مشكلة ستيفان

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات وتطبيقاتها، وخاصةً في دراسة التحولات الطورية للمادة، تُعدّ مسألة ستيفان نوعًا خاصًا من مسائل القيم الحدية لنظام من المعادلات التفاضلية الجزئية ، حيث يمكن أن يتحرك الحد الفاصل بين الأطوار مع الزمن. تهدف مسألة ستيفان الكلاسيكية إلى وصف تطور الحد الفاصل بين طورين لمادة تخضع لتغير طوري ، مثل انصهار مادة صلبة، كالجليد إلى ماء . ويتحقق ذلك بحل معادلات الحرارة في كلا المنطقتين، مع مراعاة الشروط الحدية والابتدائية المعطاة. عند السطح الفاصل بين الطورين (في المسألة الكلاسيكية)، تُضبط درجة الحرارة على درجة حرارة التحول الطوري. ولإغلاق النظام الرياضي، يلزم معادلة إضافية، وهي شرط ستيفان . هذا الشرط عبارة عن معادلة توازن طاقة تُحدد موضع السطح الفاصل المتحرك. تجدر الإشارة إلى أن هذا الحد المتطور هو سطح (فائق) غير معروف ؛ لذا، تُعدّ مسائل ستيفان أمثلة على مسائل الحدود الحرة .

تظهر مشاكل مماثلة، على سبيل المثال، في دراسة تدفق الوسائط المسامية، والتمويل الرياضي، ونمو البلورات من محاليل المونومر. [ 1 ]

ملاحظة تاريخية

سُميت هذه المسألة نسبةً إلى جوزيف ستيفان (Jožef Stefan)، الفيزيائي السلوفيني الذي طرح فئة عامة من هذه المسائل حوالي عام 1890 في سلسلة من أربع أوراق بحثية تناولت تجمد الأرض وتكوّن الجليد البحري . [ 2 ] مع ذلك، قبل ذلك بنحو 60 عامًا، وتحديدًا في عام 1831، درس لاميه وكلابيرون مسألةً مماثلةً تتعلق بتكوّن قشرة الأرض . تقبل مسألة ستيفان حلًا تشابهيًا ، يُعرف غالبًا بحل نيومان ، والذي يُزعم أنه عُرض في سلسلة من المحاضرات في أوائل ستينيات القرن التاسع عشر.

يمكن الاطلاع على وصف شامل لتاريخ مشاكل ستيفان في كتاب روبنشتاين. [ 3 ]

مقدمات الوصف الرياضي

من وجهة نظر رياضية، تُعدّ الأطوار مجرد مناطق تكون فيها حلول المعادلة التفاضلية الجزئية الأساسية متصلة وقابلة للتفاضل حتى رتبة المعادلة التفاضلية الجزئية. في المسائل الفيزيائية، تمثل هذه الحلول خصائص الوسط لكل طور. أما الحدود المتحركة (أو الأسطح البينية ) فهي أسطح رقيقة للغاية تفصل بين الأطوار المتجاورة؛ ولذلك، قد تعاني حلول المعادلة التفاضلية الجزئية الأساسية ومشتقاتها من انقطاعات عبر هذه الأسطح البينية.

لا تُعتبر المعادلات التفاضلية الجزئية الأساسية صالحة عند أسطح تغير الطور؛ لذا، يلزم شرط إضافي - شرط ستيفان - لتحقيق الإغلاق . يُعبّر شرط ستيفان عن السرعة الموضعية لحدود متحركة، كدالة للكميات المحسوبة على جانبي حد الطور، ويُشتق عادةً من قيد فيزيائي. في مسائل انتقال الحرارة مع تغير الطور، على سبيل المثال، يقتضي قانون حفظ الطاقة أن يُؤخذ في الحسبان عدم استمرارية تدفق الحرارة عند الحد من خلال معدل إطلاق الحرارة الكامنة (الذي يتناسب مع السرعة الموضعية للسطح الفاصل).

تمت دراسة انتظام المعادلة بشكل رئيسي بواسطة لويس كافاريلي [ 4 ] [ 5 ] وتم تحسينها بشكل أكبر من خلال عمل أليسيو فيغالي ، خافيير روس-أوتون وجواكيم سيرا [ 6 ] [ 7 ].

الصياغة الرياضية

مسألة ستيفان أحادية البعد أحادية الطور

تعتمد مسألة ستيفان أحادية الطور على افتراض إمكانية إهمال أحد أطوار المادة. ويتحقق ذلك عادةً بافتراض أن الطور عند درجة حرارة التحول الطوري، وبالتالي فإن أي تغير عن هذه الدرجة يؤدي إلى تحول طوري. يُعد هذا تقريبًا مناسبًا رياضيًا، يُبسط التحليل مع توضيح الأفكار الأساسية الكامنة وراء العملية. ومن التبسيطات الشائعة الأخرى العمل بصيغة لا بُعدية ، بحيث يمكن ضبط درجة الحرارة عند السطح البيني على الصفر، وقيم المجال البعيد على .+1{\displaystyle +1}أو-1{\displaystyle -1}.

