التوقف الأمثل

ترتبط مشاكل قواعد التوقف بعنصرين:

1. سلسلة من المتغيرات العشوائية${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$، والتي يُفترض أن يكون توزيعها المشترك معروفًا
2. سلسلة من وظائف "المكافأة"${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1}}$والتي تعتمد على القيم المرصودة للمتغيرات العشوائية في 1:

   ${\displaystyle y_{i}=y_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i})}$

بالنظر إلى هذه الأشياء، فإن المشكلة هي كما يلي:

• أنت تراقب تسلسل المتغيرات العشوائية، وفي كل خطوة${\displaystyle i}$يمكنك اختيار إما التوقف عن المراقبة أو الاستمرار
• إذا توقفت عن المراقبة عند الخطوة${\displaystyle i}$ستحصل على مكافأة${\displaystyle y_{i}}$
• تريد اختيار قاعدة توقف لتحقيق أقصى عائد متوقع (أو ما يعادله، تقليل الخسارة المتوقعة).

لنفترض عملية تضخيم${\displaystyle G=(G_{t})_{t\geq 0}}$معرفة على فضاء احتمالي مُصفّى${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )}$وافترض أن${\displaystyle G}$يتم تكييفها مع عملية الترشيح. وتتمثل مشكلة التوقف الأمثل في إيجاد وقت التوقف.${\displaystyle \tau ^{*}}$مما يزيد من الربح المتوقع

${\displaystyle V_{t}^{T}=\mathbb {E} G_{\tau ^{*}}=\sup _{t\leq \tau \leq T}\mathbb {E} G_{\tau }}$

أين${\displaystyle V_{t}^{T}}$تُسمى هذه الدالة دالة القيمة . هنا${\displaystyle T}$يمكن أن تأخذ قيمة${\displaystyle \infty }$.

ويمكن صياغة ذلك بشكل أكثر تحديدًا كما يلي. نحن نعتبر عملية ماركوف قوية معدلة.${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$معرفة على فضاء احتمالي مُصفّى${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} _{x})}$أين${\displaystyle \mathbb {P} _{x}}$يشير إلى مقياس الاحتمالية الذي تبدأ عنده العملية العشوائية${\displaystyle x}$بالنظر إلى الدوال المتصلة${\displaystyle M,L}$، و${\displaystyle K}$، مشكلة التوقف الأمثل هي

${\displaystyle V(x)=\sup _{0\leq \tau \leq T}\mathbb {E} _{x}\left(M(X_{\tau })+\int _{0}^{\tau }L(X_{t})dt+\sup _{0\leq t\leq \tau }K(X_{t})\right).}$

يُطلق على هذا أحيانًا اسم صيغة MLS (والتي ترمز إلى ماير، ولاغرانج، والأعلى، على التوالي). ^{[ 4 ]}

(مثال حيث${\displaystyle \mathbb {E} (y_{i})}$(يتقارب)

لديك عملة معدنية متوازنة وتقوم برميها بشكل متكرر. في كل مرة، قبل رميها، يمكنك اختيار التوقف عن رميها والحصول على مبلغ (بالدولار، على سبيل المثال) يعادل متوسط ​​عدد مرات ظهور الصورة.

ترغب في زيادة المبلغ الذي تحصل عليه إلى أقصى حد من خلال اختيار قاعدة توقف. إذا كانت Xᵢ ₍ حيث i ≥ 1) تُشكّل سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع وفقًا لتوزيع برنولي

${\displaystyle {\text{Bern}}\left({\frac {1}{2}}\right),}$

وإذا

${\displaystyle y_{i}={\frac {1}{i}}\sum _{k=1}^{i}X_{k}}$

ثم التسلسلات${\displaystyle (X_{i})_{i\geq 1}}$، و${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1}}$هي الأشياء المرتبطة بهذه المشكلة.

(مثال حيث${\displaystyle \mathbb {E} (y_{i})}$(لا يتقارب بالضرورة)

لديك منزل وترغب في بيعه. كل يوم يُعرض عليك منزل للبيع.${\displaystyle X_{n}}$لمنزلك، وادفع${\displaystyle k}$للاستمرار في الإعلان عنه. إذا بعت منزلك في يوم${\displaystyle n}$سوف تربح${\displaystyle y_{n}}$، أين${\displaystyle y_{n}=(X_{n}-nk)}$.

ترغب في زيادة المبلغ الذي تربحه إلى أقصى حد من خلال اختيار قاعدة توقف.

في هذا المثال، التسلسل (${\displaystyle X_{i}}$يمثل تسلسل العروض لمنزلك، ويمثل تسلسل وظائف المكافآت مقدار ما ستربحه. ^{[ 6 ]}

(مثال حيث${\displaystyle (X_{i})}$(متتالية منتهية)

أنت تراقب سلسلة من الأشياء التي يمكن ترتيبها من الأفضل إلى الأسوأ. وترغب في اختيار قاعدة توقف تزيد من فرصتك في اختيار أفضل شيء.

