صلابة فطرية

الصلابة الموروثة هي مفهوم في النسبية الخاصة . وهي إحدى الإجابات على سؤال ما الذي يقابل الجسم الصلب في الميكانيكا الكلاسيكية غير النسبية في النسبية الخاصة .

طُرح هذا المفهوم لأول مرة من قِبل ماكس بورن (1909)، ^{[ 1 ] [ 2 ]} الذي قدم وصفًا تفصيليًا لحالة التسارع الذاتي الثابت التي أطلق عليها اسم الحركة الزائدية . وعندما حاول مؤلفون لاحقون، مثل بول إهرنفست (1909) ^{[ 3 ]} ، دمج الحركات الدورانية أيضًا، اتضح أن صلابة بورن تُعدّ مفهومًا مُقيِّدًا للغاية للصلابة، مما أدى إلى نظرية هيرغلوتز-نوثر ، التي تنص على وجود قيود صارمة على حركات بورن الدورانية الصلبة. وقد صاغ هذه النظرية غوستاف هيرغلوتز (1909، الذي صنّف جميع أشكال الحركات الدورانية) ^{[ 4 ]} ، وبصورة أقل عمومية من قِبل فريتز نوثر (1909). ^{[ 5 ]} ونتيجة لذلك، قدّم بورن (1910) ^{[ 6 ]} وآخرون تعريفات بديلة وأقل تقييدًا للصلابة.

يتحقق شرط صلابة بورن إذا كانت المسافة المتعامدة في الزمكان بين المنحنيات أو خطوط العالم المتباعدة بشكل متناهي الصغر ثابتة، ^{[ 7 ]} أو بصورة مكافئة، إذا كان طول الجسم الصلب في الأطر المرجعية العطالية المتحركة لحظيًا ، والمقاس بواسطة قضبان قياس معيارية (أي الطول الذاتي )، ثابتًا، وبالتالي يخضع لانكماش لورنتز في الأطر المرجعية المتحركة نسبيًا. ^{[ 8 ]} تُعد صلابة بورن قيدًا على حركة الجسم الممتد، ويتحقق ذلك من خلال تطبيق دقيق للقوى على أجزاء مختلفة من الجسم. إن الجسم الذي يستطيع الحفاظ على صلابته الذاتية سيخالف النسبية الخاصة، لأن سرعة الصوت فيه ستكون لانهائية.

يمكن تصنيف جميع حركات بورن الصلبة الممكنة باستخدام نظرية هيرغلوتز-نوثر. تنص هذه النظرية على أن جميع حركات بورن الصلبة غير الدورانية ( الفئة أ ) تتكون من مستويات فائقة تتحرك بشكل صلب عبر الزمكان، بينما يجب أن تكون أي حركة بورن صلبة دورانية ( الفئة ب ) حركة كيلينغ متساوية القياس . هذا يعني أن الجسم الصلب وفقًا لنظرية بورن لا يملك سوى ثلاث درجات حرية . وبالتالي، يمكن تحريك جسم ما بطريقة بورن الصلبة من السكون إلى أي حركة انتقالية ، لكن لا يمكن تحريكه بطريقة بورن الصلبة من السكون إلى حركة دورانية. ^{[ 9 ]}

لقد بيّن هيرغلوتز (1911) ^{[ 10 ]} أن نظرية المرونة النسبية يمكن أن تستند إلى افتراض أن الإجهادات تنشأ عندما يتم كسر شرط صلابة بورن. ^{[ 11 ]}

من الأمثلة على كسر صلابة بورن مفارقة إهرنفست : فعلى الرغم من أن حالة الحركة الدائرية المنتظمة لجسم ما تُعدّ من بين حركات بورن الصلبة المسموح بها من الفئة B ، إلا أنه لا يمكن نقل جسم من أي حالة حركة أخرى إلى حركة دائرية منتظمة دون كسر شرط صلابة بورن خلال المرحلة التي يتعرض فيها الجسم لتسارعات مختلفة. ولكن إذا انتهت هذه المرحلة وأصبح التسارع المركزي ثابتًا، يمكن للجسم أن يدور بشكل منتظم بما يتوافق مع صلابة بورن. وبالمثل، إذا كان الجسم الآن في حركة دائرية منتظمة، فلا يمكن تغيير هذه الحالة دون كسر صلابة بورن للجسم مرة أخرى.

