عدم المساواة التباينية

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 48 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف المتباينة التغيرية بأنها متباينة تتضمن دالة ، ويجب حلها لجميع القيم الممكنة لمتغير معين ، ينتمي عادةً إلى مجموعة محدبة . طُوّرت النظرية الرياضية للمتباينات التغيرية في البداية لمعالجة مسائل التوازن ، وتحديدًا مسألة سينيوريني : في هذه المسألة النموذجية، تُستنتج الدالة المعنية كأول تغير في طاقة الوضع المعنية . لذا، فهي ذات أصل تغيري ، وهو ما يُشير إليه اسم المسألة المجردة العامة. ومنذ ذلك الحين ، توسع نطاق تطبيق هذه النظرية ليشمل مسائل من الاقتصاد والتمويل والتحسين ونظرية الألعاب .

تاريخ

كانت مسألة سينيوريني أول مسألة تتضمن متباينة تباينية ، وقد طرحها أنطونيو سينيوريني عام 1959 وحلها غايتانو فيشيرا عام 1963، وفقًا للمراجع ( أنتمان 1983 ، الصفحات 282-284) و ( فيشيرا 1995 ) . وكانت أولى الأبحاث في هذا المجال ( فيشيرا 1963 ) و ( فيشيرا 1964أ ) و ( فيشيرا 1964ب ) . وفي وقت لاحق، برهن غيدو ستامباتشيا على تعميمه لنظرية لاكس-ميلغرام في ( ستامباتشيا 1964 ) لدراسة مسألة الانتظام للمعادلات التفاضلية الجزئية ، وأطلق مصطلح "المتباينة التباينية" على جميع المسائل التي تتضمن متباينات من هذا النوع. شجع جورج دوفو طلابه الخريجين على دراسة أعمال فيكيرا والتوسع فيها، بعد حضوره مؤتمرًا في بريكسن عام 1965 حيث قدم فيكيرا دراسته لمسألة سينيوريني، كما ذكر أنتمان (1983 ، ص 283) : وهكذا أصبحت النظرية معروفة على نطاق واسع في جميع أنحاء فرنسا . وفي عام 1965 أيضًا، وسّع ستامباتشيا وجاك لويس ليونز نتائج سابقة ( ستامباتشيا 1964 ) ، وأعلناها في ورقة بحثية ( ليونز وستامباتشيا 1965 ) : ونُشرت البراهين الكاملة لنتائجهما لاحقًا في ورقة بحثية أخرى ( ليونز وستامباتشيا 1967 ) .  

تعريف

وباتباع أنتمان (1983 ، ص 283) ، فإن تعريف المتباينة التباينية هو التعريف التالي. 

التعريف 1. بالنظر إلى فضاء باناخهـ{\displaystyle {\boldsymbol {E}}}، مجموعة فرعيةك{\displaystyle {\boldsymbol {K}}}لهـ{\displaystyle {\boldsymbol {E}}}ووظيفيF:ك→هـ*{\displaystyle F\colon {\boldsymbol {K}}\to {\boldsymbol {E}}^{\ast }}منك{\displaystyle {\boldsymbol {K}}}إلى الفضاء المزدوجهـ*{\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\ast }}من الفضاءهـ{\displaystyle {\boldsymbol {E}}}تُعرف مسألة المتباينة التغيرية بأنها مسألة إيجاد قيمة المتغيرx{\displaystyle x}ينتمي إلىك{\displaystyle {\boldsymbol {K}}}المتباينة التالية :

⟨F(x)،y-x⟩≥0∀y∈ك{\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in {\boldsymbol {K}}}

أين⟨⋅،⋅⟩:هـ*×هـ→R{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\boldsymbol {E}}^{\ast }\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R} } هو اقتران الازدواجية .

بشكل عام، يمكن صياغة مسألة المتباينة التغيرية على أي فضاء باناخ محدود الأبعاد أو غير محدود الأبعاد . وتتمثل الخطوات الثلاث الواضحة في دراسة هذه المسألة فيما يلي:

  1. إثبات وجود حل: هذه الخطوة تعني صحة المسألة من الناحية الرياضية ، مما يدل على وجود حل واحد على الأقل.
  2. إثبات تفرد الحل المعطى: هذه الخطوة تعني صحة المسألة من الناحية الفيزيائية ، مما يدل على إمكانية استخدام الحل لتمثيل ظاهرة فيزيائية. وهي خطوة بالغة الأهمية، إذ أن معظم المسائل التي تُنمذج باستخدام متباينات التغير ذات أصل فيزيائي.
  3. أوجد الحل أو أثبت انتظاميته.

