الاستقراء العكسي

لنفترض أن شخصًا ما يُقيّم فرص العمل المحتملة للعشر سنوات القادمة، والتي يُشار إليها بـ${\displaystyle t=1,2,3,...,10}$في كل${\displaystyle t}$قد يواجهون خيارًا بين وظيفتين: وظيفة "جيدة" براتب قدره${\displaystyle \$100}$أو وظيفة "سيئة" براتب قدره${\displaystyle \$44}$لكل نوع من أنواع الوظائف فرصة متساوية في الحصول على عرض عمل. عند قبول الوظيفة، سيستمر الفرد في شغلها طوال المدة المتبقية من فترة العشر سنوات.

يُبسّط هذا السيناريو بافتراض أن اهتمام الفرد ينصبّ بالكامل على إجمالي دخله النقدي المتوقع، دون أي تفضيلات متغيرة للدخل عبر فترات زمنية مختلفة. من الناحية الاقتصادية، يُعدّ هذا سيناريو ذو معدل فائدة ضمني يساوي صفرًا ومنفعة هامشية ثابتة للنقود.

يمكن تحديد ما إذا كان ينبغي على الشخص المعني قبول وظيفة "سيئة" من خلال التفكير العكسي من الزمن.${\displaystyle t=10}$.

• في${\displaystyle t=10}$إجمالي الأرباح الناتجة عن قبول وظيفة "جيدة" هو${\displaystyle \$100}$قيمة قبول وظيفة "سيئة" هي${\displaystyle \$44}$إجمالي الأرباح الناتجة عن رفض الوظيفة المتاحة هو${\displaystyle \$0}$لذلك، إذا كانوا لا يزالون عاطلين عن العمل في الفترة الأخيرة، فعليهم قبول أي وظيفة تُعرض عليهم في ذلك الوقت لتحقيق دخل أكبر.
• في${\displaystyle t=9}$إجمالي الأرباح الناتجة عن قبول وظيفة "جيدة" هو${\displaystyle 2\times \$100=\$200}$لأن تلك الوظيفة ستستمر لمدة عامين. إجمالي الأرباح من قبول وظيفة "سيئة" هو${\displaystyle 2\times \$44=\$88}$إجمالي الأرباح المتوقعة من رفض عرض عمل هو${\displaystyle \$0}$الآن بالإضافة إلى قيمة عرض العمل التالي، والذي سيكون إما${\displaystyle \$44}$باحتمالية 1/2 أو${\displaystyle \$100}$باحتمالية 1/2، لقيمة متوسطة (متوقعة) لـ${\displaystyle {\frac {\$100+\$44}{2}}=\$72}$لذلك، فإن الوظيفة المتاحة في${\displaystyle t=9}$ينبغي قبول ذلك.
• في${\displaystyle t=8}$إجمالي الأرباح الناتجة عن قبول وظيفة "جيدة" هو${\displaystyle 3\times \$100=\$300}$إجمالي الأرباح الناتجة عن قبول وظيفة "سيئة" هو${\displaystyle 3\times \$44=\$132}$إجمالي الأرباح المتوقعة من رفض عرض عمل هو${\displaystyle \$0}$الآن بالإضافة إلى إجمالي الأرباح المتوقعة من انتظار عرض عمل في${\displaystyle t=9}$كما سبق الاتفاق عليه، فإن أي عرض في${\displaystyle t=9}$ينبغي قبول ذلك، والقيمة المتوقعة من القيام بذلك هي${\displaystyle {\frac {\$200+\$88}{2}}=\$144}$لذلك، في${\displaystyle t=8}$تكون الأرباح الإجمالية المتوقعة أعلى إذا انتظر الشخص العرض التالي بدلاً من قبول وظيفة "سيئة".

من خلال الاستمرار في العمل بشكل عكسي، يمكن التحقق من أنه لا ينبغي قبول عرض "سيئ" إلا إذا كان الشخص لا يزال عاطلاً عن العمل في${\displaystyle t=9}$أو${\displaystyle t=10}$ينبغي رفض العرض السيئ في أي وقت حتى${\displaystyle t=8}$. بتعميم هذا المثال بشكل بديهي، فإنه يتوافق مع المبدأ القائل بأنه إذا كان المرء يتوقع العمل في وظيفة لفترة طويلة، فمن الجدير بالاختيار بعناية.