لنفترض وجود كتلة جليدية أحادية البعد شبه لانهائية عند درجة حرارة الانصهار في البدايةu=0{\displaystyle u=0}لx∈[0؛+∞){\displaystyle x\in [0;+\infty )}تتضمن أكثر أشكال مسألة ستيفان شهرةً الانصهار عبر فرض درجة حرارة ثابتة عند الحد الأيسر، مما يترك منطقة[0؛s(ت)]{\displaystyle [0;s(t)]}يشغله الماء. عمق الذوبان، المشار إليه بـs(ت){\displaystyle s(t)}، هي دالة غير معروفة للزمن. تُعرَّف مسألة ستيفان كما يلي:

  • معادلة الحرارة:∂u∂ت=∂2u∂x2،∀(x،ت)∈[0؛s(ت)]×[0؛+∞]{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad \forall (x,t)\in [0;s(t)]\times [0;+\infty ]}
  • درجة حرارة ثابتة، أعلى من درجة حرارة الانصهار، على الحد الأيسر:u(0،ت)=1،∀ت>0{\displaystyle u(0,t)=1,\quad \forall t>0}
  • يتم ضبط الواجهة عند درجة حرارة الانصهار علىu(s(ت)،ت)=0{\displaystyle u\left(s(t),t\right)=0}
  • شرط ستيفان:βددتs(ت)=-∂∂xu(s(ت)،ت){\displaystyle \beta {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}s(t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}u\left(s(t),t\right)}أينβ{\displaystyle \beta }هو عدد ستيفان، وهو نسبة الحرارة الكامنة إلى الحرارة المحسوسة النوعية (حيث تشير كلمة "نوعية" إلى أنها مقسومة على الكتلة). تجدر الإشارة إلى أن هذا التعريف يتبع بشكل طبيعي من عملية التحويل إلى صيغة لا بُعدية، ويُستخدم في العديد من المراجع [ 8 ] [ 9 ]، ومع ذلك، يمكن تعريفه أيضًا على أنه معكوس هذا العدد .
  • توزيع درجة الحرارة الأولية:u(x،0)=0،∀x≥0{\displaystyle u(x,0)=0,\;\forall x\geq 0}
  • العمق الأولي لكتلة الجليد الذائبة:s(0)=0{\displaystyle s(0)=0}
يشير حل نيومان، الذي تم الحصول عليه باستخدام متغيرات ذاتية التشابه، إلى أن موضع الحد يُعطى بواسطةs(ت)=2λαت{\textstyle s(t)=2\lambda {\sqrt {\alpha t}}}أينα{\displaystyle \alpha }هي معامل الانتشار، وλ{\displaystyle \lambda }يحقق المعادلة المتساميةβλ=1πهـ-λ2قطعة أرض(λ).{\displaystyle \beta \lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda ^{2}}}{{\text{erf}}(\lambda )}}.}تُعطى درجة الحرارة في السائل بالعلاقة التاليةتي=1-قطعة أرض(x2ت)قطعة أرض(λ).{\displaystyle T=1-{\frac {{\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {t}}}}\right)}{{\text{erf}}(\lambda )}}.}

التطبيقات

إلى جانب نمذجة انصهار المواد الصلبة، تُستخدم مسألة ستيفان أيضًا كنموذج للسلوك التقاربي (مع الزمن) لمسائل أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، يستخدم بيغو [ 10 ] متسلسلات تقاربية متطابقة لإثبات أن حلول كان-هيلارد لمسائل فصل الأطوار تتصرف كحلول لمسألة ستيفان غير الخطية على نطاق زمني متوسط. بالإضافة إلى ذلك، فإن حل معادلة كان-هيلارد لمزيج ثنائي قابل للمقارنة بشكل معقول مع حل مسألة ستيفان. [ 11 ] في هذه المقارنة، تم حل مسألة ستيفان باستخدام طريقة تتبع الجبهة والشبكة المتحركة مع شروط حدودية متجانسة من نوع نيومان عند الحد الخارجي. كما يمكن تطبيق مسائل ستيفان لوصف تحولات الطور الأخرى غير تحولات الطور بين المواد الصلبة والسوائل أو بين السوائل. [ 12 ]

تم تصور تطبيق مشكلة ستيفان على تبلور المعادن في الترسيب الكهروكيميائي لمساحيق المعادن بواسطة كالوسارو [ 13 ].

