دالة توزيع تشوي-ويليامز

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

تُعد دالة توزيع تشوي-ويليامز إحدى دوال توزيع كوهين للفئات . [ 1 ] وقد اقترحها هيونغ-إيل تشوي وويليام ج. ويليامز لأول مرة عام 1989. تعتمد هذه الدالة على نواة أسية لكبح الحد المختلط. ومع ذلك، فإن كسب النواة لا يتناقص على طولη،τ{\displaystyle \eta ,\tau }المحاور في مجال الغموض. وبالتالي، فإن دالة النواة لتوزيع تشوي-ويليامز لا يمكنها إلا تصفية الحدود المتقاطعة الناتجة عن المكونات التي تختلف في كل من مركز الزمن والتردد.

التعريف الرياضي

يُوضح تعريف دالة توزيع تشوي-ويليامز على النحو التالي:

جx(ت،و)=∫-∞∞∫-∞∞أx(η،τ)Φ(η،τ)خبرة⁡(ج2π(ηت-τو))دηدτ،{\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,}

أين

أx(η،τ)=∫-∞∞x(ت+τ/2)x*(ت-τ/2)هـ-ج2πتηدت،{\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta }\,dt,}

ووظيفة النواة هي:

Φ(η،τ)=خبرة⁡[-α(ητ)2].{\displaystyle \Phi \left(\eta ,\tau \right)=\exp \left[-\alpha \left(\eta \tau \right)^{2}\right].}

تصميم النواة وقمع التداخل بين المصطلحات

الدافع الرئيسي وراء توزيع تشوي-ويليامز هو كبح الحدود المتداخلة (حدود التداخل) التي تُعيق دالة توزيع ويغنر . في مجال دالة الغموض (المُعرّف بواسطة المتغيرات)η،τ{\displaystyle \eta ,\tau })، عادةً ما تتركز "المصطلحات الذاتية" للإشارة (مكونات الإشارة الفعلية) بالقرب من نقطة الأصل(η=0،τ=0){\displaystyle (\eta =0,\tau =0)}بينما تقع الحدود المتقاطعة بعيدًا عن نقطة الأصل. [ 2 ]

تم تصميم دالة نواة تشوي-ويليامز كمرشح تمرير منخفض في مجال الغموض:

Φ(η،τ)=خبرة⁡[-α(ητ)2]{\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\exp[-\alpha (\eta \tau )^{2}]}

يكشف تحليل هذه النواة عن خصائصها في الترشيح:

  • على المحاور (η=0{\displaystyle \eta =0}أوτ=0{\displaystyle \tau =0})، قيمة النواة هي1{\displaystyle 1}وهذا يضمن استيفاء الخصائص الحدية (انظر قسم الخصائص).
  • بعيدًا عن المحاور، باعتباره المنتجητ{\displaystyle \eta \tau }مع ازدياد قيمة النواة، فإنها تتناقص بشكل أسي نحو الصفر.

هندسيًا، يُنشئ هذا نطاق تمرير "متقاطع" في مجال الغموض. تحافظ النواة على مكونات الإشارة التي تقع على المحاور (الحدود الذاتية) بينما تُضعف المكونات البعيدة عن المحاور (الحدود المتقاطعة). ومع ذلك، من القيود المعروفة أنه إذا كانت الحدود المتقاطعة تقع تمامًا علىη{\displaystyle \eta }أوτ{\displaystyle \tau }لا يستطيع توزيع تشوي-ويليامز تصفية المحاور (التي تحدث عندما يكون لمكونين نفس الوقت المركزي أو نفس التردد المركزي). [ 3 ]

ملكيات

يمتلك توزيع تشوي-ويليامز العديد من الخصائص الرياضية المرغوبة التي تجعله جذابًا لتحليل الإشارات غير المستقرة.

الهامش

على عكس توزيع الشكل المخروطي (ZAM) الذي يُلبي شرط الزمن فقط، فإن توزيع تشوي-ويليامز يُلبي شرطي الزمن والتردد معًا . [ 4 ] وهذا يُشير إلى أن إسقاط توزيع الزمن-التردد على محور الزمن أو التردد يُعطي طيف القدرة أو الطاقة اللحظي الصحيح، على التوالي.

  • الهامش الزمني : التكامل على التردد يستعيد القدرة اللحظية.
∫-∞∞جx(ت،و)دو=|x(ت)|2{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }C_{x}(t,f)\,df=|x(t)|^{2}}
الإثبات: هذا يتطلبΦ(η،0)=1{\displaystyle \Phi (\eta ,0)=1}الاستبدالτ=0{\displaystyle \tau =0}في النواة الأسية تعطيخبرة⁡[-α(η⋅0)2]=1{\displaystyle \exp[-\alpha (\eta \cdot 0)^{2}]=1}.
∫-∞∞جx(ت،و)دت=|X(و)|2{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }C_{x}(t,f)\,dt=|X(f)|^{2}}
الإثبات: هذا يتطلبΦ(0،τ)=1{\displaystyle \Phi (0,\tau )=1}الاستبدالη=0{\displaystyle \eta =0}في النواة الأسية تعطيخبرة⁡[-α(0⋅τ)2]=1{\displaystyle \exp[-\alpha (0\cdot \tau )^{2}]=1}.