مثال آخر هو مفارقة بيل الفضائية : إذا تسارعت نهايتا جسم ما بتسارع ذاتي ثابت في اتجاه مستقيم، فيجب أن يكون للنهاية الأمامية تسارع ذاتي أقل للحفاظ على ثبات الطول الذاتي، وبالتالي تحقيق صلابة بورن. كما سيُظهر الجسم انكماشًا لورنتزيًا متزايدًا في إطار مرجعي خارجي، أي أن نهايتي الجسم لا تتسارعان في الإطار الخارجي في آنٍ واحد. مع ذلك، إذا تم اختيار نمط تسارع مختلف بحيث تتسارع نهايتا الجسم في آنٍ واحد بنفس التسارع الذاتي كما هو الحال في الإطار المرجعي الخارجي، فإن صلابة بورن ستُنتَهك، لأن ثبات الطول في الإطار الخارجي يعني زيادة الطول الذاتي في إطار مرجعي متحرك معه، وذلك بسبب نسبية التزامن . في هذه الحالة، سيتعرض خيط هش ممتد بين صاروخين لإجهادات (تُسمى إجهادات هيرغلوتز-ديوان-بيران ^{[ 8 ]} )، وبالتالي سينقطع.

قدّم هيرغلوتز تصنيفًا للحركات الصلبة المسموح بها، وخاصة الدورانية منها، في فضاء مينكوفسكي المسطح، ^{[ 4 ]} وقد درس هذا التصنيف أيضًا فريدريش كوتلر (1912، 1914)، ^{[ 12 ]} وجورج لومتر (1924)، ^{[ 13 ]} وأدريان فوكر (1940)، ^{[ 14 ]} وجورج سالزمان وأبراهام هـ. تاوب (1954). ^{[ 7 ]} وأشار هيرغلوتز إلى أن الوسط المتصل يتحرك كجسم صلب عندما تكون خطوط العالم لنقاطه عبارة عن منحنيات متساوية البعد في${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$ويمكن تقسيم هذه النزعة الدنيوية الناتجة إلى فئتين:

الفئة أ: الحركات غير الدورانية

عرّف هيرغلوتز هذه الفئة من حيث المنحنيات متساوية البعد، وهي المسارات المتعامدة لمجموعة من المستويات الفائقة ، والتي يمكن اعتبارها أيضًا حلولًا لمعادلة ريكاتي ^{[ 15 ]} (وقد أطلق عليها سالزمان وتاوب ^{[ 7 ] اسم "الحركة المستوية" أو بوير [ 16 ] [ 17 ]} اسم "الحركة الصلبة غير الدورانية" ). وخلص إلى أن حركة هذا الجسم تتحدد كليًا بحركة إحدى نقاطه.

قدّم هيرغلوتز المقياس العام لهذه الحركات غير الدورانية، وقد لخّص لومتر (1924) عمله برموز مبسطة. كما حُدّد مقياس فيرمي، بالشكل الذي قدّمه كريستيان مولر (1952) للأطر الصلبة ذات الحركة العشوائية للأصل، باعتباره "المقياس الأكثر عمومية للحركة الصلبة غير الدورانية في النسبية الخاصة". ^{[ 18 ]} وبشكل عام، تبيّن أن حركة بورن غير الدورانية تُطابق تطابقات فيرمي التي يمكن استخدام أي خط عالمي كخط أساس لها (تطابق فيرمي متجانس). ^{[ 19 ]}

