عقود التأمين على الحياة المتغيرة لاحقًا لتصبح عقودًا تجمع بين مزايا الاستثمار وتأجيل الضرائب المتاح لمنتجات التأمين على الحياة. [ 12 ] شهدت أسواق التأمين على الحياة في أواخر القرن العشرين وأوائل القرن الحادي والعشرين إضافة عقود التأمين على الحياة المؤجلة الثابتة، وعقود التأمين على الحياة المرتبطة بالمؤشرات، وإضافات الدخل، ونقل مخاطر المعاشات التقاعدية، وأسواق نقل مخاطر طول العمر. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] ربطت الأبحاث المتعلقة بمسألة التأمين على الحياة انخفاض الإقبال الطوعي على شراء عقود التأمين على الحياة بعوامل مثل دخل المعاشات التقاعدية الحالي، ودوافع الإرث، وتفضيل السيولة، وتعقيد المنتج، والتسعير، والإطار السلوكي. [ 15 ]

الأنواع

يمكن تصنيف المعاشات السنوية بعدة طرق.

توقيت الدفعات

تُدفع الأقساط في نظام الدفع الفوري في نهاية كل فترة دفع، لذا تتراكم الفائدة خلال الفترة التي تسبق كل دفعة. في المقابل، تُدفع الأقساط في نظام الدفع المؤجل في بداية كل فترة، لذا تُدفع كل دفعة مقدمًا. [ 16 ] [ 1 ]

تشمل الأمثلة النموذجية لتدفقات الدفعات الفورية للأقساط السنوية سداد أقساط الرهن العقاري السكني وقروض أخرى، حيث يغطي كل قسط الفائدة المتراكمة خلال الفترة السابقة. أما الإيجار والإيجارات والعديد من أقساط التأمين ، فتُدفع عادةً مقدمًا، وبالتالي فهي أمثلة على الدفعات المستحقة للأقساط السنوية. [ 17 ] [ 18 ]

مدفوعات طارئة

المعاش الذي يُدفع على مدى فترة محددة، بغض النظر عن بقاء أي فرد على قيد الحياة، هو معاش مضمون. في هذه الحالة، يكون عدد الدفعات معروفًا مسبقًا ومحددًا في العقد. [ 19 ]

يُدفع مبلغ المعاش التقاعدي مدى الحياة طالما بقي شخص أو أكثر على قيد الحياة، لذا فإن عدد الدفعات غير مؤكد. [ 19 ] [ 20 ] وتُعدّ المعاشات التقاعدية التي تدفع دخلاً منتظماً مدى الحياة أمثلة على المعاشات التقاعدية مدى الحياة.

تجمع وثيقة المعاش التقاعدي مدى الحياة، والتي تُسمى أيضاً وثيقة المعاش التقاعدي مدى الحياة بفترة محددة، بين هذه الميزات. وتستمر المدفوعات لمدة دنيا مضمونة على الأقل، وبعد ذلك طوال حياة صاحب المعاش. [ 21 ] [ 22 ]

تباين المدفوعات

تأجيل المدفوعات

يبدأ صرف مدفوعات الدخل في عقد المعاش المؤجل بعد فترة تأجيل أو تراكم. وخلال فترة التأجيل، يُضاف عادةً إلى قيمة الحساب فوائد أو عوائد استثمارية. [ 29 ] [ 30 ] أما في عقد المعاش الفوري، فتبدأ المدفوعات بعد فترة وجيزة من شراء العقد، وغالبًا في غضون عام واحد. [ 30 ] [ 31 ]

يمكن كتابة كل من عقود التأمين على الحياة الثابتة والمتغيرة والمؤشرة كعقود فورية أو مؤجلة. [ 23 ] [ 24 ]

المزايا الاختيارية والملحقات

تتيح العديد من عقود التأمين على الحياة خيارات إضافية أو مزايا مقابل تكلفة إضافية. قد توفر خيارات استحقاق الوفاة للمستفيد حدًا أدنى من الدخل، أو استردادًا للأقساط المدفوعة، أو زيادة في قيمة الحساب في حال وفاة مالك العقد أو صاحبه قبل بدء سريان الدخل. [ 25 ] [ 29 ] أما خيارات استحقاق الحياة فقد توفر حدًا أدنى مضمونًا من الدخل، أو إمكانية السحب، أو مزايا تراكمية طالما بقي مالك العقد على قيد الحياة. [ 25 ] [ 32 ]

قد تُغيّر هذه الميزات توزيع المخاطر بين المالك وشركة التأمين، ولكنها قد تُضيف رسومًا، أو تُقيّد خيارات الاستثمار، أو تحدّ من مبالغ السحب، أو تُقلّل من قيمة الضمانات بعد عمليات السحب. [ 25 ] [ 32 ] ولذلك، يعتمد الأثر الاقتصادي للملحق على كلٍّ من الضمان المُعلن وشروط العقد المُرتبطة باستخدامه.

