نموذج سولوفاي

في مجال نظرية المجموعات الرياضية ، يُعدّ نموذج سولوفاي نموذجًا ابتكره روبرت م. سولوفاي ^{[ 1 ]} ، حيث تتحقق فيه جميع بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF)، باستثناء بديهية الاختيار ، ولكن جميع مجموعات الأعداد الحقيقية فيه قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ . ويعتمد هذا النموذج على وجود عدد أصلي غير قابل للوصول .

وبهذه الطريقة، أظهر سولوفاي أنه في إثبات وجود مجموعة غير قابلة للقياس من ZFC (نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل بالإضافة إلى بديهية الاختيار)، فإن بديهية الاختيار ضرورية، على الأقل بافتراض أن وجود عدد أصلي غير قابل للوصول يتوافق مع ZFC.

إفادة

ZF تعني نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل، و DC تعني بديهية الاختيار المعتمد .

تنص نظرية سولوفاي على ما يلي. بافتراض وجود عدد أصلي غير قابل للوصول، يوجد نموذج داخلي لـ ZF + DC لتمديد إجباري مناسب V [ G ] بحيث تكون كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ، ولها خاصية المجموعة الكاملة ، ولها خاصية باير .

بناء

قام سولوفاي ببناء نموذجه على مرحلتين، بدءًا بنموذج M لـ ZFC يحتوي على عدد أساسي غير قابل للوصول κ . ^{[ 1 ]}

تتمثل الخطوة الأولى في إجراء عملية اختزال ليفي M [ G ] للمجموعة M بإضافة مجموعة عامة G لمفهوم الإجبار، بحيث تُختزل جميع الأعداد الأصلية الأقل من κ إلى ω. عندئذٍ، تُصبح M [ G ] نموذجًا لنظرية ZFC، حيث تتميز كل مجموعة من الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف على متتالية قابلة للعد من الأعداد الترتيبية بأنها قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ، وتتمتع بخصائص باير والمجموعة الكاملة. (يشمل ذلك جميع مجموعات الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف والإسقاطية؛ إلا أنه لأسباب تتعلق بنظرية عدم قابلية التعريف لتارسكي، لا يمكن تعريف مفهوم مجموعة الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف بلغة نظرية المجموعات، بينما يمكن تعريف مفهوم مجموعة الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف على متتالية قابلة للعد من الأعداد الترتيبية).

تتمثل الخطوة الثانية في بناء نموذج سولوفاي N باعتباره فئة جميع المجموعات في M [ G ] القابلة للتعريف وراثيًا على سلسلة قابلة للعد من الأعداد الترتيبية. النموذج N هو نموذج داخلي لـ M [ G ] يحقق ZF + DC بحيث تكون كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، وتتمتع بخاصية المجموعة الكاملة، وخاصية باير. يعتمد برهان ذلك على حقيقة أن كل عدد حقيقي في M [ G ] قابل للتعريف على سلسلة قابلة للعد من الأعداد الترتيبية، وبالتالي فإن N و M [ G ] لهما نفس الأعداد الحقيقية.

بدلاً من استخدام نموذج سولوفاي N ، يمكن للمرء أيضًا استخدام النموذج الداخلي الأصغر L ( R ) من M [ G ]، والذي يتكون من الإغلاق القابل للإنشاء للأعداد الحقيقية، والذي له خصائص مماثلة.

مكملات

اقترح سولوفاي في بحثه أن استخدام عدد أصلي غير قابل للوصول قد لا يكون ضروريًا. وقد أثبت العديد من الباحثين صيغًا أضعف لنتيجة سولوفاي دون افتراض وجود عدد أصلي غير قابل للوصول. على وجه الخصوص، أظهر كريفين (1969) ^{[ 2 ]} وجود نموذج لنظرية ZFC تكون فيه كل مجموعة من الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف الترتيبي قابلة للقياس، وأظهر سولوفاي وجود نموذج لنظرية ZF + DC يكون فيه امتداد ثابت تحت الإزاحة لمقياس ليبيغ إلى جميع المجموعات الجزئية من الأعداد الحقيقية، ^{[ 1 ]} وأظهر شيلاه (1984) ^{[ 3 ]} وجود نموذج تتمتع فيه جميع مجموعات الأعداد الحقيقية بخاصية باير (وبالتالي يكون العدد الأصلي غير القابل للوصول غير ضروري في هذه الحالة).