هيرغلوتز 1909	${\displaystyle ds^{2}=da^{2}+\varphi (db,dc)-\Theta ^{2}d\vartheta ^{2}}$[ 20 ]
لومتر 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+\phi ^{2}dt^{2}\\&\quad \left(\phi =lx+my+nz+p\right)\end{aligned}}}$[ 21 ]
مولر 1952	${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}}$[ 22 ]

أشار كتاب "أولريدي بورن" (1909) إلى أن الجسم الصلب في الحركة الانتقالية له أقصى امتداد مكاني يعتمد على تسارعه، ويُعطى بالعلاقة التالية:${\displaystyle b<c^{2}/R}$، أين${\displaystyle b}$هو التسارع المناسب و${\displaystyle R}$يمثل نصف قطر الكرة التي يقع فيها الجسم، وبالتالي كلما زاد التسارع الذاتي، قلّ أقصى امتداد للجسم الصلب. ^{[ 2 ]} تُعرف الحالة الخاصة للحركة الانتقالية ذات التسارع الذاتي الثابت بالحركة الزائدية ، مع خط العالم

ولد عام 1909	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\&\quad \left(p={\frac {dx}{d\tau }},\quad q=-{\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$[ 23 ]
هيرغلوتز 1909	${\displaystyle x=x',\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[ 24 ] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}}$[ 25 ]
سومرفيلد 1910	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\&\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end{aligned}}}$[ 26 ]
كوتلر 1912، 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 27 ] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=b\cosh u,\quad ct=b\sinh u}$[ 28 ]

الفئة ب: الحركات الدورانية متساوية القياس

عرّف هيرغلوتز هذه الفئة من حيث المنحنيات متساوية البعد، وهي مسارات مجموعة حركة ذات مُعامل واحد ^{[ 29 ]} (أطلق عليها سالزمان وتاوب اسم "حركة المجموعة" ^{[ 7 ]} ، وربطها فيليكس بيراني وغاريث ويليامز (1962) ^{[ 30 ]} بحركة كيلينغ متساوية القياس ). وأشار إلى أنها تتكون من خطوط عالمية ذات انحناءات ثابتة (تُعرف بالانحناء ، والالتواء، والالتواء الفائق)، تُشكل حلزونًا . ^{[ 31 ]} كما تمت دراسة خطوط العالم ذات الانحناءات الثابتة في الزمكان المسطح بواسطة كوتلر (1912)، ^{[ 12 ]} وبيتروف (1964)، ^{[ 32 ]} وجون لايتون سينج (1967، الذي أطلق عليها اسم الحلزونات الزمنية في الزمكان المسطح)، ^{[ 33 ]} أو ليتاو (1981، الذي أطلق عليها اسم خطوط العالم الثابتة) ^{[ 34 ]} كحلول لصيغ فرينيه-سيريه .

قام هيرغلوتز بفصل الفئة B بشكل أكبر باستخدام أربع مجموعات ذات معلمة واحدة من تحويلات لورنتز (اللوكسودرومية، والإهليلجية، والزائدية، والمكافئة) قياسًا على الحركات الزائدية (أي التشاكلات المتساوية القياس للفضاء الزائدي) ، وأشار إلى أن حركة بورن الزائدية (التي تتبع من المجموعة الزائدية مع${\displaystyle \alpha =0}$وفقًا لتدوين هيرغلوتز وكوتلر،${\displaystyle \lambda =0}$في تدوين لومتر،${\displaystyle q=0}$في تدوين سينج؛ انظر الجدول التالي) هي الحركة الصلبة الوحيدة لبورن التي تنتمي إلى كلتا الفئتين A و B.