نماذج ذات أغراض خاصة

تُستخدم عقود التأمين على الحياة في الترتيبات القانونية والخيرية والتقاعدية. قد تستخدم التسوية المنظمة عقد تأمين على الحياة لتمويل المدفوعات الدورية المستحقة بموجب تسوية إصابة شخصية أو تعويضات عمالية. [ 33 ] يُعدّ عقد التأمين الخيري على الحياة نقلًا للملكية إلى منظمة خيرية مقابل دفعات تأمين على الحياة تمتد لجولة أو جولتين، ويتوقف الجانب الخيري على العلاقة بين الملكية المنقولة والقيمة الاكتوارية للمدفوعات. [ 34 ] في نقل مخاطر المعاشات التقاعدية، قد يستخدم نظام معاشات التقاعد ذو المزايا المحددة عقد تأمين جماعي، أو شراء حصة، أو شراء حصة كاملة لنقل بعض أو كل التزامات دفع المعاشات التقاعدية إلى شركة تأمين . [ 35 ]

تشترك هذه الأشكال ذات الأغراض الخاصة في ميزة المعاشات التقاعدية الدورية أو المرتبطة بالحياة، لكن غرضها القانوني وتوزيع المخاطر فيها يختلفان عن معاشات التقاعد العادية. تركز التسويات المهيكلة على دفعات التعويض المجدولة، وتجمع معاشات الهبات الخيرية بين الدفعات مدى الحياة والتحويل الخيري، بينما تنقل معاشات نقل مخاطر المعاشات التقاعدية التزامات المعاشات التقاعدية من نظام المعاشات التقاعدية أو الجهة الراعية إلى شركة التأمين. [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]

تقييم

تُعامل عملية تقييم الدفعات الدورية تدفقات المدفوعات كتدفقات نقدية ، ويتم تلخيصها بقيمة حالية أو قيمة مستقبلية عند سعر فائدة محدد . [ 1 ] [ 36 ] بالنسبة للدفعات الدورية الثابتة، تعتمد الصيغ على ما إذا كانت المدفوعات تُدفع في نهاية كل فترة أو في بدايتها.

معاش مضمون

إذا كان عدد الدفعات معروفًا مسبقًا، فإن العقد يُسمى عقد دفعات سنوية محددة (يُسمى أيضًا عقد دفعات سنوية مضمونة). [ 1 ] تعتمد عملية التقييم على الصيغ الموضحة أدناه، والتي تعتمد على توقيت الدفعات.

معاش فوري

إذا تم سداد الدفعات في نهاية كل فترة، بحيث تتراكم الفائدة خلال الفترة التي تسبق كل دفعة، فإن الدفعة الدورية تُسمى دفعة دورية فورية (دفعة دورية عادية). [ 36 ] تُعد دفعات الرهن العقاري مثالًا نموذجيًا، حيث تُحتسب الفائدة بين الدفعات ثم تُسدد في كل تاريخ استحقاق. [ 18 ]

↓↓...↓المدفوعات
— — —— — —— — —— — ——
012...نفترات

يتركأنا{\displaystyle i}يشير إلى معدل الفائدة الفعلي لكل فترة ون{\displaystyle n}عدد الدفعات. عامل القيمة الحالية لدفعات دورية ثابتة فورية ذات دفعات موحدة هو: أن¯|أنا=1-(1+أنا)-نأنا{\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}} والقيمة الحالية للمدفوعات بمبلغR{\displaystyle R}يكون:

PV(أنا،ن،R)=Rأن¯|أنا.{\displaystyle \mathrm {PV} (i,n,R)=R\,a_{{\overline {n}}|i}.}[ 1 ]

