المجال الذري

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحلقات ، يُعرف المجال الذري أو مجال التحليل بأنه مجال تكاملي يمكن فيه كتابة كل عنصر غير صفري وغير أحادي بطريقة واحدة على الأقل كحاصل ضرب منتهٍ لعناصر غير قابلة للاختزال . ويختلف المجال الذري عن مجال التحليل الفريد في أن تحليل العنصر إلى عناصر غير قابلة للاختزال ليس بالضرورة فريدًا؛ بمعنى آخر، ليس بالضرورة أن يكون العنصر غير القابل للاختزال عنصرًا أوليًا .

من الأمثلة المهمة على المجالات الذرية فئة جميع مجالات التحليل الفريدة وجميع المجالات النويثرية . وبشكل أعم، يُعد أي مجال تكاملي يحقق شرط السلسلة الصاعدة على المُثُل الرئيسية (ACCP) مجالًا ذريًا. على الرغم من ادعاء عكس ذلك في ورقة كوهن البحثية، ^{[ 1 ]} إلا أنه من المعروف أن هذا غير صحيح. ^{[ 2 ]}

يعود مصطلح "الذري" إلى بي إم كوهن ، الذي أطلق على العنصر غير القابل للاختزال في مجال متكامل اسم "الذرة".

في هذا القسم، يمكن اعتبار الحلقة مجرد مجموعة مجردة يمكن للمرء أن يقوم فيها بعمليات الجمع والضرب؛ على غرار الأعداد الصحيحة .

تُحقق حلقة الأعداد الصحيحة (أي مجموعة الأعداد الصحيحة التي تخضع لعمليتي الجمع والضرب) العديد من الخصائص المهمة. إحدى هذه الخصائص هي النظرية الأساسية للحساب . لذا، عند دراسة الحلقات المجردة، يتبادر إلى الذهن سؤالٌ طبيعي: ما هي الشروط التي تُحقق في ظلها هذه النظرية؟ بما أن مجال التحليل الوحيد هو حلقةٌ تتحقق فيها نظريةٌ مماثلةٌ للنظرية الأساسية للحساب، فإن الإجابة على هذا السؤال سهلة. مع ذلك، يُلاحظ أن للنظرية الأساسية للحساب جانبين: أولهما، أن أي عدد صحيح هو حاصل ضرب منتهٍ لأعداد أولية ، وثانيهما، أن هذا الناتج فريدٌ حتى إعادة الترتيب (والضرب في الآحاد ). لذلك، من الطبيعي أيضًا التساؤل عن الشروط التي تسمح بـ"تحليل" عناصر معينة من حلقةٍ ما دون اشتراط التفرد. يُجيب مفهوم المجال الذري على هذا التساؤل.

Let R be an integral domain. If every non-zero non-unitx of R can be written as a product of irreducible elements, R is referred to as an atomic domain. (The product is necessarily finite, since infinite products are not defined in ring theory. Such a product is allowed to involve the same irreducible element more than once as a factor.) Any such expression is called a factorization of x.

In an atomic domain, it is possible that different factorizations of the same element x have different lengths. It is even possible that among the factorizations of x there is no bound on the number of irreducible factors. If on the contrary the number of factors is bounded for every non-zero non-unit x, then R is a bounded factorization domain (BFD); formally this means that for each such x there exists an integer N such that if x = x₁x₂...x_n with none of the x_i invertible then n < N.

If such a bound exists, no chain of proper divisors from x to 1 can exceed this bound in length (since the quotient at every step can be factored, producing a factorization of x with at least one irreducible factor for each step of the chain), so there cannot be any infinite strictly ascending chain of principal ideals of R. That condition, called the ascending chain condition on principal ideals or ACCP, is strictly weaker than the BFD condition, and strictly stronger than the atomic condition (in other words, even if there exist infinite chains of proper divisors, it can still be that every x possesses a finite factorization^[3]).

Two independent conditions that are both strictly stronger than the BFD condition are the half-factorial domain condition (HFD: any two factorizations of any given x have the same length) and the finite factorization domain condition (FFD: any x has but a finite number of non-associate divisors). Every unique factorization domain obviously satisfies these two conditions, but neither implies unique factorization.