مجموعة لوكسودروميك (مزيج من الحركة الزائدية والدوران المنتظم)
هيرغلوتز 1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\lambda \vartheta },\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[ 35 ]
كوتلر 1912، 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 36 ]
لومتر 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[ 37 ]
سينج 1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[ 38 ]
المجموعة الإهليلجية (دوران منتظم)
هيرغلوتز 1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta }$[ 39 ]
كوتلر 1912، 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 40 ]
دي سيتر 1916	${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta '=\theta -\omega ct,\ \left(d\sigma ^{\prime 2}=dr^{\prime 2}+r^{\prime 2}d\theta ^{\prime 2}+dz^{\prime 2}\right)\\&ds^{2}=-d\sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt^{2}\end{aligned}}}$[ 41 ]
لومتر 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z,\quad \tau =t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(1-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[ 42 ]
سينج 1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=0,\quad t=sr}$[ 43 ]
المجموعة الزائدية (حركة زائدية بالإضافة إلى انتقال فضائي)
هيرغلوتز 1909	${\displaystyle x=x'+\alpha \vartheta ,\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[ 44 ]
كوتلر 1912، 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+\alpha u,\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 45 ]
لومتر 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+\lambda t,\quad \eta =y,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-2\lambda dx\ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[ 46 ]
سينج 1967	${\displaystyle x=sq,\quad y=0,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[ 47 ]
مجموعة القطع المكافئ (التي تصف قطعًا مكافئًا نصف مكعب )
هيرغلوتز 1909	${\displaystyle x=x_{0}+{\frac {1}{2}}\delta \vartheta ^{2},\quad y=y_{0}+\beta \vartheta ,\quad z=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1}{6}}\delta \vartheta ^{3},\quad t-z=\delta \vartheta }$[ 25 ]
كوتلر 1912، 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 48 ]
لومتر 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+{\frac {1}{2}}\lambda t^{2},\quad \eta =y+\mu t,\quad \zeta =z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3},\quad \tau =\lambda t+z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3}\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-2\mu \ dy\ dt+2\lambda \ dz\ dt+\left(2\lambda x+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[ 37 ]
سينج 1967	${\displaystyle x={\frac {1}{6}}b^{2}s^{3},\quad y=0,\quad z={\frac {1}{2}}bs^{2},\quad t=s+{\frac {1}{6}}b^{2}s^{3}}$[ 49 ]

بذل سالزمان وتاوب (1954)، ^{[ 7 ]} وبيريسفورد راينر (1959)، ^{[ 50 ]} وبيراني وويليامز (1962)، ^{[ 30 ]} وروبرت هـ. بوير (1964) محاولات لتوسيع مفهوم صلابة بورن ليشمل النسبية العامة . ^{[ 16 ]} وقد تبين أن نظرية هيرغلوتز-نوثر لا تتحقق بشكل كامل، إذ توجد أطر مرجعية دوارة صلبة أو تطابقات لا تمثل حركات كيلينغ متساوية القياس. ^{[ 30 ]}

كما تم اقتراح العديد من البدائل الأضعف كشروط للصلابة، كما هو الحال بالنسبة لما اقترحه نوثر (1909) ^{[ 5 ]} أو بورن (1910) نفسه. ^{[ 6 ]}

قدم إيب ومان وماكغراث بديلاً حديثاً. ^{[ 51 ]} على عكس التطابق الصلب العادي لبورن الذي يتكون من "تاريخ مجموعة من النقاط التي تملأ حجمًا مكانيًا"، فإنهم يستعيدون درجات الحرية الست للميكانيكا الكلاسيكية باستخدام إطار صلب شبه محلي من خلال تعريف التطابق من حيث "تاريخ مجموعة النقاط على السطح الذي يحد حجمًا مكانيًا".