تُسمى مسألة التحسين الديناميكي من هذا النوع مسألة التوقف الأمثل، لأن المسألة المطروحة هي متى يجب التوقف عن انتظار عرض أفضل. ونظرية البحث هي فرع من فروع الاقتصاد الجزئي يُطبّق نماذج من هذا النوع على مسائل مثل التسوق والبحث عن وظائف والزواج.

يمكن توضيح تطبيق الاستقراء العكسي في نظرية الألعاب بمثال بسيط. لنفترض لعبة متعددة المراحل تتضمن لاعبين يخططان للذهاب إلى السينما.

• يريد اللاعب الأول مشاهدة فيلم The Terminator ، ويريد اللاعب الثاني مشاهدة فيلم Joker .
• ستشتري اللاعبة الأولى تذكرة أولاً وتخبر اللاعبة الثانية باختيارها.
• بعد ذلك، سيشتري اللاعب الثاني تذكرته.

بمجرد أن يطلع اللاعبان على الخيارات، تبدأ المرحلة الثانية. في هذه المرحلة، يختار اللاعبون ما إذا كانوا سيذهبون إلى السينما أم سيبقون في المنزل.

• كما هو الحال في المرحلة الأولى، يختار اللاعب الأول ما إذا كان سيذهب إلى الفيلم أولاً أم لا.
• بعد أن يراقب اللاعب الثاني اختيار اللاعب الأول، يقوم اللاعب الثاني باختياره.

في هذا المثال، تُجمع العوائد عبر المراحل المختلفة. اللعبة هي لعبة معلومات كاملة . مصفوفات الشكل الطبيعي لهذه الألعاب هي:

يمكن رؤية الشكل الموسع لهذه اللعبة متعددة المراحل على اليمين. فيما يلي خطوات حل هذه اللعبة باستخدام الاستقراء العكسي:

1. يبدأ التحليل من العقد النهائية.
2. سيشاهد اللاعب الثاني 8 ألعاب فرعية من العقد النهائية ليختار "الذهاب إلى السينما" أو "البقاء في المنزل".
   • سيقوم اللاعب الثاني بإجراء 8 مقارنات محتملة في المجموع، ويختار الخيار الذي يحقق أعلى عائد في كل منها.
   • على سبيل المثال، بالنظر إلى اللعبة الفرعية الأولى، فإن مكافأة اللاعب الثاني البالغة 11 مقابل "الذهاب إلى السينما" أعلى من مكافأته البالغة 7 مقابل "البقاء في المنزل". لذلك سيختار اللاعب الثاني "الذهاب إلى السينما".
   • تستمر هذه الطريقة في كل لعبة فرعية.
3. بمجرد تحديد القرارات المثلى للاعب 2 (الخطوط الخضراء الغامقة في مخطط الشكل الموسع)، يبدأ التحليل لقرارات اللاعب 1 في ألعابه الفرعية الأربعة.
   • تشبه هذه العملية الخطوة الثانية، حيث تتم مقارنة عوائد اللاعب الأول من أجل توقع خياراته.
   • لم تعد الألعاب الفرعية التي لم يختارها اللاعب 2 في الخطوة السابقة قيد النظر لأنها مستبعدة بافتراض اللعب العقلاني.
   • على سبيل المثال، في اللعبة الفرعية الأولى، يُقدّم خيار "الذهاب إلى السينما" مكافأة قدرها 9، لأن شجرة القرار تنتهي عند المكافأة (9، 11)، مع الأخذ في الاعتبار اختيار اللاعب الثاني المُسبق. في المقابل، يُقدّم خيار "البقاء في المنزل" مكافأة قدرها 1، لأنه ينتهي عند (1، 9)، لذا سيختار اللاعب الأول "الذهاب إلى السينما".
4. تتكرر العملية لكل لاعب حتى يتم الوصول إلى العقدة الأولية.
   • على سبيل المثال، سيختار اللاعب 2 "الجوكر" للعبة الفرعية الأولى في التكرار التالي لأن العائد البالغ 11 والذي ينتهي بـ (9، 11) أكبر من "المدمر" الذي يحقق عائدًا قدره 6 عند (6، 6).
   • سيختار اللاعب 1، عند العقدة الأولية، "Terminator" لأنه يقدم عائدًا أعلى قدره 11 عند (11، 9) مقارنة بـ Joker، الذي تبلغ مكافأته 9 عند (9، 11).
5. لتحديد توازن اللعبة الفرعية المثالي ، يحتاج المرء إلى تحديد مسار يختار لعبة فرعية مثالية في كل مجموعة معلومات.
   • في هذا المثال، يختار اللاعب 1 فيلم "Terminator" ويختار اللاعب 2 أيضًا فيلم "Terminator". ثم يختار كلاهما "الذهاب إلى السينما".
   • يؤدي التوازن الأمثل في اللعبة الفرعية إلى عائد قدره (11,9).