تتمتع مسألة ستيفان أيضًا بنظرية عكسية غنية؛ في مثل هذه المسائل، يكون عمق الانصهار (أو المنحنى أو السطح الفائق ) s هو البيانات المعروفة، والمسألة هي إيجاد u أو f . [ 14 ]

أشكال متقدمة من مسألة ستيفان

تتناول مسألة ستيفان الكلاسيكية المواد الثابتة ذات الخصائص الحرارية الفيزيائية الثابتة (عادةً بغض النظر عن الطور)، ودرجة حرارة ثابتة لتغير الطور، وفي المثال المذكور أعلاه، انتقال فوري من درجة الحرارة الابتدائية إلى قيمة محددة عند الحد الفاصل. عمليًا، قد تتغير الخصائص الحرارية، وتحديدًا عند تغير الطور. يؤدي التغير المفاجئ في الكثافة عند تغير الطور إلى حركة المائع: لا تدخل الطاقة الحركية الناتجة في معادلة توازن الطاقة القياسية. مع تغير فوري في درجة الحرارة، تكون سرعة المائع الابتدائية لانهائية، مما ينتج عنه طاقة حركية ابتدائية لانهائية. في الواقع، غالبًا ما تكون طبقة السائل في حالة حركة، مما يستلزم وجود حدود الحمل أو الانتقال الحراري في معادلة الحرارة . قد تتغير درجة حرارة الانصهار بتغير حجم أو انحناء أو سرعة السطح البيني. من المستحيل تغيير درجات الحرارة بشكل فوري، ومن ثم يصعب الحفاظ على درجة حرارة حدية ثابتة بدقة. علاوة على ذلك، على المستوى النانوي، قد لا تتبع درجة الحرارة قانون فورييه.

