مشكلة سينيوريني

لو${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})}$أي متجه مماس لمجموعة التلامس${\displaystyle \Sigma }$إذاً، يتم التعبير عن شرط الحدود الغامض في كل نقطة من هذه المجموعة بواسطة نظامي المتباينات التاليين.

(3)     ${\displaystyle \quad {\begin{cases}u_{i}n_{i}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&\geq 0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$     أو (4)          ${\displaystyle {\begin{cases}u_{i}n_{i}&>0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$

دعونا نحلل معناها:

• تتكون كل مجموعة من الشروط من ثلاث علاقات أو معادلات أو متباينات ، وجميع الأعضاء الثانية هي الدالة الصفرية .
• تتناسب الكميات في الطرف الأول من كل علاقة أولى مع معيار مركبة متجه الإزاحة الموجهة على طول المتجه العمودي .${\displaystyle n}$.
• تتناسب الكميات في الطرف الأول من كل علاقة ثانية مع معيار مركبة متجه الشد الموجهة على طول المتجه العمودي.${\displaystyle n}$،
• تتناسب الكميات في الطرف الأول من كل علاقة ثالثة مع معيار مركبة متجه الشد على طول أي متجه.${\displaystyle \tau }$مماس في النقطة المعطاة لمجموعة التماس${\displaystyle \Sigma }$.
• تكون الكميات في الطرف الأول من كل علاقة من العلاقات الثلاث موجبة إذا كان لها نفس اتجاه المتجه الذي تتناسب معه، بينما تكون سالبة إذا لم يكن الأمر كذلك، وبالتالي فإن ثوابت التناسب هي على التوالي${\displaystyle \scriptstyle +1}$و ${\displaystyle \scriptstyle -1}$.

بمعرفة هذه الحقائق، تنطبق مجموعة الشروط (3) على نقاط حدود الجسم التي لا تغادر مجموعة التماس .${\displaystyle \Sigma }$في حالة التوازن ، لأنه وفقًا للعلاقة الأولى ، يكون متجه الإزاحة${\displaystyle u}$ليس له مكونات موجهة كمتجه عمودي${\displaystyle n}$بينما، وفقًا للعلاقة الثانية، قد يكون لمتجه الشد مركبة موجهة كمتجه عمودي${\displaystyle n}$وبنفس المعنى . وبالمثل، تنطبق مجموعة الشروط (4) على نقاط حدود الجسم التي تترك تلك المجموعة في وضع التوازن، لأن متجه الإزاحة${\displaystyle u}$له مركبة موجهة كمتجه عمودي${\displaystyle n}$بينما لا يحتوي متجه الشد على أي مركبات موجهة مثل المتجه العمودي${\displaystyle n}$بالنسبة لكلا مجموعتي الشروط، لا يحتوي متجه الشد على مركبة مماسية لمجموعة التلامس ، وفقًا للفرضية القائلة بأن الجسم يستقر على سطح صلب عديم الاحتكاك .

يعبّر كل نظام عن قيد أحادي الجانب ، بمعنى أنه يعبّر عن الاستحالة الفيزيائية لاختراق الجسم المرن للسطح الذي يستقر عليه: لا يكمن الغموض فقط في القيم المجهولة التي يجب أن تحققها الكميات غير الصفرية على مجموعة التماس ، بل أيضًا في حقيقة أنه ليس من المعروف مسبقًا ما إذا كانت نقطة تنتمي إلى تلك المجموعة تحقق نظام الشروط الحدية (3) أو (4) . تُسمى مجموعة النقاط التي يتحقق عندها الشرط (3) منطقة دعم الجسم المرن على السطح.${\displaystyle \Sigma }$، بينما مكملها فيما يتعلق بـ${\displaystyle \Sigma }$وتسمى منطقة الفصل .

الصيغة المذكورة أعلاه عامة لأن موتر إجهاد كوشي، أي المعادلة التكوينية للجسم المرن، لم يُذكر صراحةً: وهي صالحة بنفس القدر سواءً افترضنا فرضية المرونة الخطية أو فرضية المرونة غير الخطية . مع ذلك، وكما سيتضح من التطورات اللاحقة، فإن المسألة غير خطية بطبيعتها ، وبالتالي فإن افتراض موتر إجهاد خطي لا يُبسط المسألة .

الشكل الذي اتخذه سيجنوريني وفيشيرا لطاقة الوضع المرنة هو الشكل التالي (كما هو الحال في التطورات السابقة، تم اعتماد تدوين أينشتاين ) .

