الأعداد الأصلية والترتيبية

كتاب "الأعداد الأصلية والترتيبية" يتناول موضوع الأعداد المتسامية ، وهو من تأليف عالم الرياضيات البولندي فاكلاف سيربينسكي . نُشر عام ١٩٥٨ من قِبل دار النشر البولندية للعلوم (Państwowe Wydawnictwo Naukowe )، ضمن المجلد ٣٤ من سلسلة "دراسات الرياضيات" الصادرة عن معهد الرياضيات التابع للأكاديمية البولندية للعلوم . ^{[ ١ ] [ ٢ ]} سبق لسيربينسكي أن تناول الموضوع نفسه في كتابه " دروس في الأعداد المتسامية" (Leçons sur les nombres transfinis ) الصادر عام ١٩٢٨ ، إلا أن كتابه الصادر عام ١٩٥٨ حول هذا الموضوع كان مُعاد كتابته بالكامل وأطول بكثير؛ ^{[ ١ ]} وصدرت طبعة ثانية مُنقحة قليلاً عام ١٩٦٥. ^{[ ٢ ] [ ٣ ]}

بعد خمسة فصول تمهيدية حول نظرية المجموعات البسيطة والرموز المستخدمة فيها، وفصل سادس حول بديهية الاختيار ، يتضمن الكتاب أربعة فصول حول الأعداد الأصلية ، وحساباتها، ومتسلسلات وحاصل ضرب الأعداد الأصلية، بإجمالي 50 صفحة تقريبًا. يلي ذلك أربعة فصول أطول (بإجمالي 180 صفحة تقريبًا) تغطي ترتيب المجموعات، وأنواع الترتيب ، والترتيبات الجيدة ، والأعداد الترتيبية، وحساباتها، ومفارقة بورالي -فورتي التي تنص على أن مجموعة جميع الأعداد الترتيبية لا يمكن أن تكون مجموعة. أما الفصول الثلاثة الأخيرة فتتناول أعداد أليف وفرضية الاستمرارية ، وعبارات مكافئة لبديهية الاختيار، ونتائجها. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

لم تُجرِ الطبعة الثانية سوى تغييرات طفيفة على الطبعة الأولى باستثناء إضافة حواشي تتعلق بتطورين لاحقين في هذا المجال: برهان بول كوهين على استقلال فرضية الاستمرارية، وبناء روبرت م. سولوفاي لنموذج سولوفاي الذي تكون فيه جميع مجموعات الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ . ^{[ 2 ]}

اشتهر سيربينسكي بمساهماته البارزة في نظرية الأعداد المتسامية؛ ^{[ 1 ] [ 3 ]} ، ويصفه الناقد روبن غودستين بأنه "كنز من النتائج"، ^{[ 3 ]} وبالمثل، كتب ليونارد غيلمان أنه ذو قيمة عالية "كمرجع شامل للمعلومات الرياضية الشيقة، مُقدمة بعناية ووضوح". ويصف كل من غيلمان وجون سي. أوكستوبي أسلوب الكتابة بأنه "متأنٍ" و"غير متسرع"، ^{[ 1 ] [ 2 ]} وعلى الرغم من أن غيلمان ينتقد الترجمة من مخطوطة بولندية سابقة إلى الإنجليزية باعتبارها غير مصقولة، ويشير إلى عدة أخطاء في قائمة المراجع، إلا أنه لا يجد في نص الكتاب نفسه أي إشكال. ^{[ 2 ]}

في كتاب "الطوبولوجيا العامة" لستيفن ويلارد الصادر عام 1970، يدرج ويلارد هذا الكتاب كواحد من خمسة "مراجع قياسية" في نظرية المجموعات . ^{[ 4 ]}