معادلة التجميع

يترك${\displaystyle E}$ليكن فاصلًا حقيقيًا (محدودًا أو غير محدود) مفتوحًا من جانب واحد على الأقل، وليكن ${\displaystyle F\colon E^{2}\to E}$يجب أن تكون متصلة ومتزايدة تمامًا في كل متغير. تنص نظرية كلاسيكية (غالبًا ما تُنسب إلى أكزيل) على أن مثل هذه${\displaystyle F}$تكون الدالة تجميعية إذا وفقط إذا وُجدت دالة متصلة رتيبة تمامًا${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }$بحيث

${\displaystyle F(x,y)=f^{-1}{\bigl (}f(x)+f(y){\bigr )}\quad {\text{لكل }}x,y\in E.}$^{[ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]}

وبالتالي، باستثناء تغيير رتيب للمتغير، فإن كل حل مستمر متزايد تمامًا لمعادلة التجميع على فترة حقيقية يكون متماثلًا مع عملية الجمع العادية على فترة حقيقية (قد تكون مختلفة). اختيار${\displaystyle f}$فريدة من نوعها حتى الضرب بثابت غير صفري.

تتضمن الأمثلة البسيطة ما يلي:

• ${\displaystyle F(x,y)=x+y}$على أي فترة مستقرة تحت عملية الجمع (هنا)${\displaystyle f(x)=x}$)
• ${\displaystyle F(x,y)=xy}$على الأعداد الحقيقية الموجبة (هنا)${\displaystyle f(x)=\log x}$)، و
• وبشكل أعم، أي عملية يتم الحصول عليها من الجمع عن طريق الاقتران مع تماثل رتيب تمامًا للفترة.

تُسمى هذه المجموعات النصفية أحيانًا بمجموعات أتشيليان أو مجموعات قابلة للتمثيل الجمعي . ^{[ 6 ]}

يُعدّ تصنيف العمليات التجميعية المستمرة التي لا تتناقص فقط (بدلاً من أن تتزايد تمامًا) أكثر تعقيدًا. بالنسبة للدوال${\displaystyle M\colon [a,b]^{2}\to [a,b]}$إذا كانت الدوال متصلة وغير متناقصة وتجميعية، وتفي بشروط الحدود الطبيعية التي تعبر عن وجود عنصر محايد وعدم وجود عناصر متساوية القوة غير تافهة، فإنه يمكن الحصول على نظريات التمثيل بدلالة ما يسمى بالمولدات الجمعية . ^{[ 7 ] [ 6 ]}

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle M}$تكون متصلة، وغير متناقصة، وتجميعية على${\displaystyle [a,b]}$وذلك${\displaystyle b}$يعمل كهوية بينما${\displaystyle ]a,b[}$لا تحتوي على عناصر متطابقة. عندئذٍ توجد دالة متناقصة تمامًا ومستمرة${\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,+\infty ]}$مع${\displaystyle f(b)=0}$بحيث

${\displaystyle M(x,y)=f^{-1}\!{\bigl (}\min(f(x)+f(y),f(a)){\bigr )}}$

للجميع${\displaystyle x,y\in [a,b]}$(حتى التكافؤ الطبيعي في اختيار المولد). ^{[ 6 ]} اعتمادًا على ما إذا${\displaystyle f(a)}$سواء كانت محدودة أو غير محدودة، فإن هذا ينتج عنه عائلات معروفة من العمليات المتعلقة بمعيار t للمنتج ومعيار t لوكاسيفيتش ، بعد إعادة قياس مناسبة للفترة.

العبارات المزدوجة، حيث${\displaystyle a}$هوية و${\displaystyle b}$يلعب دور الصفر، ويصف عمليات التجميع الانفصالية التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمعايير t القياسية . ^{[ 6 ]}

وبشكل أعم، يمكن بناء العمليات التجميعية المستمرة غير المتناقصة على فترة مضغوطة كمجموعات ترتيبية لهذه الكتل الأساسية بالإضافة إلى عمليات الحد الأدنى والحد الأقصى عند كل نقطة. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

في المنطق الضبابي ونظرية دالة التجميع ، غالباً ما يتم دراسة العمليات الثنائية${\displaystyle M\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$التي تتسم بالترابطية والرتابة وتفي بشروط حدودية محددة، مثل

${\displaystyle M(0,x)=0,\quad M(1,x)=x,}$

أو نظائرها. العمليات الترابطية المستمرة من هذا النوع هي بالضبط المعايير t المستمرة والمعايير t المشتركة المستخدمة لنمذجة الاقتران والفصل المنطقي المعمم ، على التوالي. ^{[ 8 ] [ 6 ]}

تلعب معادلة التجميع، إلى جانب افتراضات الرتابة والاستمرارية، دورًا محوريًا في توصيف هذه الفئات من عوامل التجميع وفي دراسة مولداتها ومجاميعها الترتيبية. ^{[ 6 ] [ 9 ]}

في أسس الاحتمال البايزي ونظرية كوكس ، يُنظر في مقياس معقولية ذي قيمة حقيقية على القضايا، ويُبحث عن عملية ثنائية تجمع بين المعقوليات من الشكل التالي:${\displaystyle F(x,y)}$وهذا يُقابل الربط المنطقي. إن اشتراط أن تكون هذه العملية تجميعية (كما هو الحال في الربط)، ورتيبة، ومتوافقة مع القيود المنطقية الأساسية، يؤدي إلى معادلة التجميع لـ${\displaystyle F}$في ظل افتراضات انتظام مناسبة، يوجد إعادة تصنيف رتيب${\displaystyle w}$بحيث

${\displaystyle w(F(x,y))=w(x)\,w(y),}$

وبذلك، في المقياس المُعاد تصنيفه، تصبح العملية ضربًا عاديًا، ويتم استعادة قاعدة الضرب المعتادة في نظرية الاحتمالات. ^{[ 10 ] [ 1 ] [ 4 ]}

حينما${\displaystyle F\colon X\times X\to X}$يحقق معادلة التجميع، الزوج${\displaystyle (X,F)}$هي شبه زمرة . في المقابل، يمكن صياغة العديد من النتائج البنيوية المتعلقة بشبه الزمر الطوبولوجية أو المرتبة كنتائج معادلات وظيفية حول العمليات التجميعية التي تحقق قيود الاستمرارية أو الحفاظ على الترتيب أو غيرها من القيود. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

على سبيل المثال، يمكن تمثيل أنصاف المجموعات القابلة للإلغاء المستمرة على فترات حقيقية، حتى التشاكل، عن طريق الجمع على فترة من خلال تغيير رتيب للمتغير، كما هو الحال في الحالة المتزايدة تمامًا الموصوفة أعلاه.