في الممارسة العملية، غالباً ما يتم ذكر الفائدة كنسبة سنوية اسميةج{\displaystyle J}قابلة للتحويل شهريًا أو بتردد آخر. إذا كانت الدفعات شهرية وكان المعدل السنوي الاسمي هوج{\displaystyle J}إذن، يكون المعدل الشهري هوأنا=ج/12{\displaystyle i=J/12}وعدد المدفوعات التي تتجاوزت{\displaystyle t}السنة هين=12ت{\displaystyle n=12t}[ 36 ]​

القيمة المستقبلية لمعاش سنوي ثابت فوري مع دفعات موحدة هي sن¯|أنا=(1+أنا)ن-1أنا{\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}} والقيمة المتراكمة مباشرة بعد الدفعة الأخيرة هي:

FV(أنا،ن،R)=Rsن¯|أنا.{\displaystyle \mathrm {FV} (i,n,R)=R\,s_{{\overline {n}}|i}.}[ 37 ]

مثال: القيمة الحالية لدفعات سنوية لمدة 5 سنوات بمعدل فائدة سنوي اسمي قدره 12% ودفعات شهرية قدرها 100 دولار هي PV(0.1212،5×12،100)=100×أ60¯|0.01≈4,495.50{\displaystyle \mathrm {PV} \!\left({\frac {0.12}{12}},5\times 12,100\right)=100\times a_{{\overline {60}}|0.01}\approx 4{,}495.50} وبالتالي فإن سلسلة المدفوعات تعادل مبلغًا واحدًا يبلغ حوالي 4496 دولارًا في الوقت صفر.

ترتبط القيم المستقبلية والحالية للدفعات الدورية الفورية بالعلاقة التالية: sن¯|أنا=(1+أنا)نأن¯|أنا{\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\,a_{{\overline {n}}|i}} و

1أن¯|أنا-1sن¯|أنا=أنا.{\displaystyle {\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}=i.}[ 36 ]
إثبات صيغة الدفعة السنوية الفورية

للحصول على عامل القيمة الحالية، ضع في اعتبارك دفعة دورية ثابتة فورية ذات دفعات منتظمة. الدفعة في نهاية الفترةك{\displaystyle k}يتم خصمها بواسطة العامل(1+أنا)-ك{\displaystyle (1+i)^{-k}}إذن، عامل القيمة الحالية هو أن¯|أنا=∑ك=1ن1(1+أنا)ك.{\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}.} يتركv=(1+أنا)-1{\displaystyle v=(1+i)^{-1}}ليكن عامل الخصم لفترة واحدة. ثم أن¯|أنا=v+v2+⋯+vن=v∑ك=0ن-1vك.{\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}=v\sum _{k=0}^{n-1}v^{k}.} باستخدام الصيغة القياسية لمجموع متسلسلة هندسية منتهية، نحصل على

أن¯|أنا=v1-vن1-v=1-vنأنا=1-(1+أنا)-نأنا.{\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}=v\,{\frac {1-v^{n}}{1-v}}={\frac {1-v^{n}}{i}}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}.}[ 36 ] [ 1 ]

المعاش السنوي المستحق

الدفعة السنوية هي سلسلة من المدفوعات المتساوية التي تُدفع على فترات منتظمة في بداية كل دورة. [ 18 ] يمكن أن تكون هذه الدورات شهرية، أو ربع سنوية، أو نصف سنوية، أو سنوية، أو أي دورة محددة أخرى. ومن الأمثلة على ذلك الإيجارات، وعقود الإيجار، والعديد من مدفوعات التأمين، التي تُدفع لتغطية الخدمات المقدمة في الفترة التي تلي الدفعة. [ 17 ]

↓↓...↓المدفوعات
— — —— — —— — —— — ——
01...ن - 1نفترات

بالنسبة للمعاشات الدورية ذات الدفعات الموحدة، يكون عامل القيمة الحالية هو أ¨ن¯|أنا=(1+أنا)أن¯|أنا{\displaystyle {\ddot {a}} _ {{\overline {n}}|i}=(1+i)\,a_{{\overline {n}}|i}} وعامل القيمة المستقبلية هو

s¨ن¯|أنا=(1+أنا)sن¯|أنا.{\displaystyle {\ddot {s}} _ {{\overline {n}}|i}=(1+i)\,s_{{\overline {n}}|i}.}[ 1 ] [ 36 ]

