تكامل حساسية بودي

يُعدّ تكامل حساسية بود ، الذي اكتشفه هندريك ويد بود ، صيغةً تُحدّد كمياً بعض القيود في التحكم بالتغذية الراجعة للأنظمة الخطية الثابتة المعاملات. لنفترض أن L هي دالة نقل الحلقة ، و S هي دالة الحساسية .

في الرسم التخطيطي، P هي عملية ديناميكية ذات دالة نقل P ( s ). للمتحكم C دالة نقل C ( s ). يسعى المتحكم إلى جعل خرج العملية y يتبع المدخل المرجعي r . قد تتسبب الاضطرابات d وضوضاء القياس n في انحرافات غير مرغوب فيها للخرج. يُعرَّف كسب الحلقة بالعلاقة L ( s ) = P ( s ) C ( s ).

ينطبق ما يلي: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln |S(j\omega )|\,d\omega =\int _{0}^{\infty }\ln \left|{\frac {1}{1+L(j\omega )}}\right|\,d\omega =\pi \sum \operatorname {Re} (p_{k})-{\frac {\pi }{2}}\lim _{s\to \infty }sL(s),}$$ أين${\displaystyle p_{k}}$هي أقطاب L في النصف الأيمن من المستوى (أقطاب غير مستقرة) .

إذا كان للمصفوفة L قطبان على الأقل أكثر من أصفارها ، وليس لها أقطاب في النصف الأيمن من المستوى المركب (أي أنها مستقرة)، فإن المعادلة تُبسط إلى $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln |S(j\omega )|\,d\omega =0.}$$ تُظهر هذه المساواة أنه إذا انخفضت الحساسية للاضطراب في نطاق تردد معين، فإنها تزداد بالضرورة في نطاق آخر. وقد أُطلق على هذه الظاهرة اسم "تأثير السرير المائي". ^{[ 1 ]}

بالنسبة لأنظمة الإدخال والإخراج المتعددة (MIMO) ، إذا كان كسب الحلقة L ( s ) يحتوي على عناصر ذات فائض قطبي لا يقل عن اثنين، فإن النظرية تُعمم إلى $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln |\det S(j\omega )|\,d\omega =\pi \sum \operatorname {Re} (p_{k}),}$$ أين${\displaystyle p_{k}}$^{[ 2 ]} هي الأقطاب غير المستقرة لـ L ( s ).

• كارل يوهان أستروم وريتشارد إم. موراي. أنظمة التغذية الراجعة: مقدمة للعلماء والمهندسين . الفصل  11: تصميم مجال التردد . مطبعة جامعة برينستون، 2008.
• شتاين، ج. (2003). "احترم غير المستقر". مجلة أنظمة التحكم IEEE . 23 (4): 12-25 . doi : 10.1109/MCS.2003.1213600 . ISSN 1066-033X . 
• كوستا كاستيلو، رامون؛ دورميدو ، سيباستيان (2015). "أداة تفاعلية لإدخال تأثير قاع الماء" . IFAC-PapersOnLine . 48 (29): 259-264 . دوى : 10.1016/j.ifacol.2015.11.246 . اتش دي ال : 2117/79317 . ISSN 2405-8963 . 

• WaterbedITOOL – أداة برمجية تفاعلية لتحليل وتعلم/تعليم تأثير السرير المائي في أنظمة التحكم الخطية.
• محاضرة غونتر شتاين حول القيود الأساسية على دالة الحساسية التي يمكن تحقيقها والتي يتم التعبير عنها بواسطة تكامل بود.
• استخدام نظرية بود التكاملية (حوالي عام 1945) - منشور ناسا.

• مخطط بود
• قانون حفظ التعقيد
• الحساسية (أنظمة التحكم)
• نظرية السرير المائي