هنا، إذا${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n}}$( حيث n عدد كبير) هي رتب العناصر، و${\displaystyle y_{i}}$هل احتمال اختيارك لأفضل عنصر هو إذا توقفت عن رفض العناصر عمدًا في الخطوة i؟${\displaystyle (R_{i})}$و${\displaystyle (y_{i})}$هذه هي المتتاليات المرتبطة بهذه المسألة. وقد تم حل هذه المسألة في أوائل الستينيات من القرن الماضي على يد عدة أشخاص. ويُقدم خوارزمية الاحتمالات الحديثة للتوقف الأمثل (خوارزمية بروس) حلاً أنيقاً لمسألة السكرتيرة، بالإضافة إلى العديد من التعديلات عليها .

درس الاقتصاديون عدداً من مسائل التوقف الأمثل المشابهة لـ"مسألة السكرتيرة"، ويُطلقون عادةً على هذا النوع من التحليل اسم "نظرية البحث". وقد ركزت نظرية البحث بشكل خاص على بحث العامل عن وظيفة ذات أجر مرتفع، أو بحث المستهلك عن سلعة منخفضة السعر.

من الأمثلة الخاصة على تطبيق نظرية البحث مهمة اختيار موقف السيارة الأمثل لسائق متوجه إلى دار الأوبرا (أو المسرح، أو مركز التسوق، إلخ). عند اقترابه من وجهته، يسير السائق في الشارع الذي تتوافر فيه مواقف السيارات - عادةً ما تكون بعض الأماكن فقط في موقف السيارات شاغرة. وبما أن الوجهة واضحة للعيان، يسهل تقدير المسافة إليها. وتتمثل مهمة السائق في اختيار موقف سيارة شاغر أقرب ما يمكن إلى الوجهة دون الحاجة إلى الالتفاف، بحيث تكون المسافة من هذا الموقف إلى الوجهة أقصر ما يمكن. ^{[ 7 ]}

في تداول الخيارات في الأسواق المالية ، يُسمح لحامل الخيار الأمريكي بممارسة حقه في شراء (أو بيع) الأصل الأساسي بسعر محدد مسبقًا في أي وقت قبل تاريخ انتهاء الصلاحية أو عنده. ولذلك، فإن تقييم الخيارات الأمريكية هو في جوهره مسألة توقف أمثل. لنفترض نموذج بلاك-شولز الكلاسيكي ولنفرض${\displaystyle r}$ليكن معدل الفائدة الخالي من المخاطر و${\displaystyle \delta }$و${\displaystyle \sigma }$ليكن معدل توزيع الأرباح وتقلبات سعر السهم.${\displaystyle S}$يتبع الحركة البراونية الهندسية

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left\{\left(r-\delta -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma B_{t}\right\}}$

في إطار المقياس المحايد للمخاطر .

عندما يكون الخيار دائمًا، فإن مشكلة التوقف الأمثل هي

${\displaystyle V(x)=\sup _{\tau }\mathbb {E} _{x}\left[e^{-r\tau }g(S_{\tau })\right]}$

حيث تكون دالة العائد${\displaystyle g(x)=(x-K)^{+}}$للحصول على خيار الاتصال و${\displaystyle g(x)=(K-x)^{+}}$بالنسبة لخيار البيع. المتباينة التباينية هي

${\displaystyle \max \left\{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}V''(x)+(r-\delta )xV'(x)-rV(x),g(x)-V(x)\right\}=0}$

للجميع${\displaystyle x\in (0,\infty )\setminus \{b\}}$ أين${\displaystyle b}$يمثل هذا حدود التمرين. الحل معروف بأنه ^{[ 8 ]}

• (نداء دائم)${\displaystyle V(x)={\begin{cases}(b-K)(x/b)^{\gamma }&x\in (0,b)\\x-K&x\in [b,\infty )\end{cases}}}$أين${\displaystyle \gamma =({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}-\nu )/\sigma }$و${\displaystyle \nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad b=\gamma K/(\gamma -1).}$
• (خيار البيع الدائم)${\displaystyle V(x)={\begin{cases}K-x&x\in (0,c]\\(K-c)(x/c)^{\tilde {\gamma }}&x\in (c,\infty )\end{cases}}}$أين${\displaystyle {\tilde {\gamma }}=-({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}+\nu )/\sigma }$و${\displaystyle \nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad c={\tilde {\gamma }}K/({\tilde {\gamma }}-1).}$

من جهة أخرى، عندما يكون تاريخ انتهاء الصلاحية محدودًا، ترتبط المشكلة بمسألة ثنائية الأبعاد ذات حدود حرة، ولا يوجد لها حل مغلق معروف. مع ذلك، يمكن استخدام طرق عددية متنوعة. انظر نموذج بلاك-شولز#الخيارات الأمريكية للاطلاع على طرق التقييم المختلفة هنا، بالإضافة إلى فوجيت لحساب الوقت الأمثل لممارسة الخيار بطريقة منفصلة تعتمد على الشجرة .