• بورن، ماكس (1909أ)، "نظرية الإلكترون الصلب في حركية مبدأ النسبية" [ ترجمة ويكي مصدر: نظرية الإلكترون الصلب في حركية مبدأ النسبية ] ، حوليات الفيزياء ، 335 (11): 1-56 ، رمز Bibcode : 1909AnP...335....1B ، doi : 10.1002/andp.19093351102
• بورن، ماكس ( 1909 ب)، "Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [ ترجمة ويكي مصدر: بخصوص ديناميكيات الإلكترون في حركيات مبدأ النسبية ] ، Physikalische Zeitschrift ، 10 : 814–817
• بورن، ماكس (1910)، "Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips" [ ترجمة ويكي مصدر: حول حركيات الجسم الصلب في نظام مبدأ النسبية ] ، غوتنغر ناخريشتن ، 2 : 161– 179
• إهرنفيست، بول (1909)، "Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie"  [ ترجمة ويكي مصدر: الدوران الموحد للأجسام الصلبة ونظرية النسبية ] , Physikalische Zeitschrift , 10 : 918, بيب كود : 1909PhyZ...10..918E
• فرانكلين، جيرولد (2013)، "حركة الأجسام الصلبة في النسبية الخاصة"، أسس الفيزياء ، 95 (12): 1489-1501 ، arXiv : 1105.3899 ، Bibcode : 2013FoPh...43.1489F ، doi : 10.1007/s10701-013-9757-x ، S2CID 254514424 
• Herglotz، Gustav (1910) [1909]، “Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper” [ ترجمة ويكي مصدر: على الأجسام التي يجب تصنيفها على أنها “جامدة” من وجهة نظر مبدأ النسبية ] ، Annalen der Physik ، 336 (2): 393– 415، بيب كود : 1910AnP...336..393H ، دوى : 10.1002/andp.19103360208
• Herglotz، Gustav (1911)، “Über die Mechanik des Deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie” ، Annalen der Physik ، 341 (13): 493–533 ، بيب كود : 1911AnP...341..493H ، دوى : 10.1002/وp.19113411303الترجمة الإنجليزية بقلم ديفيد ديلفينيتش: حول ميكانيكا الأجسام القابلة للتشوه من وجهة نظر نظرية النسبية .
• نويثر، فريتز (1910) [1909]. "Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie" . أنالين دير فيزيك . 336 (5): 919– 944. بيب كود : 1910AnP...336..919N . دوى : 10.1002/andp.19103360504 .
• سومرفيلد، أرنولد (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vier Dimensione Vektorana Analysis" [ ترجمة ويكي مصدر: حول نظرية النسبية II: تحليل المتجهات رباعية الأبعاد ] . أنالين دير فيزيك . 338 (14): 649–689 . بيب كود : 1910AnP...338..649S . دوى : 10.1002/andp.19103381402 .
• كوتلر، فريدريش (1912). "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [ ترجمة ويكي مصدر: على خطوط الزمكان لعالم مينكوفسكي ] . وينر سيتزونجسبيرشت 2أ . 121 : 1659– 1759. hdl : 2027/mdp.39015051107277 .
• كوتلر، فريدريش (1914 أ). ""التدريبات النسبية والتحسينات"" . أنالين دير فيزيك . 349 (13): 701–748 . بيب كود : 1914AnP...349..701K . دوى : 10.1002/andp.19143491303 .
• كوتلر، فريدريش (1914ب). "Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips" . أنالين دير فيزيك . 350 (20): 481–516 . بيب كود : 1914AnP...350..481K . دوى : 10.1002/andp.19143502003 .
• دي سيتر، دبليو. (1916). "حول نظرية أينشتاين في الجاذبية ونتائجها الفلكية. الورقة الثانية" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 77 (2): 155-184 . Bibcode : 1916MNRAS..77..155D . doi : 10.1093/mnras/77.2.155 .
• Pauli، Wolfgang (1921)، “Die Relativitätstheorie” ، Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften ، 5 ( 2): 539–776

باللغة الإنجليزية: باولي، و. (1981) [1921]. نظرية النسبية . المجلد 165. منشورات دوفر. ISBN  0-486-64152-X.{{cite book}}تم |journal=تجاهله ( مساعدة )