${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$

أين

• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\right)}$هو موتر المرونة
• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$هو موتر الإجهاد المتناهي الصغر

وبالتالي، فإن موتر إجهاد كوشي له الشكل التالي

(5)     ${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad {\text{for }}i,k=1,2,3}$

وهو خطي بالنسبة لمكونات موتر الإجهاد المتناهي الصغر؛ ومع ذلك، فهو ليس متجانسًا ولا متناحي الخواص .

تتمثل الخطوة الأولى في تحليل فيكيرا، وكذلك الخطوة الأولى في تحليل أنطونيو سينيوريني في سينيوريني 1959، في تحليل طاقة الوضع ، أي الدالة التالية

(6)      ${\displaystyle I({\boldsymbol {u}})=\int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma }$

أين${\displaystyle u}$ينتمي إلى مجموعة الإزاحات المسموح بها${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$أي مجموعة متجهات الإزاحة التي تحقق نظام الشروط الحدية (3) أو (4) . معنى كل مصطلح من المصطلحات الثلاثة هو كما يلي

• الأول هو إجمالي طاقة الوضع المرنة للجسم المرن
• أما الثاني فهو إجمالي طاقة الوضع الناتجة عن قوى الجسم ، على سبيل المثال قوة الجاذبية
• أما الثالث فهو طاقة الوضع الناتجة عن قوى السطح ، على سبيل المثال القوى التي يمارسها الضغط الجوي

استطاع سينيوريني (1959 ، الصفحات 129-133) أن يثبت أن الإزاحة المسموح بها ${\displaystyle u}$والتي تقلل التكامل${\displaystyle I(u)}$يمثل حلاً للمسألة ذات الشروط الحدية الغامضة (1) و (2) و (3) و (4) و (5) ، بشرط أن يكون${\displaystyle C^{1}}$الوظيفة المدعومة على الإغلاق${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$من المجموعة${\displaystyle A}$مع ذلك، قدّم غايتانو فيشيرا مجموعة من الأمثلة المضادة في ( فيشيرا 1964ب ، ص 619-620) موضحًا أن الإزاحات المسموح بها، بشكل عام، ليست دوالًا سلسة من هذه الفئة. لذلك، يحاول فيشيرا تقليل الدالة (6) في فضاء دوال أوسع : وللقيام بذلك، يحسب أولًا التغير الأول (أو المشتقة الوظيفية ) للدالة المعطاة في جوار الإزاحة المسموح بها التي تسعى إلى تقليلها. ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$ثم يشترط أن تكون قيمته أكبر من أو تساوي الصفر

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I({\boldsymbol {u}}+t{\boldsymbol {v}})\right\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

تحديد الدوال التالية

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

و

${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

يمكن كتابة المتباينة السابقة على النحو التالي:

(7)      ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

هذه المتباينة هي المتباينة التباينية لمسألة سيجنوريني .