أمثلة

مشكلة إيجاد القيمة الدنيا لدالة حقيقية ذات متغير حقيقي

هذه مسألة نموذجية نموذجية، وردت في تقرير أنتمان (1983 ، ص 283) : لنفترض مسألة إيجاد القيمة الدنيا لدالة قابلة للتفاضل و{\displaystyle f}على مدى فترة مغلقةأنا=[أ،ب]{\displaystyle I=[a,b]}. يتركx*{\displaystyle x^{\ast }}كن نقطة فيأنا{\displaystyle I}حيث يحدث الحد الأدنى. يمكن أن تحدث ثلاث حالات:

  1. لوأ<x*<ب،{\displaystyle a<x^{\ast }<b,}ثمو′(x*)=0;{\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })=0;}
  2. لوx*=أ،{\displaystyle x^{\ast }=a,}ثمو′(x*)≥0;{\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\geq 0;}
  3. لوx*=ب،{\displaystyle x^{\ast }=b,}ثمو′(x*)≤0.{\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\leq 0.}

يمكن تلخيص هذه الشروط الضرورية في مشكلة إيجاد x*∈أنا{\displaystyle x^{\ast }\in I}بحيث

و′(x*)(y-x*)≥0{\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })(y-x^{\ast })\geq 0\quad }ل∀y∈أنا.{\displaystyle \quad \forall y\in I.}

يجب البحث عن الحد الأدنى المطلق بين حلول (إذا كان هناك أكثر من حل واحد) للمتباينة السابقة : لاحظ أن الحل هو عدد حقيقي ، وبالتالي فإن هذه متباينة تباينية ذات أبعاد محدودة .

المتباينة التباينية العامة ذات الأبعاد المحدودة

صياغة المشكلة العامة فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} وهو ما يلي: بالنظر إلى مجموعة جزئيةك{\displaystyle K}ل Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ورسم الخرائطF:ك→R{\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} }، مسألة التباين التبايني ذات الأبعاد المحدودة المرتبطة بـك{\displaystyle K} يتضمن إيجادن{\displaystyle n}متجه ذو أبعادx{\displaystyle x}ينتمي إلى ك{\displaystyle K}بحيث

⟨∇F(x)،y-x⟩≥0∀y∈ك{\displaystyle \langle \nabla F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in K}

أين⟨⋅،⋅⟩:Rن×Rن→R{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }هو الضرب الداخلي القياسي على الفضاء المتجهيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

المتباينة التباينية لمسألة سيغنوريني

مسألة سينيوريني الكلاسيكية : ما هو شكل التوازن للجسم المرن ذي الشكل الكروي البرتقالي المستقر على السطح الأزرق الصلب عديم الاحتكاك ؟

في الدراسة التاريخية ( فيشيرا 1995 ) ، يصف غايتانو فيشيرا نشأة حله لمسألة سينيوريني : تتمثل المسألة في إيجاد تكوين التوازن المرنu(x)=(u1(x)،u2(x)،u3(x)){\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)} لجسم مرن غير متجانس وغير متناحٍ يقع في مجموعة جزئيةأ{\displaystyle A}من الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد الذي حدوده هي∂أ{\displaystyle \partial A}، مستقرًا على سطح صلب عديم الاحتكاك وخاضعًا فقط لقوى كتلته . الحلu{\displaystyle u}توجد حلول للمشكلة وتكون فريدة (في ظل افتراضات دقيقة) ضمن مجموعة الإزاحات المسموح بها.يوΣ{\displaystyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }} أي مجموعة متجهات الإزاحة التي تحقق نظام الشروط الحدية الغامضة إذا وفقط إذا

ب(u،v-u)-F(v-u)≥0∀v∈يوΣ{\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})-F({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}

أينب(u،v){\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})} وF(v){\displaystyle F({\boldsymbol {v}})}الدوال التالية مكتوبة باستخدام ترميز أينشتاين

ب(u،v)=-∫أσأناك(u)εأناك(v)دx{\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\,\mathrm {d} x}،   F(v)=∫أvأناوأنادx+∫∂أ∖Σvأنازأنادσ{\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\,\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\,\mathrm {d} \sigma }،   u،v∈يوΣ{\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}

أين، للجميعx∈أ{\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in A}،

  • Σ{\displaystyle \Sigma }هو سطح التلامس (أو بشكل أعم مجموعة التلامس )،
  • و(x)=(و1(x)،و2(x)،و3(x)){\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}هي القوة المؤثرة على الجسم،
  • ز(x)=(ز1(x)،ز2(x)،ز3(x)){\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}هي قوة السطح المطبقة على∂أ∖Σ{\displaystyle \partial A\!\setminus \!\Sigma }،
  • ε=ε(u)=(εأناك(u))=(12(∂uأنا∂xك+∂uك∂xأنا)){\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}هو موتر الإجهاد المتناهي الصغر ،
  • σ=(σأناك){\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(\sigma _{ik}\right)}هو موتر إجهاد كوشي ، المعرّف على النحو التالي:
σأناك=-∂دبليو∂εأناك∀أنا،ك=1،2،3{\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad \forall i,k=1,2,3}
أيندبليو(ε)=أأناكجح(x)εأناكεجح{\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}} هي طاقة الوضع المرنة وأ(x)=(أأناكجح(x)){\displaystyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\right)}هو موتر المرونة .

انظر أيضاً

مراجع

المراجع التاريخية

الأعمال العلمية