تحقق القيم الحالية والمستقبلية لدفعات سنوية مستحقة s¨ن¯|أنا=(1+أنا)نأ¨ن¯|أنا{\displaystyle {\ddot {s}} _ {{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\,{\ddot {a}}_ {{\overline {n}}|i}} و 1أ¨ن¯|أنا-1s¨ن¯|أنا=د،{\displaystyle {\frac {1}{{\ddot {a}} _ {{\overline {n}}|i}}} - {\frac {1}{{\ddot {s}}_ {{\overline {n}}|i}}}=d,} أيند=أنا1+أنا{\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}هو معدل الخصم الفعلي. [ 37 ]

مثال: القيمة المستقبلية لدفعات سنوية مستحقة الدفع لمدة 7 سنوات بمعدل فائدة سنوي اسمي قدره 9% ودفعات شهرية قدرها 100 دولار هي FVحق(0.0912،7×12،100)=100×s¨84¯|0.0075≈11,730.01.{\displaystyle \mathrm {FV} _{\text{due}}\!\left({\frac {0.09}{12}},7\times 12,100\right)=100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}}|0.0075}\approx 11{,}730.01.}

دائم

الدفعة الدائمة هي دفعة سنوية تستمر مدفوعاتها إلى أجل غير مسمى. [ 36 ] بالنسبة للدفعة الدائمة ذات القيمة الثابتةR{\displaystyle R}معدل الفائدة لكل فترة ولكل فترةأنا{\displaystyle i}، ويمكن الحصول على القيمة الحالية كحد أقصى للقيمة الحالية الفورية للدفعات السنوية الثابتة عندما يؤول الحد إلى اللانهاية: ليمن→∞PV(أنا،ن،R)=ليمن→∞Rأن¯|أنا=Rأنا{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {PV} (i,n,R)=\lim _{n\to \infty }R\,a_{{\overline {n}}|i}={\frac {R}{i}}} إذن، الصيغة المغلقة هي PVإلى الأبد=Rأنا{\displaystyle \mathrm {PV} _{\text{perpetuity}}={\frac {R}{i}}} متاحأنا{\displaystyle i}موجب. [ 37 ] في الترميز الاكتواري، تكون عوامل القيمة الحالية للدفعات الدائمة ذات المستوى هي أ∞¯|أنا=1أنا{\displaystyle a_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{i}}} و أ¨∞¯|أنا=1د،{\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{d}},} أيند=أنا1+أنا{\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}هو معدل الخصم الفعلي. [ 1 ]

المعاشات التقاعدية مدى الحياة

يُوسّع تقييم المعاشات التقاعدية مدى الحياة معادلات المعاشات الثابتة من خلال مراعاة الوفيات بالإضافة إلى الفائدة. بالنسبة لمعاش تقاعدي مدى الحياةx{\displaystyle x}مع دفعات سنوية بقيمةR{\displaystyle R}تُدفع هذه المبالغ طوال فترة حياة المؤمن عليه، والقيمة الحالية الاكتوارية هي القيمة المتوقعة لتدفق المدفوعات المخصومة. أPV=∑ت=1∞Rvتتصx{\displaystyle \mathrm {APV} =\sum _{t=1}^{\infty }Rv^{t}\,{}_{t}p_{x}} أينv=(1+أنا)-1{\displaystyle v=(1+i)^{-1}}هو عامل الخصم لكل فترة وتصx{\displaystyle {}_{t}p_{x}}هو احتمال أن يعيش شخص عمرهx{\displaystyle x}على الأقل ينجوت{\displaystyle t}فترات. [ 38 ] [ 39 ]

في التدوين الاكتواري، القيمة الحالية لمعاش مدى الحياة - فوري بقيمة 1 في السنة على مدى عمرx{\displaystyle x}مكتوبأx{\displaystyle a_{x}}ويمكن التعبير عنها على النحو التالي أx=∑ت=1∞vتتصx{\displaystyle a_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}\,{}_{t}p_{x}} بينما يمتلك المعاش السنوي المقابل مدى الحياة عامل القيمة الحالية

أ¨x=∑ت=0∞vتتصx.{\displaystyle {\ddot {a}}_{x}=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t}\,{}_{t}p_{x}.}[ 38 ] [ 40 ]

حسابات الاستهلاك

إذا تم استخدام دفعة دورية لسداد قرض بدفعات متساوية في نهاية كل فترة، فإن تدفق الدفعات هو دفعة دورية فورية.P{\displaystyle P}أن يكون المبلغ الأصلي للقرض،R{\displaystyle R}الدفعة المنتظمة،أنا{\displaystyle i}معدل الفائدة الفعلي لكل فترة وشمال{\displaystyle N}إجمالي عدد الدفعات. ثم القيمة الحالية لتدفق الدفعات هي P=Rأشمال¯|أنا=R1-(1+أنا)-شمالأنا،{\displaystyle P=R\,a_{{\overline {N}}|i}=R\,{\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}},} إذن، القسط الشهري الذي يسدد القرض هو