• أنتمان، ستيوارت (1983)، "تأثير المرونة في التحليل: التطورات الحديثة" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 9 (3): 267-291 ، doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 ، MR 0714990 ، Zbl 0533.73001  .
• Duvaut، Georges (1971)، “Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus” (PDF) ، أعمال المؤتمر الدولي للرياضيات، 1970 ، ICM Proceedings ، المجلد.  الرياضيات التطبيقية (E)، Histoire et Enseignement (F) – المجلد 3، باريس : غوتييه فيلار ، الصفحات من 71 إلى 78 . دراسة بحثية موجزة تصف مجال المتباينات التباينية.
• Fichera، Gaetano (1972)، “مشاكل القيمة الحدودية للمرونة مع القيود الأحادية الجانب”، في Flügge، Siegfried ؛ Truesdell، Clifford A. (eds.)، Festkörpermechanik / ميكانيكا المواد الصلبة ، Handbuch der Physik (موسوعة الفيزياء)، المجلد.  VIa/2 (غلاف ورقي 1984  ed.)، برلين – هايدلبرغ – نيويورك: Springer-Verlag ، الصفحات من 391 إلى 424، ISBN  0-387-13161-2، Zbl 0277.73001 . المدخل الموسوعي حول المشاكل ذات القيود أحادية الجانب (فئة مشاكل القيمة الحدية التي تنتمي إليها مشكلة Signorini) كتبه لـ Handbuch der Physik بدعوة من Clifford Truesdell .
• Fichera، Gaetano (1995)، “La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni”، Incontro Scientifico italo-spagnolo. روما، 21 أكتوبر 1993 ، Atti dei Convegni Lincei (باللغة الإيطالية)، المجلد.  114، روما : Accademia Nazionale dei Lincei ، الصفحات من 47 إلى 53. . إن ولادة نظرية المتباينات التباينية التي تم تذكرها بعد ثلاثين عامًا (الترجمة الإنجليزية لعنوان المساهمة) هي ورقة تاريخية تصف بداية نظرية المتباينات التباينية من وجهة نظر مؤسسها.
• فيشيرا، غايتانو (2002)، Opere storiche biografiche، الإفشاء [ الأعمال التاريخية والسيرة الذاتية والإفشاءية ] (باللغة الإيطالية)، نابولي : جيانيني، ص.  491مجلد يضم جميع أعمال غايتانو فيشيرا تقريبًا في مجالات تاريخ الرياضيات ونشر العلوم.
• Fichera, Gaetano (2004)، Opere scelte [ أعمال مختارة ] ، فلورنسا : Edizioni Cremonese (وزعت بواسطة Unione Matematica Italiana )، الصفحات  XXIX+432 (المجلد 1)، الصفحات VI+570 (المجلد 2)، الصفحات VI+583 (المجلد 3)، المؤرشفة من الأصلي في 2009-12-28، ISBN 88-7083-811-0(المجلد 1)، رقم ISBN 88-7083-812-9(المجلد 2)، رقم ISBN 88-7083-813-7(المجلد 3). ثلاثة مجلدات تجمع أهم الأوراق الرياضية لغايتانو فيشيرا، مع نبذة عن حياة أولغا أ. أولينيك .
• أنطونيو سينيوريني (1991)، Opere scelte [ أعمال مختارة ] ، فلورنسا : Edizioni Cremonese (وزعت بواسطة Unione Matematica Italiana )، ص  XXXI + 695، أرشفة من النسخة الأصلية في 2009-12-28مجلد يضم أهم أعمال أنطونيو سينيوريني مع مقدمة وتعليق من جوزيبي غريولي .

• أندرسون، جون (2016)، "الانتظام الأمثل لمسألة سينيوريني وحدودها الحرة"، Inventiones Mathematicae ، 1 (1): 1-82 ، arXiv : 1310.2511 ، Bibcode : 2016InMat.204....1A ، doi : 10.1007/s00222-015-0608-6 ، MR 3480553 ، S2CID 118934322 ، Zbl 1339.35345   .
• فيشيرا، جايتانو (1963)، “Sulمشكلة مرنة في Signorini con ambigue condizioni al contorno” [ حول مشكلة مرونة Signorini مع شروط حدود غامضة ] ، Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei، Classe di Scienze Fisiche، Matematiche e Naturali ، 8 (باللغة الإيطالية)، 34 (2): 138– 142, م.ر 0176661 , زبل 0128.18305  . مذكرة بحثية قصيرة تعلن وتصف (بدون براهين) حل مشكلة Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964a), “Problemi elastostatici con vincoli unitrali: ilإشكالية di Signorini con ambigue condizioni al contorno” [ مشاكل المرونة مع القيود الأحادية: مشكلة Signorini مع شروط الحدود الغامضة ] , Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e ناتورالي ، 8 (باللغة الإيطالية)، 7 (2): 91-140 ، زبل 0146.21204 . أول ورقة بحثية يتم فيها إثبات نظرية الوجود والوحدانية لمسألة Signorini.
• Fichera، Gaetano (1964b)، “مشاكل المرونة مع القيود الأحادية: مشكلة Signorini مع الشروط الحدودية الغامضة”، Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 ، روما : Edizioni Cremonese، الصفحات من 613 إلى 679 ترجمة إنجليزية للورقة البحثية السابقة.
• بيتروسيان، أرشاك؛ شاهغوليان، هنريك؛ أورالتسيفا، نينا (2012)، انتظام الحدود الحرة في مسائل من نوع العوائق ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد  136، بروفيدنس، رود آيلاند : الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات  x+221، ISBN 978-0-8218-8794-3، MR 2962060 ، Zbl 1254.35001  .
• أنطونيو سينيوريني (1959)، “Questioni di elasticità Non Linearizzata e Semilinearizzata” [ موضوعات في المرونة غير الخطية وشبه الخطية ] ، Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni ، 5 (باللغة الإيطالية)، 18 : 95– 139، Zbl 0091.38006 .