الدوامة المركزية

الدوامات المركزية هي عيوب طوبولوجية خطية الشكل موجودة في فراغ نظرية يانغ-ميلز ونظرية الكروموديناميكا الكمية . وتشير محاكاة الشبكة إلى أنها تلعب دورًا هامًا في حصر الكواركات .

تحمل الدوامات المركزية شحنة قياس تحت العناصر المركزية للغطاء العالمي لمجموعة القياس G. وبالمثل، فإن شحنتها الطوبولوجية هي عنصر من المجموعة الأساسية لهذا الغطاء العالمي مقسومًا على مركزه.

في فضاء ثنائي الأبعاد M، يمكن إنشاء دوامة مركزية عند النقطة x كما يلي: نبدأ بحزمة G تافهة فوق M. نقطعها على طول دائرة تربط x . نعيد تجميع الفضاء الكلي باستخدام دالة انتقالية تمثل خريطة من الدائرة المقطوعة إلى تمثيل G. الفضاء الكلي الجديد هو حزمة القياس للدوامة المركزية.

الآن، تم إنشاء الدوامة عند النقطة x . يمكن حساب شحنتها الطوبولوجية كما يلي. برفع هذه الخريطة إلى الغطاء الشامل لـ G ، في كل مرة يتم فيها الدوران حول الدائرة، تتحرك دالة الانتقال بمقدار عنصر ما في مركز الغطاء الشامل. هذا العنصر هو الشحنة.

توجد الدوامات المركزية أيضًا في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى. وهي دائمًا ذات بُعد مشترك اثنين، ويتم تعميم البنية المذكورة أعلاه عن طريق القطع على طول أنبوب يحيط بالدوامة.

في حالة نظريات القياس SU( N )، يتكون المركز من المصفوفات الثابتة:

${\displaystyle z_{n}=e^{\frac {2\pi in}{N}}I\;,}$

حيث I هي مصفوفة الوحدة. تشكل هذه العناصر المجموعة الفرعية الأبيلية Z _N. تحت تأثير هذه العناصر المركزية، تتحول الكواركات كما يلي:

${\displaystyle \psi \to e^{\frac {2\pi in}{N}}\psi \;,}$

بينما تظل الغلوونات ثابتة. هذا يعني أنه إذا كانت الكواركات حرة (كما هو الحال في الطور غير المحصور )، فإن تناظر المركز سينكسر. واستعادة تناظر المركز ستستلزم الحصر. وقد وضع 'ت  هوفت هذا الأمر على أسس أكثر دقة. ^{[ 1 ]}

يمكن تمييز المرحلتين في النظرية بناءً على سلوك الدوامات. ^{[ 2 ]} عند دراسة حلقة ويلسون معينة ، إذا كانت الدوامات طويلة عمومًا، فإن معظمها سيخترق السطح داخل الحلقة مرة واحدة فقط. علاوة على ذلك، سيزداد عدد الدوامات التي تخترق هذا السطح بما يتناسب مع مساحته. ونظرًا لأن الدوامات تُقلل من قيمة التوقع الفراغي لحلقة ويلسون، فإن هذا سيؤدي إلى قانون المساحة، أي أن حلقة ويلسون W ( C ) تتصرف كما يلي:

${\displaystyle \langle W(C)\rangle \propto e^{-\sigma A}\;,}$

حيث A هي المساحة التي تغطيها الحلقة. يُطلق على الثابت σ اسم شد الوتر . هذا السلوك نموذجي للحصر. مع ذلك، عند النظر إلى نظام تكون فيه الدوامات قصيرة عمومًا - أي أنها تُشكّل حلقات صغيرة - فإنها عادةً ما تخترق سطح حلقة ويلسون مرتين في اتجاهين متعاكسين، مما يؤدي إلى إلغاء المساهمتين. فقط حلقات الدوامات القريبة من حلقة ويلسون نفسها تخترقها مرة واحدة، مما يؤدي إلى مساهمة تتناسب مع المحيط.

${\displaystyle \langle W(C)\rangle \propto e^{-\alpha L}\;,}$

حيث L هو طول حلقة ويلسون، و α ثابت ما. يشير هذا السلوك إلى عدم وجود تقييد .

في محاكاة الشبكة، يُلاحظ هذا السلوك بالفعل. ^{[ 2 ]} عند درجات الحرارة المنخفضة (حيث يوجد حصر)، تُشكّل الدوامات تجمعات كبيرة ومعقدة وتنتشر في الفضاء. عند درجات حرارة أعلى (فوق درجة حرارة انتقال طور فك الحصر)، تُشكّل الدوامات حلقات صغيرة. علاوة على ذلك، لوحظ أن توتر الوتر يكاد ينعدم عند إزالة الدوامات المركزية من المحاكاة. ^{[ 3 ]} من ناحية أخرى، يبقى توتر الوتر ثابتًا تقريبًا عند إزالة كل شيء باستثناء الدوامات المركزية. يُظهر هذا بوضوح العلاقة الوثيقة بين الدوامات المركزية والحصر. إلى جانب ذلك، أظهرت المحاكاة أيضًا أن للدوامات كثافة محدودة في حد الاستمرارية (أي أنها ليست نتاجًا للشبكة، بل هي موجودة في الواقع)، وأنها مرتبطة أيضًا بكسر التناظر الكيرالي والشحنة الطوبولوجية. ^{[ 3 ]}

تتعلق إحدى التفاصيل الدقيقة بتوتر الوتر عند المدى المتوسط ​​وفي حالة N الكبيرة . وفقًا لصورة الدوامة المركزية، يعتمد توتر الوتر على كيفية تحول حقول المادة تحت المركز، أي ما يُسمى بـ N- الخاصية. يبدو هذا صحيحًا بالنسبة لتوتر الوتر عند المسافات الكبيرة، ولكن عند المسافات الأصغر، يتناسب توتر الوتر مع مربع كازيمير للتمثيل - ما يُسمى بقياس كازيمير. وقد فُسِّر ذلك بتكوين نطاقات حول الدوامات المركزية. ^{[ 4 ]} في حالة N الكبيرة ، يمتد قياس كازيمير هذا إلى مسافات كبيرة. ^{[ 5 ]}

لننظر إلى زمرة القياس SO(3). لها مركز تافه، لكن زمرتها الأساسية π ₁ (SO(3)) هي Z _2. وبالمثل، فإن غطائها الشامل هو SU(2) الذي مركزه أيضًا Z _2. وبالتالي، فإن الدوامات المركزية في هذه النظرية مشحونة تحت تأثير Z ₂ ، ومن المتوقع أن تتلاشى أزواج الدوامات.

كذلك، _لا تمتلك نظرية قياس G2 توترًا وترًا بعيد المدى، وهو ما يتوافق مع صورة الدوامة المركزية. في هذه النظرية، يمكن للغلوونات حجب الكواركات، مما يؤدي إلى حالات أحادية اللون ذات عدد كمي يساوي عدد الكواركات. ومع ذلك، لا يزال مقياس كازيمير موجودًا في المدى المتوسط، أي قبل حدوث انكسار الوتر. ويمكن تفسير ذلك بتكوين نطاقات. ^{[ 4 ]}

• فراغ QCD
• حلقة هوفت