R=Pأشمال¯|أنا=Pأنا1-(1+أنا)-شمال.{\displaystyle R={\frac {P}{a_{{\overline {N}}|i}}}=P\,{\frac {i}{1-(1+i)^{-N}}}.}[ 36 ] [ 1 ] [ 18 ]

الرصيد المتبقي بعدن{\displaystyle n}يمكن الحصول على المدفوعات بطريقتين متكافئتين. بموجب الطريقة بأثر رجعي، يكون الرصيد هو رأس المال الأصلي المتراكم مع الفائدة لـن{\displaystyle n}الفترات مطروحًا منها القيمة المتراكمة للمدفوعات التي تم سدادها بالفعل:

بن=(1+أنا)نP-R(1+أنا)ن-1أنا=Rأنا-(1+أنا)ن(Rأنا-P).{\displaystyle B_{n}=(1+i)^{n}P-R\,{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}={\frac {R}{i}}-(1+i)^{n}\!\left({\frac {R}{i}}-P\right).}[ 36 ]

وفقًا للطريقة المستقبلية، فإن الرصيد القائم هو القيمة الحالية للمتبقيشمال-ن{\displaystyle N-n}المدفوعات:

بن=Rأشمال-ن¯|أنا=R1-(1+أنا)-(شمال-ن)أنا.{\displaystyle B_{n}=R\,a_{{\overline {N-n}}|i}=R\,{\frac {1-(1+i)^{-(N-n)}}{i}}.}[ 1 ]

بالنسبة للمعاشات السنوية التي تُدفع في بداية كل فترة، تنطبق نفس الأفكار ولكن يتم استخدام عوامل استحقاق المعاش. إذاR{\displaystyle R}هو مستوى الدفع وهناكشمال{\displaystyle N}إجمالي المدفوعات، الرصيد المستحق بعدن{\displaystyle n}المدفوعات هي

بن(حق)=Rأ¨شمال-ن¯|أنا،أ¨م¯|أنا=(1+أنا)أم¯|أنا.{\displaystyle B_{n}^{({\text{due}})}=R\,{\ddot {a}}_{{\overline {N-n}}|i},\qquad {\ddot {a}}_{{\overline {m}}|i}=(1+i)\,a_{{\overline {m}}|i}.}[ 36 ]

مثال. ليكنP=1000{\displaystyle P=1{,}000}،أنا=0.10{\displaystyle i=0.10}،شمال=3{\displaystyle N=3}. ثم R=Pأنا1-(1+أنا)-شمال=1000×0.101-(1.10)-3≈402.11.{\displaystyle R={\frac {P\,i}{1-(1+i)^{-N}}}={\frac {1{,}000\times 0.10}{1-(1.10)^{-3}}}\approx 402.11.} بعد دفعة واحدة، تتطابق الأرصدة السابقة والمستقبلية: ب1=1000×1.10-402.11×1.10-10.10≈697.89،{\displaystyle B_{1}=1{,}000\times 1.10-402.11\times {\frac {1.10-1}{0.10}}\approx 697.89,} و ب1=Rأ2¯|0.10=402.11×1-(1.10)-20.10≈697.89.{\displaystyle B_{1}=R\,a_{{\overline {2}}|0.10}=402.11\times {\frac {1-(1.10)^{-2}}{0.10}}\approx 697.89.}

انظر أيضاً: الرهن العقاري ذو السعر الثابت .

أمثلة على الحسابات

يقدم هذا القسم أمثلة محلولة لإيجاد الدفعة الدوريةR{\displaystyle R}بالنسبة للمعاش السنوي المستحق من قيمة حالية معينة أو قيمة متراكمة. في جميع الأحوال،ج{\displaystyle j}يشير إلى معدل فائدة سنوي اسمي قابل للتحويلم{\displaystyle m}مرات في السنة،أنا=ج/م{\displaystyle i=j/m}هو معدل الفائدة الفعلي لكل فترة سداد ون{\displaystyle n}هو العدد الإجمالي للمدفوعات.