لا يمكن تطبيق الاستقراء العكسي إلا على فئات محدودة من الألعاب. هذه الطريقة محددة جيدًا لأي لعبة ذات معلومات كاملة بدون روابط منفعة. كما أنها محددة جيدًا وذات مغزى لألعاب المعلومات الكاملة مع وجود روابط. مع ذلك، في مثل هذه الحالات، تؤدي إلى أكثر من استراتيجية مثالية واحدة. يمكن تطبيق هذه الطريقة على بعض الألعاب ذات مجموعات المعلومات غير التافهة، لكنها غير قابلة للتطبيق بشكل عام. وهي الأنسب لحل الألعاب ذات المعلومات الكاملة. إذا لم يكن جميع اللاعبين على دراية بأفعال اللاعبين الآخرين وعوائدهم عند كل عقدة قرار، فلن يكون تطبيق الاستقراء العكسي سهلًا. ^{[ 10 ]}

يُبيّن مثالٌ ثانٍ أنه حتى في الألعاب التي تسمح نظريًا بالاستقراء العكسي، قد لا تتنبأ بدقةٍ بسير اللعب الفعلي في الواقع. يتألف هذا المثال من لعبة غير متناظرة بين لاعبين: يقترح اللاعب الأول تقسيم دولارٍ مع اللاعب الثاني، ثم يقبل اللاعب الثاني الاقتراح أو يرفضه. تُسمى هذه اللعبة بلعبة الإنذار النهائي . يبدأ اللاعب الأول بتقسيم الدولار بالطريقة التي يراها مناسبة. بعد ذلك، إما أن يقبل اللاعب الثاني حصته المعروضة من اللاعب الأول أو يرفض التقسيم. إذا قبل اللاعب الثاني التقسيم، يحصل كلٌ من اللاعب الأول واللاعب الثاني على العوائد التي تُطابق هذا التقسيم. أما إذا قرر اللاعب الثاني رفض عرض اللاعب الأول، فلن يحصل أيٌ منهما على شيء. بعبارةٍ أخرى، يمتلك اللاعب الثاني حق النقض على التوزيع المقترح من اللاعب الأول، ولكن تطبيق هذا الحق يُلغي أي مكافأةٍ لكلا اللاعبين. ^{[ 11 ]}

بالنظر إلى اختيار اللاعب الثاني ورد فعله تجاه أي اقتراح عشوائي من اللاعب الأول، فإن العقلانية الرسمية تقتضي أن يقبل اللاعب الثاني أي عائد أكبر من أو يساوي صفر دولار. وبناءً على ذلك، وبالاستقراء العكسي، ينبغي على اللاعب الأول أن يقترح إعطاء اللاعب الثاني أقل مبلغ ممكن ليحصل على أكبر حصة من التقسيم. إن إعطاء اللاعب الأول للاعب الثاني أصغر وحدة نقدية والاحتفاظ بالباقي لنفسه هو التوازن الأمثل الوحيد في اللعبة الفرعية. تحتوي لعبة الإنذار النهائي على عدة توازنات ناش أخرى ليست مثالية في اللعبة الفرعية، وبالتالي لا تنشأ عن طريق الاستقراء العكسي.

تُعدّ لعبة الإنذار النهائي مثالًا نظريًا على فائدة الاستقراء العكسي عند دراسة الألعاب اللانهائية، إلا أن النتائج المتوقعة نظريًا لهذه اللعبة لا تتطابق مع الملاحظات التجريبية. فقد أظهرت الأدلة التجريبية أن اللاعب الأول (المقترح) نادرًا ما يعرض صفرًا، وأن اللاعب الثاني (المستجيب) يرفض أحيانًا عروضًا تزيد عن صفر. ويختلف ما يعتبره اللاعب الثاني مقبولًا باختلاف السياق. وقد يعني الضغط أو وجود لاعبين آخرين، فضلًا عن التداعيات الخارجية، أن النموذج الرسمي للعبة لا يمكنه بالضرورة التنبؤ بما سيختاره الشخص الحقيقي. ووفقًا لكولين كاميرر ، الخبير الاقتصادي السلوكي الأمريكي، فإن اللاعب الثاني "يرفض عروضًا تقل عن 20% من قيمة X في نصف الحالات تقريبًا، حتى وإن لم يحصل في النهاية على شيء". ^{[ 12 ]}

في حين أن الاستقراء العكسي الذي يفترض العقلانية الرسمية من شأنه أن يتنبأ بأن المستجيب سيقبل أي عرض أكبر من الصفر، فإن المستجيبين في الواقع ليسوا لاعبين عقلانيين رسميًا، وبالتالي يبدو أنهم يهتمون أكثر بـ "عدالة" العرض أو ربما بتوقعات أخرى للآثار غير المباشرة أو الخارجية بدلاً من المكاسب النقدية المحتملة الفورية.