تمت معالجة عدد من هذه القضايا في السنوات الأخيرة لمجموعة متنوعة من التطبيقات الفيزيائية. في تصلب المصهورات فائقة التبريد، يمكن الاطلاع على تحليل يعتمد فيه تغير درجة حرارة الطور على سرعة السطح البيني في دراسة فونت وآخرون [ 15 ] . كما تم نمذجة التصلب على المستوى النانوي، مع تغير درجة حرارة الطور وتأثيرات الطاقة/الكثافة، في [ 16 ] [ 17 ] . ودُرِسَ التصلب مع التدفق في قناة، في سياق الحمم البركانية [ 18 ] والقنوات الدقيقة [ 19 ] ، أو مع سطح حر في سياق تجمد الماء فوق طبقة جليدية [ 20 ] [ 21 ] . وتم تحليل نموذج عام يتضمن خصائص مختلفة في كل طور، وتغير درجة حرارة الطور، ومعادلات حرارية تستند إما إلى قانون فورييه أو معادلة غاير-كرومهانزل في [ 22 ] .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ المعادلات التفاضلية الجزئية التطبيقية . أوكندون، جيه آر (  طبعة منقحة). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. 2003. ISBN 0-19-852770-5. OCLC 52486357 . {{cite book}}صيانة CS1: أخرى ( رابط )
  2. ↑ ( Vuik 1993 ، ص 157) . 
  3. ↑ روبنشتاين، لي (2016). مسألة ستيفان . [مكان النشر غير محدد]: الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-1-4704-2850-1. OCLC 973324855 . 
  4. ↑ كافاريلي، لويس أ. (1977). "انتظام الحدود الحرة في الأبعاد العليا" . مجلة أكتا ماتيماتيكا . 139 (بدون فاصل): 155-184 . doi : 10.1007/BF02392236 . ISSN 0001-5962 . S2CID 123660704 .  
  5. ↑ كافاريلي، لويس أ. (1978). "بعض جوانب مسألة ستيفان أحادية الطور" . مجلة الرياضيات بجامعة إنديانا . 27 (1): 73-77 . doi : 10.1512/iumj.1978.27.27006 . ISSN 0022-2518 . JSTOR 24891579 .  
  6. ↑ فيغالي، أليسيو ؛ روس-أوتون، خافيير ؛ سيرا، جواكيم (2024). "المجموعة الشاذة في مسألة ستيفان". مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 37 (2): 305-389 . arXiv : 2103.13379 . doi : 10.1090/jams/1026 . MR 4695505 . 
  7. ↑ رورفيج، موردخاي (2021-10-06). "علماء الرياضيات يثبتون أن ذوبان الجليد يبقى سلسًا" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2021-10-08 .
  8. ↑ ديفيس، ستيفن هـ.، 1939-. نظرية التصلب . كامبريدج. ISBN 978-0-511-01924-1. OCLC 232161077 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  9. ↑ فاولر، أ. س. (أندرو كادل)، 1953- (1997). النماذج الرياضية في العلوم التطبيقية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-46140-5. OCLC 36621805 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: أسماء رقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  10. ↑ آر إل بيغو. (1989). هجرة الجبهة في معادلة كان-هيلارد غير الخطية. وقائع الجمعية الملكية بلندن، السلسلة أ ، 422 : 261-278 .
  11. ↑ فيرمولين، إف جيه؛ غاراسو، إم جي؛ زيتا، بي إل جيه؛ برونينغ، جيه. (2009). "حلول عددية لبعض مسائل الواجهة المنتشرة: معادلة كان-هيلارد ونموذج توماس وويندل". المجلة الدولية للهندسة الحاسوبية متعددة المقاييس . 7 (6): 523-543 . doi : 10.1615/IntJMultCompEng.v7.i6.40 .
  12. ↑ ألفارينغا، إتش دي، فان دي بوتر، تي، فان ستينبيرج، إن، سيتسما، جيه، تيرين، إتش (أبريل 2009). "تأثير مورفولوجيا الكربيد وبنيته المجهرية على حركية إزالة الكربون السطحية من فولاذ الكربون والمنغنيز". مجلة المعاملات المعدنية والمواد أ . 46 (1): 123-133 . Bibcode : 2015MMTA...46..123A . doi : 10.1007/s11661-014-2600-y . S2CID 136871961 . 
  13. ↑ أ. كالوشارو، الترسيب الكهروكيميائي لمساحيق المعادن ، إلسيفير، أمستردام، 1978.
  14. ↑ ( Kirsch 1996 ) .
  15. ↑ فونت، ف.؛ ميتشل، س. ل.؛ مايرز، ت. ج. (2013-07-01). "التصلب أحادي البعد للمصاهير فائقة التبريد" . المجلة الدولية لانتقال الحرارة والكتلة . 62 : 411-421 . Bibcode : 2013IJHMT..62..411F . doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.02.070 . hdl : 2072/205484 . ISSN 0017-9310 . 
  16. ↑ مايرز، تي جي (2016-08-01). "النمذجة الرياضية لتغير الطور على المستوى النانوي" . الاتصالات الدولية في نقل الحرارة والكتلة . 76 : 59-62 . Bibcode : 2016ICHMT..76...59M . doi : 10.1016/j.icheatmasstransfer.2016.05.005 . hdl : 2117/102399 . ISSN 0735-1933 . 
  17. ↑ فونت، ف.؛ مايرز، ت. ج.؛ ميتشل، س. ل. (فبراير 2015). "نموذج رياضي لانصهار الجسيمات النانوية مع تغير الكثافة". الموائع الدقيقة والنانوية . 18 (2): 233-243 . doi : 10.1007/s10404-014-1423-x . ISSN 1613-4982 . S2CID 54087370 .  
  18. ↑ ليستر، جيه آر (1994). "تصلب التدفق الناتج عن الطفو في قناة ذات جدران مرنة. الجزء 1. إطلاق حجم ثابت" . مجلة ميكانيكا الموائع . 272 : 21-44 . Bibcode : 1994JFM...272...21L . doi : 10.1017/S0022112094004362 . S2CID 124068245 . 
  19. ↑ مايرز، تي جي؛ لو، جيه. (أكتوبر 2011). "نموذج رياضي تقريبي لتصلب سائل متدفق في قناة دقيقة" . علم الموائع الدقيقة والنانوية . 11 (4): 417-428 . doi : 10.1007/s10404-011-0807-4 . hdl : 2072/169268 . ISSN 1613-4982 . S2CID 97060677 .  
  20. ↑ مايرز، تي جي؛ شاربان، جيه بي إف؛ تشابمان، إس جيه (أغسطس 2002). "تدفق وتصلب طبقة رقيقة من سائل على سطح ثلاثي الأبعاد عشوائي". فيزياء السوائل . 14 (8): 2788-2803 . Bibcode : 2002PhFl...14.2788M . doi : 10.1063/1.1488599 . hdl : 2117/102903 . ISSN 1070-6631 . 
  21. ↑ مايرز، تي جي؛ شاربان، جيه بي إف (ديسمبر 2004). "نموذج رياضي لتراكم الجليد الجوي وتدفق الماء على سطح بارد". المجلة الدولية لانتقال الحرارة والكتلة . 47 (25): 5483-5500 . Bibcode : 2004IJHMT..47.5483M . doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2004.06.037 .
  22. ↑ مايرز، تي جي؛ هينيسي، إم جي؛ كالفوسشوارزفالدر، إم. (2020-03-01). "مسألة ستيفان مع خصائص فيزيائية حرارية متغيرة ودرجة حرارة تغير الطور" . المجلة الدولية لانتقال الحرارة والكتلة . 149 118975. arXiv : 1904.05698 . Bibcode : 2020IJHMT.14918975M . doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2019.118975 . hdl : 2072/445741 . ISSN 0017-9310 . S2CID 115147121 .  

مراجع

المراجع التاريخية

المراجع العلمية والعامة