بالنسبة لدفعات سنوية مستحقة ذات قيمة حاليةأ{\displaystyle A}دفع ثابتR{\displaystyle R}ون{\displaystyle n}في المدفوعات، يكون عامل القيمة الحالية هو أ¨ن¯|أنا=(1-(1+أنا)-نأنا)(1+أنا){\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right)(1+i)} إذن، الدفعة الثابتة هي

R=أأ¨ن¯|أنا=أ(1-(1+أنا)-نأنا)(1+أنا).{\displaystyle R={\frac {A}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}={\frac {A}{\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right)(1+i)}}.}[ 1 ] [ 36 ] [ 18 ]

مثال 1: القيمة الحالية للدفعة (الدفعة السنوية المستحقة)

لنفترض أن القيمة الحالية لدفعات سنوية مستحقة هيأ=70,000{\displaystyle A=70{,}000}معدل الفائدة الفعلي لكل فترة هوأنا=0.15{\displaystyle i=0.15}وهناكن=3{\displaystyle n=3}المدفوعات السنوية. عامل استحقاق الدفعة السنوية هو أ¨3¯|0.15=(1-(1+0.15)-30.15)(1+0.15)≈2.63{\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {3}}|0.15}=\left({\frac {1-(1+0.15)^{-3}}{0.15}}\right)(1+0.15)\approx 2.63} إذن، الدفعة الثابتة هي R=70,0002.63≈دولار26,659.47.{\displaystyle R={\frac {70{,}000}{2.63}}\approx \$26{,}659.47.}

مثال 2: القيمة الحالية للدفعة (الدفعة السنوية المستحقة)

يفترض250,700{\displaystyle 250{,}700}القيمة الحالية لدفعات دورية مستحقة الدفعات ربع سنوية لمدة 8 سنوات بمعدل فائدة سنوي اسمي قدرهج=0.05{\displaystyle j=0.05}يتم احتساب الفائدة المركبة ربع سنويًا. ثمأنا=ج/م=0.05/4=0.0125{\displaystyle i=j/m=0.05/4=0.0125}ون=8×4=32{\displaystyle n=8\times 4=32}عامل استحقاق الدفعة السنوية هو أ¨32¯|0.0125=(1-(1+0.0125)-320.0125)(1+0.0125)≈26.57{\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {32}}|0.0125}=\left({\frac {1-(1+0.0125)^{-32}}{0.0125}}\right)(1+0.0125)\approx 26.57} إذن، الدفعة الثابتة هي R=250,70026.57≈دولار9,435.71.{\displaystyle R={\frac {250{,}700}{26.57}}\approx \$9{,}435.71.}

بالنسبة للمعاش السنوي ذي القيمة المتراكمةS{\displaystyle S}في ذلك الوقتن{\displaystyle n}دفع ثابتR{\displaystyle R}ون{\displaystyle n}المدفوعات، عامل القيمة المتراكمة هو s¨ن¯|أنا=(1+أنا)(1+أنا)ن-1أنا{\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)\,{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}} لذا يمكن كتابة الدفعة الثابتة على النحو التالي

R=Ss¨ن¯|أنا=Sأنا(1+أنا)((1+أنا)ن-1).{\displaystyle R={\frac {S}{{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}}}={\frac {S\,i}{(1+i){\bigl (}(1+i)^{n}-1{\bigr )}}}.}[ 36 ] [ 1 ]

مثال 3: القيمة المتراكمة للدفع (المعاش السنوي المستحق)