سننظر في لعبة ديناميكية يكون فيها اللاعبان شركة قائمة في قطاع معين وشركة أخرى محتملة لدخول هذا القطاع. في الوضع الراهن، تحتكر الشركة القائمة السوق ولا ترغب في خسارة أي جزء من حصتها السوقية لصالح الشركة الجديدة. إذا اختارت الشركة الجديدة عدم الدخول، فسيكون العائد للشركة القائمة مرتفعًا (إذ ستحافظ على احتكارها)، ولن تربح الشركة الجديدة ولن تخسر (عائدها صفر). أما إذا دخلت الشركة الجديدة، فيمكن للشركة القائمة إما "مواجهة" الشركة الجديدة أو "التكيف" معها. ستواجه الشركة الجديدة بخفض أسعارها، مما سيؤدي إلى إخراج الشركة الجديدة من السوق (وتحمل تكاليف الخروج - أي عائد سلبي) والإضرار بأرباحها. أما إذا تكيفت مع الشركة الجديدة، فستخسر جزءًا من مبيعاتها، ولكنها ستحافظ على سعر مرتفع وستحقق أرباحًا أكبر مما لو خفضت أسعارها (لكنها ستكون أقل من أرباح الاحتكار).

إذا استجابت الشركة القائمة في حالة دخول الشركة الجديدة، فإن أفضل رد فعل للشركة الجديدة هو الدخول (وتحقيق الربح). وبالتالي، فإن استراتيجية دخول الشركة الجديدة واستجابتها في حالة دخولها تمثل توازن ناش متوافقًا مع الاستقراء العكسي. مع ذلك، إذا كانت الشركة القائمة ستُقاوم، فإن أفضل رد فعل للشركة الجديدة هو عدم الدخول، وإذا لم تدخل، فلا يهم ما تختاره الشركة القائمة في حالة دخول الشركة الجديدة. وبالتالي، فإن استراتيجية مقاومة الشركة القائمة في حالة دخول الشركة الجديدة، وعدم دخول الشركة الجديدة، تمثل أيضًا توازن ناش. مع ذلك، إذا انحرفت الشركة الجديدة ودخلت، فإن أفضل رد فعل للشركة القائمة هو الاستجابة - لأن التهديد بالمقاومة غير وارد. لذلك، يمكن استبعاد توازن ناش الثاني هذا بالاستقراء العكسي.

يُعدّ إيجاد توازن ناش في كل عملية اتخاذ قرار (لعبة فرعية) بمثابة توازن مثالي في اللعبة الفرعية. وبالتالي، فإنّ هذه الاستراتيجيات التي تُصوّر توازنات مثالية في اللعبة الفرعية تستبعد إمكانية اتخاذ إجراءات مثل التهديدات غير المنطقية التي تُستخدم "لردع" الداخلين الجدد. فإذا هدد اللاعب المهيمن ببدء حرب أسعار مع الداخل الجديد، فإنه يُهدد بخفض أسعاره من سعر الاحتكار إلى سعر أقل بقليل من سعر الداخل الجديد، وهو أمر غير عملي وغير منطقي إذا كان الداخل الجديد يعلم أن حرب الأسعار لن تحدث بالفعل لأنها ستؤدي إلى خسائر لكلا الطرفين. وعلى عكس التحسين الأمثل للاعب واحد، والذي قد يتضمن توازنات دون المستوى الأمثل أو غير قابلة للتحقيق، فإنّ التوازن المثالي في اللعبة الفرعية يأخذ في الحسبان تصرفات اللاعب الآخر، مما يضمن عدم وصول أي لاعب إلى لعبة فرعية عن طريق الخطأ. في هذه الحالة، يضمن الاستقراء العكسي الذي يؤدي إلى توازنات مثالية في الألعاب الفرعية أن الداخل الجديد لن يقتنع بتهديد اللاعب الحالي مع علمه بأنه لم يكن أفضل رد فعل في ملف تعريف الاستراتيجية. ^{[ 13 ]}