توزيع تشيرنوف

في نظرية الاحتمالات ، يُعرف توزيع تشيرنوف ، نسبةً إلى هيرمان تشيرنوف ، بأنه التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي

${\displaystyle Z={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-s^{2}),}$

حيث W هي عملية وينر "ثنائية الجانب" (أو " حركة براونية " ثنائية الجانب ) تحقق الشرط W (0)  =  0. إذا

${\displaystyle V(a,c)={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-c(sa)^{2}),}$

إذن فإن V (0, c ) لها كثافة 

${\displaystyle f_{c}(t)={\frac {1}{2}}g_{c}(t)g_{c}(-t)}$

حيث أن g _c لها تحويل فورييه معطى بواسطة

${\displaystyle {\hat {g}}_{c}(s)={\frac {(2/c)^{1/3}}{\operatorname {Ai} (i(2c^{2})^{-1/3}s)}},\ \ \ s\in \mathbf {R} }$

حيث Ai هي دالة آيري . بالتالي، فإن f _c متناظرة حول الصفر، والكثافة ƒ _Z = ƒ _1. يوضح غرونيبوم (1989) ^{[ 1 ]} أن   

${\displaystyle f_{Z}(z)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {4^{4/3}|z|}{\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}|z|^{3}+2^{1/3}{\tilde) {a}}_{1}|z|\right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

أين${\displaystyle {\tilde {a}}_{1}\approx -2.3381}$هو أكبر صفر لدالة آيري Ai وحيث${\displaystyle \operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})\approx 0.7022}$وفي الورقة نفسها، يقدم غرونيبوم أيضاً تحليلاً للعملية .${\displaystyle \{V(a,1):a\in \mathbf {R} \}}$تمت مناقشة العلاقة مع المشكلة الإحصائية لتقدير الكثافة الرتيبة في كتاب غرونيبوم (1985). ^{[ 2 ]} من المعروف الآن أن توزيع تشيرنوف يظهر في نطاق واسع من المسائل الرتيبة، بما في ذلك الانحدار المتساوي . ^{[ 3 ]}

لا ينبغي الخلط بين توزيع تشيرنوف وتوزيع تشيرنوف الهندسي ^{[ 4 ]} (يسمى نقطة تشيرنوف في هندسة المعلومات) الناتج عن معلومات تشيرنوف.

يذكر غرونيبوم، لالي، وتيمي ^{[ 5 ]} أن أول دراسة لهذا التوزيع ربما أجراها تشيرنوف عام 1964 ^{[ 6 ]} ، حيث درس سلوك مُقدِّر معين للنمط . في بحثه، وصف تشيرنوف التوزيع من خلال تمثيل تحليلي باستخدام معادلة الحرارة مع شروط حدودية مناسبة . إلا أن المحاولات الأولية لتقريب توزيع تشيرنوف عبر حل معادلة الحرارة لم تحقق دقة مرضية بسبب طبيعة الشروط الحدودية ^{[ 5 ]} . وقد تناول غرونيبوم وويلنر (2001) حساب هذا التوزيع، على سبيل المثال ^{[ 7 ] .}

^{وقد وجد كلٌّ من دانيلز وسكيرم [ 8 ]} وتيمي ^{[ 9 ]} ، بشكل مستقل، ارتباط توزيع تشيرنوف بدوال آيري، كما ورد في غرونيبوم، لالي، وتيمي. وقد كُتبت هاتان الورقتان البحثيتان، بالإضافة إلى ورقة غرونيبوم (1989)، جميعها في عام 1984. ^{[ 5 ]}