القيمة الحقيقية

دالة التوزيعجx(ت،و){\displaystyle C_{x}(t,f)}تكون قيمها حقيقية دائمًا. وهذا مضمون لأن دالة النواة حقيقية وزوجية:Φ(η،τ)=Φ(-η،-τ){\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\Phi (-\eta ,-\tau )}وهذا يعني أن تحويل فورييه (التوزيع نفسه) سيكون حقيقياً. [ 5 ]

عدم تأثرها بتغيير الزمن والتردد

يظلّ CWD ثابتًا بغض النظر عن تغيرات الزمن والتردد. إذا تم تغيير الإشارة زمنيًا بمقدارت0{\displaystyle t_{0}}وفي التردد بواسطةو0{\displaystyle f_{0}}، يتم ببساطة إزاحة التوزيع الناتج بنفس المقدار في مستوى التردد الزمني.

اختيار المعلمات

المعلمةα{\displaystyle \alpha }(يشار إليه غالبًا باسم1/σ{\displaystyle 1/\sigma }في بعض الأدبيات حيث النواةخبرة⁡[-(πητ)2/σ]{\displaystyle \exp[-(\pi \eta \tau )^{2}/\sigma ]}) يتحكم في المفاضلة بين حل المصطلحات التلقائي وكبح المصطلحات المتقاطعة. [ 6 ]

  • كبيرα{\displaystyle \alpha }(صغيرσ{\displaystyle \sigma }) : تتلاشى النواة بسرعة كبيرة بعيدًا عن المحاور.
    • المزايا : قمع قوي للمصطلحات المتداخلة.
    • السلبيات : قد تكون المصطلحات التلقائية مشوشة أو مشوهة لأن النواة قد تقوم بتصفية بعض المحتويات عالية التردد للمصطلحات التلقائية نفسها.
  • صغيرα{\displaystyle \alpha }(كبيرσ{\displaystyle \sigma }) : تقترب النواة من الوحدة (1).
    • المزايا : دقة عالية في تحديد المصطلحات التلقائية (تقترب من توزيع ويغنر).
    • السلبيات : ضعف في قمع الحدود المتداخلة؛ يصبح التداخل واضحاً.

في التطبيقات العملية، تكمن قيمةα{\displaystyle \alpha }يتم اختيارها عادة بشكل تجريبي بناءً على خصائص الإشارة، وتتراوح عادةً بين 0.1 و 10. بالنسبة للإشارات ذات الهياكل المعقدة متعددة المكونات، يتم اختيار قيمة متوسطة لتحقيق التوازن بين وضوح المكونات وأنماط التداخل "الوهمية".

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, “تمثيل ميزات التردد الزمني باستخدام تركيز الطاقة: نظرة عامة على التطورات الحديثة،” معالجة الإشارات الرقمية ، المجلد 19، العدد 1، الصفحات 153-183، يناير 2009.
  2. ↑ تشوي، هيونغ-إيل؛ ويليامز، دبليو جيه (1989). "تحسين تمثيل التردد الزمني للإشارات متعددة المكونات باستخدام النوى الأسية" . معاملات IEEE في الصوتيات والكلام ومعالجة الإشارات . 37 (6): 862-871 .
  3. ↑ ليون كوهين، تحليل التردد الزمني: النظرية والتطبيقات، برنتيس هول، (1994)
  4. ↑ هلاواتش، ف.؛ بودرو-بارتلز، ج. ف. (1992). "تمثيلات الإشارات الخطية والتربيعية في مجال الزمن والتردد". مجلة معالجة الإشارات IEEE . 9 (2): 21-67 . doi : 10.1109/79.127284 .
  5. ↑ سيديتش، إي.؛ ديوروفيتش، آي.؛ جيانغ، ج. (2009). "تمثيل خصائص الزمن والتردد باستخدام تركيز الطاقة: نظرة عامة على التطورات الحديثة". معالجة الإشارات الرقمية . 19 (1): 153-183 . doi : 10.1016/j.dsp.2007.12.004 .
  6. ↑ بوعلام بوشاش، تحليل ومعالجة الإشارات الزمنية والترددية: مرجع شامل، إلسيفير، (2003)
  • ملاحظات صفية حول تحليل التردد الزمني وتحويل المويجات ، جيان جيون دينغ، قسم الهندسة الكهربائية، جامعة تايوان الوطنية (NTU)، تايبيه، تايوان، 2007.
  • S. Qian and D. Chen, Joint Time-Frequency Analysis: Methods and Applications, Chap. 5, Prentice Hall, NJ, 1996.
  • H. Choi و WJ Williams، "تمثيل محسّن للتردد الزمني للإشارات متعددة المكونات باستخدام النوى الأسية " ، IEEE. Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing، المجلد 37، العدد 6، الصفحات  862-871 ، يونيو 1989.
  • Y. Zhao, LE Atlas, and RJ Marks, “The use of cone-shape kernels for generalized time-frequency representations of nonstationy signals,” IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, vol. 38, no. 7, pp.  1084 – 1091, July 1990.