النظام الديناميكي المتوقع

تُعدّ الأنظمة الديناميكية المُسقطة نظرية رياضية تبحث في سلوك الأنظمة الديناميكية التي تقتصر حلولها على مجموعة من القيود. ويرتبط هذا التخصص بتطبيقات في كلٍّ من عالم مسائل التحسين والتوازن الساكن ، وعالم المعادلات التفاضلية العادية الديناميكي . ويُعرَّف النظام الديناميكي المُسقط بتدفق المعادلة التفاضلية المُسقطة .

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t)))}$

حيث K هي مجموعة القيود لدينا. وتتميز المعادلات التفاضلية من هذا الشكل بوجود حقل متجه غير متصل.

نشأت الأنظمة الديناميكية المسقطة من الرغبة في نمذجة سلوك الحلول غير الساكنة في مسائل التوازن ديناميكيًا، وذلك عبر متغير ما، يُختار عادةً ليكون الزمن. يختلف هذا النوع من الديناميكية عن المعادلات التفاضلية العادية في أن الحلول لا تزال مقيدة بمجموعة القيود التي تُطبق عليها مسألة التوازن الأساسية، مثل عدم سلبية الاستثمارات في النمذجة المالية ، ومجموعات الأوجه المحدبة في بحوث العمليات ، وما إلى ذلك. ومن أهم فئات مسائل التوازن التي ساهمت في ظهور الأنظمة الديناميكية المسقطة، فئة المتباينات التغيرية .

بدأ وضع الصيغة الرسمية للأنظمة الديناميكية المتوقعة في تسعينيات القرن الماضي في القسم 5.3 من ورقة دوبوي وإيشي. ومع ذلك، يمكن العثور على مفاهيم مماثلة في الأدبيات الرياضية التي سبقت ذلك، لا سيما فيما يتعلق بالمتراجحات التباينية والتضمينات التفاضلية.

يجب أن يبقى أي حل لمعادلتنا التفاضلية المسقطة ضمن مجموعة القيود K في جميع الأوقات. تتحقق هذه النتيجة المرجوة باستخدام عوامل الإسقاط ونوعين مهمين من المخاريط المحدبة . هنا ، نعتبر K مجموعة فرعية مغلقة ومحدبة من فضاء هيلبرت X.

يُعطى المخروط العمودي على المجموعة K عند النقطة x في K بالعلاقة التالية:

${\displaystyle N_{K}(x)=\{p\in V|\langle p,xx^{*}\rangle \geq 0,\forall x^{*}\in K\}.}$

يُعطى المخروط المماس (أو المخروط المشروط ) للمجموعة K عند النقطة x بالصيغة التالية:

${\displaystyle T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {1}{h}}(Kx)}}.}$

يُعطى عامل الإسقاط (أو تعيين أقرب عنصر ) لنقطة x في X إلى K بواسطة النقطة${\displaystyle P_{K}(x)}$في K بحيث

$\displaystyle \|x-P_{K}(x)\|\leq \|xy\|}$

لكل قيمة y في K.

يُعطى عامل الإسقاط المتجهي للمتجه v في X عند النقطة x في K بالصيغة التالية:

${\displaystyle \Pi _{K}(x,v)=\lim _{\delta \to 0^{+}}{\frac {P_{K}(x+\delta v)-x}{\delta }}.}$

وهو ببساطة مشتق جاتو المحسوب في اتجاه حقل المتجهات

بفرض وجود مجموعة جزئية مغلقة ومحدبة K من فضاء هيلبرت X وحقل متجهي -F يأخذ عناصر من K إلى X ، فإن المعادلة التفاضلية المسقطة المرتبطة بـ K و -F تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t))).}$

داخل K ، تتصرف الحلول كما لو كان النظام معادلة تفاضلية عادية غير مقيدة. مع ذلك، ولأن حقل المتجهات غير متصل على طول حدود المجموعة، فإن المعادلات التفاضلية المسقطة تنتمي إلى فئة المعادلات التفاضلية العادية غير المتصلة. في حين أن هذا يجعل الكثير من نظرية المعادلات التفاضلية العادية غير قابلة للتطبيق، فمن المعروف أنه عندما يكون F حقل متجهات متصلًا وفقًا لشرط ليبشيتز ، يوجد حل وحيد متصل تمامًا يمر بكل نقطة ابتدائية x(0) = x₀ _في K على الفترة [0, 0, 0].${\displaystyle [0,\infty )}$.

يمكن وصف هذه المعادلة التفاضلية بشكل بديل بواسطة

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=P_{T_{K}(x(t))}(-F(x(t)))}$

أو

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=-F(x(t))-P_{N_{K}(x(t))}(-F(x(t))).}$

ينشأ اصطلاح الإشارة السالبة إلى حقل المتجهات -F من ارتباط خاص بين الأنظمة الديناميكية المسقطة والمتراجحات التغيرية. ويُشار في الأدبيات العلمية إلى حقل المتجهات بأنه موجب في المتراجحة التغيرية، وسالب في النظام الديناميكي المسقط المقابل.

• متباينة التباين التفاضلي
• نظرية الأنظمة الديناميكية
• معادلة تفاضلية عادية
• عدم المساواة التباينية
• الإدراج التفاضلي
• نظرية التكامل

• هنري، سي، "المعادلات التفاضلية ذات الجانب الأيمن غير المتصل لإجراءات التخطيط"، مجلة النظرية الاقتصادية ، 4:545-551، 1972.
• هنري سي، "نظرية وجود لفئة من المعادلات التفاضلية ذات الجانب الأيمن متعدد القيم"، مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات ، 41:179-186، 1973.
• أوبين، جي بي وسيلينا، أ.، التضمينات التفاضلية ، سبرينغر-فيرلاغ، برلين (1984).
• Dupuis, P. and Ishii, H., On Lipschitz continuity of the solution mapping to the Skorokhod Problem, with applications , Stochastics and Stochastics Reports, 35, 31-62 (1991).
• Nagurney, A. and Zhang, D., Projected Dynamical Systems and Variational Inequalities with Applications , Kluwer Academic Publishers (1996).
• Cojocaru, M., and Jonker L., Existence of solutions to projected differential equations on Hilbert spaces , Proc. Amer. Math. Soc., 132(1), 183-193 (2004).
• Brogliato, B., and Daniilidis, A., and Lemaréchal, C. , and Acary, V., “On the equivalence between complementarity systems, projected systems and differential includeds”, Systems and Control Letters , vol.55, pp.45-51 (2006)