• لومتر، ج. (1924)، "حركة جسم صلب وفقًا لمبدأ النسبية"، المجلة الفلسفية ، السلسلة 6، 48 (283): 164-176 ، doi : 10.1080/14786442408634478
• فوكر، أ.د. (1949)، "حول هندسة الزمكان لجسم صلب متحرك"، مراجعات الفيزياء الحديثة ، 21 (3): 406-408 ، رمز Bibcode : 1949RvMP...21..406F ، doi : 10.1103/RevModPhys.21.406
• مولر، سي. (1955) [1952]. نظرية النسبية . مطبعة كلارندون، أكسفورد.
• سالزمان، ج.، وتاوب، أ.هـ. (1954)، "الحركة الصلبة من نوع بورن في النسبية"، مجلة Physical Review ، 95 (6): 1659-1669 ، Bibcode : 1954PhRv...95.1659S ، doi : 10.1103/PhysRev.95.1659{{citation}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
• راينر، سي بي (1959)، “Le corps الصارمة في النسبية العامة” ، ندوة جانيت. التحليل الميكانيكي والميكانيكي سيليست , 2 : 1 – 15
• Pirani، FAE، & Williams، G. (1962)، "الحركة الصلبة في مجال الجاذبية" ، ندوة جانيت. التحليل الميكانيكي والميكانيكي سيليست , 5 : 1- 16{{citation}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
• بيتروف، ف. (1964). "Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen" . تطبيق ماتيماتيكي . 9 (4): 239 – 240.
• بوير، آر إتش (1965)، "الأطر الصلبة في النسبية العامة"، وقائع الجمعية الملكية في لندن، السلسلة أ ، 28 (1394): 343-355 ، رمز Bibcode : 1965RSPSA.283..343B ، doi : 10.1098/rspa.1965.0025 ، S2CID 120278621 
• سينج، جيه إل (1967) [1966]. "اللوالب الزمنية في الزمكان المسطح". وقائع الأكاديمية الملكية الأيرلندية، القسم أ . 65 : 27-42 . JSTOR 20488646 . 
• غرون، أ. (1981)، "صياغة متغيرة لقانون هوك"، المجلة الأمريكية للفيزياء ، 49 (1): 28-30 ، Bibcode : 1981AmJPh..49...28G ، doi : 10.1119/1.12623
• ليتاو، جيه آر (1981). "خطوط العالم الثابتة وإثارة الفراغ للكاشفات غير العطالية". مجلة Physical Review D. 23 ( 8): 1709-1714 . Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L . doi : 10.1103/PhysRevD.23.1709 .
• بيل، ل. (1995) [1993]، "مجموعة بورن والتماثلات المعممة"، النسبية بشكل عام: وقائع اجتماع النسبية 93 ، أتلانتيكا سيغييه فرونتيرز: 47، arXiv : 1103.2509 ، Bibcode : 2011arXiv1103.2509B
• جيوليني، دومينيكو (2008). "البنية الغنية لفضاء مينكوفسكي". زمكان مينكوفسكي: بعد مئة عام . المجلد  165. سبرينغر. ص  83. arXiv : 0802.4345 . Bibcode : 2008arXiv0802.4345G . ISBN 978-90-481-3474-8.{{cite book}}تم |journal=تجاهله ( مساعدة )
• إيب، آر جيه، مان، آر بي، وماكغراث، بي إل (2009)، "إعادة النظر في الحركة الصلبة: الأطر شبه المحلية الصلبة"، الجاذبية الكلاسيكية والكمية ، 26 (3) 035015، arXiv : 0810.0072 ، Bibcode : 2009CQGra..26c5015E ، doi : 10.1088/0264-9381/26/3/035015 ، S2CID 118856653 {{citation}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

• الصلابة والتسارع والقصور الذاتي عند الولادة على موقع mathpages.com
• القرص الدوار الصلب في النسبية ضمن الأسئلة الشائعة حول الفيزياء على شبكة يوزنت