لنفترض أن القيمة المتراكمة لدفعات سنوية مستحقة هيS=55000{\displaystyle S=55{,}000}، مع دفعات شهرية لمدة 3 سنوات بمعدل فائدة سنوي اسمي قدرهج=0.15{\displaystyle j=0.15}يتم احتساب الفائدة شهرياً. ثمأنا=ج/م=0.15/12=0.0125{\displaystyle i=j/m=0.15/12=0.0125}ون=3×12=36{\displaystyle n=3\times 12=36}. عامل القيمة المتراكمة للأقساط السنوية المستحقة هو s¨36¯|0.0125=(1+0.0125)(1+0.0125)36-10.0125≈45.68{\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {36}}|0.0125}=(1+0.0125)\,{\frac {(1+0.0125)^{36}-1}{0.0125}}\approx 45.68} ومستوى الدفع هو R=5500045.68≈دولار1204.04.{\displaystyle R={\frac {55{,}000}{45.68}}\approx \$1{,}204.04.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١ ١٢ ١٣ بروفيرمان، صموئيل أ. رياضيات الاستثمار والائتمان (الطبعة الخامسة ). منشورات أكتكس. رقم ISBN  978-1-56698-767-7.
  2. ↑ "المعاشات السنوية" . Investor.gov . هيئة الأوراق المالية والبورصات الأمريكية . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  3. 1 2 3 4 بويتراس، جيفري (2000). التاريخ المبكر للاقتصاد المالي، 1478-1776: من الحساب التجاري إلى المعاشات التقاعدية مدى الحياة والأسهم المشتركة . إدوارد إلجار. ISBN 9781840644555.
  4. 1 2 3 4 كوبف، إدوين و. (1927). "التاريخ المبكر للمعاشات التقاعدية" (ملف PDF) . وقائع جمعية الخبراء الاكتواريين في مجال التأمين على الحوادث . 13 : 225-266 .
  5. 1 2 وير، ديفيد ر. (مارس 1989). "التونتينات، والمالية العامة، والثورة في فرنسا وإنجلترا، 1688-1789". مجلة التاريخ الاقتصادي . 49 (1): 95-124 . doi : 10.1017/S002205070000735X .
  6. 1 2 3 4 تيرنبول، كريج (2016). تاريخ الفكر الاكتواري البريطاني . بالغراف ماكميلان. doi : 10.1007/978-3-319-33183-6 . ISBN 9783319331836.
  7. 1 2 3 4 بويتراس، جيفري (سبتمبر 2025). "المزيد حول أصل الاقتصاد المالي: المساهمات المبكرة في تقييم المعاشات التقاعدية المشتركة" . مجلة تاريخ الفكر الاقتصادي . 47 (3): 339-362 . doi : 10.1017/S1053837224000300 .
  8. 1 2 بيلهاوس، ديفيد ر. (2011). "نظرة جديدة على جدول حياة هالي" (ملف PDF) . مجلة الجمعية الإحصائية الملكية: السلسلة أ . 174 (3): 823-832 . doi : 10.1111/j.1467-985X.2010.00684.x .
  9. ↑ ميليفسكي، موشيه أ. (2015). تونتين الملك ويليام: لماذا ينبغي أن يشبه معاش التقاعد المستقبلي ماضيه . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9781107076129.
  10. 1 2 ميليفسكي، موشيه أ. (أغسطس 2023). "المعاش التقاعدي العكسي لآدم سميث: القيمة النقدية، وخيارات التخلف عن السداد، والتسجيل التلقائي" . مجلة التاريخ المالي . 30 (2): 162-197 . doi : 10.1017/S0968565023000070 .
  11. ↑ نيستيكو، سيرجيو (2019). أساسيات اقتصاديات المعاشات التقاعدية . بالغراف ماكميلان. doi : 10.1007/978-3-030-26496-3 . ISBN 9783030264956.
  12. 1 2 3 بوتيربا، جيمس م. (أبريل 1997). تاريخ المعاشات التقاعدية في الولايات المتحدة (تقرير). سلسلة أوراق عمل المكتب الوطني للبحوث الاقتصادية. doi : 10.3386/w6001 .
  13. ↑ جاتزرت، نادين؛ شميسر، هاتو (2013). "منتجات مالية جديدة للتأمين على الحياة". في ديون، جورج (محرر). دليل التأمين ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ص 1061-1095 . doi : 10.1007/978-1-4614-0155-1_36 .  
  14. ↑ بليك، ديفيد؛ كيرنز، أندرو جي جي؛ داود، كيفن؛ كيسلر، إيمي آر. (2019). "لا يزال الموت حاضرًا: سوق نقل مخاطر طول العمر بعد عقد من الزمن". المجلة البريطانية للعلوم الاكتوارية . 24. doi : 10.1017/S1357321718000314 .
  15. ↑ بينارتزي، شلومو؛ بريفيتيرو، أليساندرو؛ ثالر، ريتشارد هـ. (خريف 2011). "ألغاز تحويل المعاشات إلى معاشات سنوية". مجلة وجهات النظر الاقتصادية . 25 (4): 143-164 . doi : 10.1257/jep.25.4.143 .
  16. ↑ "المعاشات الأساسية" (ملف PDF) . جامعة كنت . تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أكتوبر 2025 .