حُلّت مسألة خاصية المجموعة الكاملة بواسطة سبيكر (1957)، ^{[ 4 ]} الذي بيّن (في ZF) أنه إذا كانت كل مجموعة من الأعداد الحقيقية تتمتع بخاصية المجموعة الكاملة، وكان أول عدد أصلي غير قابل للعد ℵ ₁ منتظمًا، فإن ℵ ₁ يكون غير قابل للوصول في الكون القابل للإنشاء . وبالاقتران مع نتيجة سولوفاي، يُظهر هذا أن العبارتين "يوجد عدد أصلي غير قابل للوصول" و"ℵ ₁ منتظم + كل مجموعة من الأعداد الحقيقية تتمتع بخاصية المجموعة الكاملة" متسقتان بالتساوي على ZF. ^{[ 5 ]}^{ص 371}

أخيرًا، بيّن شيلاه (1984) ^{[ 3 ]} أن اتساق عدد أصلي غير قابل للوصول ضروري أيضًا لبناء نموذج تكون فيه جميع مجموعات الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ. وبشكل أدق، بيّن أنه إذا كانت كل مجموعة من الأعداد الحقيقية Σ ¹₃ قابلة للقياس، فإن أول عدد أصلي غير قابل للعد ℵ ₁ يكون غير قابل للوصول في الكون القابل للبناء، وبالتالي لا يمكن حذف شرط العدد الأصلي غير القابل للوصول من نظرية سولوفاي. كما بيّن شيلاه أن شرط Σ ¹₃ يقترب من أفضل شرط ممكن من خلال بناء نموذج (دون استخدام عدد أصلي غير قابل للوصول) تكون فيه جميع مجموعات الأعداد الحقيقية Δ ¹₃ قابلة للقياس. انظر رايزونييه (1984) ^{[ 6 ]} ، وستيرن (1985) ، وميلر (1989) ^{[ 7 ]} للاطلاع على شرح لنتيجة شيلاه.

أظهر شيلا وودين (1990) ^{[ 8 ]} أنه إذا وُجدت أعداد أساسية فائقة التراص ، فإن كل مجموعة من الأعداد الحقيقية في L ( R )، وهي المجموعات القابلة للإنشاء المولدة من الأعداد الحقيقية، تكون قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ وتتمتع بخاصية باير؛ وهذا يشمل كل مجموعة من الأعداد الحقيقية "القابلة للتعريف بشكل معقول". لاحقًا، تبيّن أنه يمكن تقليص استخدام مفهوم العدد الأساسي فائق التراص بشكل كبير، ليقتصر على عدد لا نهائي من أعداد وودين الأساسية التي يوجد فوقها عدد أساسي قابل للقياس.

مراجع

1 2 3 سولوفاي، روبرت م. (يونيو 1970). "نموذج لنظرية المجموعات تكون فيه كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ" . حوليات الرياضيات . 92 (1): 1. doi : 10.2307/1970696 .
^ كريفين ، جان لويس (1969). "نماذج ZF + AC في جميع مجموعة السجلات القابلة للتحديد من خلال مصطلحات عادية قابلة للقياس-Lebesgue". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , Série A et B . 269 : أ549 – أ552. ISSN 0151-0509 .
1 2 شيلا، ساهارون (ديسمبر 1984). "هل يمكنك إزالة معضلة سولوفاي غير القابلة للوصول؟" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 48 (1): 1-47 . doi : 10.1007/BF02760522 . ISSN 0021-2172 .
^ سبيكر ، إرنست (يناير 1957). "Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs‐ und Auswahlaxiom)" . المنطق الرياضي الفصلية . 3 ( 13– 20): 173– 210. دوى : 10.1002/malq.19570031302 . ISSN 0942-5616 .
↑ أ. كاناموري، " الأعداد الكبيرة مع الإجبار ". في كتيب تاريخ المنطق: المجموعات والامتدادات في القرن العشرين ، تحرير أ. كاناموري، د.م. غاباي، ت. ثاغارد، ج. وودز (2011).
↑ رايزونييه، جان (ديسمبر 1984). "برهان رياضي لنظرية س. شيلاه حول مسألة القياس والنتائج ذات الصلة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 48 (1): 48-56 . doi : 10.1007/BF02760523 . ISSN 0021-2172 .
↑ ميلر، أرنولد و. (يونيو 1989). "ساهارون شيلاه، هل يمكنك إزالة مفهوم سولوفاي عن عدم إمكانية الوصول؟ مجلة إسرائيل للرياضيات، المجلد 48 (1984)، الصفحات 1-47. - جان رايزونييه، برهان رياضي لنظرية س. شيلاه حول مسألة القياس والنتائج ذات الصلة، مجلة إسرائيل للرياضيات، المجلد 48 (1984)، الصفحات 48-56" . مجلة المنطق الرمزي . 54 (2): 633-635 . doi : 10.2307/2274892 . ISSN 0022-4812 .
↑ شيلاه، ساهارون؛ وودين، هيو (أكتوبر 1990). "الأعداد الكاردينالية الكبيرة تعني أن كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للتعريف بشكل معقول قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 70 (3): 381-394 . doi : 10.1007/BF02801471 . ISSN 0021-2172 .