  17. 1 2 "الدفعة السنوية المستحقة: التعريف، الحساب، الصيغة، والأمثلة" . إنفستوبيديا . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  18. 1 2 3 4 5 "أساسيات المعاشات السنوية" . رياضيات التمويل . كلية فانشاو . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  19. 1 2 "محاضرة MAS200 في الإحصاء الاكتواري، المحاضرة 5: القيم الحالية للدفعات السنوية المؤكدة" (ملف PDF) . جامعة كوين ماري بلندن . تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أكتوبر 2025 .
  20. ^ "معاش الحياة والمعاش المعين" . سلطة الأسواق المالية . تم الاسترجاع في 3 أكتوبر 2025 .
  21. ↑ "خيارات المعاشات التقاعدية" . إدارة التأمين في ولاية كارولاينا الشمالية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أكتوبر 2025 .
  22. ↑ "معاش تقاعدي مدى الحياة بفترة محددة" . Annuity.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أكتوبر 2025 .
  23. 1 2 "المعاشات السنوية" . الرابطة الوطنية لمفوضي التأمين . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  24. 1 2 "المعاشات السنوية" . هيئة تنظيم الصناعة المالية (FINRA ). تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  25. 1 2 3 4 "العقود المتغيرة: ما يجب أن تعرفه" (ملف PDF) . هيئة الأوراق المالية والبورصات الأمريكية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أكتوبر 2025 .
  26. ↑ "العقود المتغيرة" . هيئة تنظيم الصناعة المالية (FINRA ). تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أكتوبر 2025 .
  27. ↑ "نشرة محدثة للمستثمرين: عقود التأمين على الحياة المرتبطة بالمؤشرات" . هيئة الأوراق المالية والبورصات الأمريكية . تم الاطلاع عليها بتاريخ 3 أكتوبر 2025 .
  28. ↑ "المعاشات المرتبطة بمؤشرات الأسهم: خيار معقد" (ملف PDF) . هيئة تنظيم الصناعة المالية (FINRA ). تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أكتوبر 2025 .
  29. 1 2 "دليل المشتري للمعاشات المؤجلة الثابتة" (ملف PDF) . الرابطة الوطنية لمفوضي التأمين . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  30. 1 2 "ما هي المعاشات المؤجلة والفورية؟" . معهد معلومات التأمين . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  31. ↑ "ما هي المعاشات السنوية؟ الفورية مقابل المؤجلة" . تشارلز شواب . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  32. 1 2 "منتجات الأوراق المالية للمعاشات التقاعدية" . التقرير السنوي للرقابة التنظيمية لعام 2025 الصادر عن هيئة تنظيم الصناعة المالية (FINRA) . تم الاطلاع عليه في 2 يوليو 2026 .
  33. 1 2 "المادة 130 من قانون الولايات المتحدة رقم 26 - بعض التنازلات عن مسؤولية الإصابات الشخصية" . معهد المعلومات القانونية . كلية الحقوق بجامعة كورنيل . تم الاطلاع عليه في 2 يوليو 2026 .
  34. 1 2 قانون نموذج الهبات الخيرية السنوية (ملف PDF) (تقرير). القانون النموذجي. الرابطة الوطنية لمفوضي التأمين . تم الاطلاع عليه في 2 يوليو 2026 .
  35. 1 2 "نماذج وخيارات جديدة في أنظمة المعاشات التقاعدية ذات المزايا المحددة" . هيئة تنظيم المعاشات التقاعدية. 3 يونيو 2025. تم الاطلاع عليه في 2 يوليو 2026 .
  36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 كيليسون، ستيفن ج. (2008). نظرية الفائدة ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل/إروين. ISBN  9780073382449.
  37. 1 2 3 "القيمة الحالية للدفعات السنوية" . إنفستوبيديا . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  38. 1 2 باورز، نيوتن ل. (1997). الرياضيات الاكتوارية ( الطبعة الثانية). جمعية الاكتواريين. ISBN  978-0-938959-46-5.
  39. ↑ غوترز، بول. "المعاشات والتأمين على الحياة" (ملف PDF) . جامعة أوبورن . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .
  40. ↑ سلود، إريك ف. "الرياضيات الاكتوارية وإحصاءات جداول الحياة، الفصل 4: القيم الحالية المتوقعة للمدفوعات" (ملف PDF) . جامعة ميريلاند . تم الاطلاع عليه في 3 أكتوبر 2025 .

مصادر أخرى