Krivine، Jean-Louis (1971)، “Théorèmes de Constance en théorie de la mesure de R. Solovay” ، Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 المعروضات 347-363 ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد. 179، الصفحات من 187 إلى 197، دوى : 10.1007 / BFb0058812 ، ISBN 978-3-540-05356-9
Specker، Ernst (1957)، “Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs- und Auswahlaxiom)”، Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik ، 3 ( 13– 20): 173–210 ، دوى : 10.1002/malq.19570031302 ، ISSN 0044-3050 ، مر 0099297
ستيرن، جاك (1985)، “Le problème de la mesure”، Astérisque (121): 325–346 ، ISSN 0303-1179 ، MR 0768968

[:1-1] 1 2 3 سولوفاي، روبرت م. (يونيو 1970). "نموذج لنظرية المجموعات تكون فيه كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ" . حوليات الرياضيات . 92 (1): 1. doi : 10.2307/1970696 .

[2] كريفين ، جان لويس (1969). "نماذج ZF + AC في جميع مجموعة السجلات القابلة للتحديد من خلال مصطلحات عادية قابلة للقياس-Lebesgue". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , Série A et B . 269 : أ549 – أ552. ISSN 0151-0509 .

[:0-3] 1 2 شيلا، ساهارون (ديسمبر 1984). "هل يمكنك إزالة معضلة سولوفاي غير القابلة للوصول؟" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 48 (1): 1-47 . doi : 10.1007/BF02760522 . ISSN 0021-2172 .

[4] سبيكر ، إرنست (يناير 1957). "Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs‐ und Auswahlaxiom)" . المنطق الرياضي الفصلية . 3 ( 13– 20): 173– 210. دوى : 10.1002/malq.19570031302 . ISSN 0942-5616 .

[5] أ. كاناموري، " الأعداد الكبيرة مع الإجبار ". في كتيب تاريخ المنطق: المجموعات والامتدادات في القرن العشرين ، تحرير أ. كاناموري، د.م. غاباي، ت. ثاغارد، ج. وودز (2011).

[6] رايزونييه، جان (ديسمبر 1984). "برهان رياضي لنظرية س. شيلاه حول مسألة القياس والنتائج ذات الصلة" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 48 (1): 48-56 . doi : 10.1007/BF02760523 . ISSN 0021-2172 .

[7] ميلر، أرنولد و. (يونيو 1989). "ساهارون شيلاه، هل يمكنك إزالة مفهوم سولوفاي عن عدم إمكانية الوصول؟ مجلة إسرائيل للرياضيات، المجلد 48 (1984)، الصفحات 1-47. - جان رايزونييه، برهان رياضي لنظرية س. شيلاه حول مسألة القياس والنتائج ذات الصلة، مجلة إسرائيل للرياضيات، المجلد 48 (1984)، الصفحات 48-56" . مجلة المنطق الرمزي . 54 (2): 633-635 . doi : 10.2307/2274892 . ISSN 0022-4812 .

[8] شيلاه، ساهارون؛ وودين، هيو (أكتوبر 1990). "الأعداد الكاردينالية الكبيرة تعني أن كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للتعريف بشكل معقول قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ" . مجلة إسرائيل للرياضيات . 70 (3): 381-394 . doi : 10.1007/BF02801471 . ISSN 0021-2172 .

[ 2 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