فئة مغلقة صغيرة

في نظرية الفئات ، وهي فرع من الرياضيات ، تُشكّل الفئات المغلقة المدمجة سياقًا عامًا لدراسة الكائنات الثنائية . يُعمّم مفهوم الكائن الثنائي المفهوم الأكثر شيوعًا لثنائية فضاء متجهي محدود الأبعاد . لذا، فإن المثال المُحفّز للفئة المغلقة المدمجة هو FdVect ، وهي فئة تحتوي على فضاءات متجهية محدودة الأبعاد ككائنات ، وتطبيقات خطية كتشاكلات ، مع جداء موتري كبنية أحادية . مثال آخر هو Rel ، وهي فئة تحتوي على مجموعات ككائنات، وعلاقات كتشاكلات ، مع بنية أحادية ديكارتية .

فئة أحادية متناظرة${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$تكون المجموعة مغلقة متراصة إذا كان كل عنصر فيها${\displaystyle A\in \mathbf {C} }$له كائن ثنائي . إذا تحقق هذا، فإن الكائن الثنائي يكون فريدًا حتى التشاكل القانوني ، ويُرمز له بـ${\displaystyle A^{*}}$.

بمزيد من التفصيل، شيء ما${\displaystyle A^{*}}$يُطلق عليه اسم ثنائي${\displaystyle A}$إذا كانت مزودة باثنين من التشكلات تسمى الوحدة${\displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$والوحدة​${\displaystyle \varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I}$، بما يحقق المعادلات

${\displaystyle \lambda _{A}\circ (\varepsilon _{A}\otimes id_{A})\circ \alpha _{A,A^{*},A}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{A})\circ \rho _{A}^{-1}=\mathrm {id} _{A}}$

و

$// _{أ^{*}},}$

أين${\displaystyle \lambda ,\rho }$وهما إدخال الوحدة على اليسار واليمين، على التوالي، و${\displaystyle \alpha }$هو الرابط.

ولتوضيح الأمر، سنعيد كتابة التراكيب المذكورة أعلاه بشكل تخطيطي.${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$لكي تكون المجموعات المركبة متراصة ومغلقة، نحتاج إلى أن تتساوى العناصر المركبة التالية${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$:

${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta }}A\otimes (A^{*}\otimes A){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes A^{*})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon \otimes A}}I\otimes A{\xrightarrow {\cong }}A}$

و${\displaystyle \mathrm {id} _{A^{*}}}$:

${\displaystyle A^{*}{\xrightarrow {\cong }}I\otimes A^{*}{\xrightarrow {\eta \otimes A^{*}}}(A^{*}\otimes A)\otimes A^{*}{\xrightarrow {\cong }}A^{*}\otimes (A\otimes A^{*}){\xrightarrow {A^{*}\otimes \epsilon }}A^{*}\otimes I{\xrightarrow {\cong }}A^{*}}$

وبشكل أعم، لنفترض${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$هي فئة أحادية ، وليست بالضرورة متناظرة، كما هو الحال في قواعد ما قبل المجموعة . المفهوم المذكور أعلاه لوجود ثنائية${\displaystyle A^{*}}$يتم استبدال كل عنصر A بعنصر له مرافق أيسر ومرافق أيمن .${\displaystyle A^{l}}$و${\displaystyle A^{r}}$، مع وحدة يسارية مقابلة${\displaystyle \eta _{A}^{l}:I\to A\otimes A^{l}}$الوحدة اليمنى${\displaystyle \eta _{A}^{r}:I\to A^{r}\otimes A}$، وحدة اليسار${\displaystyle \varepsilon _{A}^{l}:A^{l}\otimes A\to I}$، ووحدة اليمين${\displaystyle \varepsilon _{A}^{r}:A\otimes A^{r}\to I}$يجب أن تستوفي هذه الشروط الأربعة شروط السحب ، وكل منها عبارة عن متطابقات:

${\displaystyle A\to A\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{r}}}A\otimes (A^{r}\otimes A)\to (A\otimes A^{r})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}I\otimes A\to A}$

${\displaystyle A\to I\otimes A{\xrightarrow {\eta ^{l}}}(A\otimes A^{l})\otimes A\to A\otimes (A^{l}\otimes A){\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}A\otimes I\to A}$

و

${\displaystyle A^{r}\to I\otimes A^{r}{\xrightarrow {\eta ^{r}}}(A^{r}\otimes A)\otimes A^{r}\to A^{r}\otimes (A\otimes A^{r}){\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}A^{r}\otimes I\to A^{r}}$

${\displaystyle A^{l}\to A^{l}\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{l}}}A^{l}\otimes (A\otimes A^{l})\to (A^{l}\otimes A)\otimes A^{l}{\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}I\otimes A^{l}\to A^{l}}$

أي أن الفئة المغلقة المدمجة، في الحالة العامة، تكون صلبة من اليسار واليمين ، ومغلقة من الجانبين .

تجد الفئات المغلقة المدمجة غير المتناظرة تطبيقات في علم اللغة ، وتحديدًا في قواعد اللغة الفئوية ، وفي قواعد ما قبل الزمر ، حيث يُشترط وجود المرافقين الأيسر والأيمن المتميزين لتحديد ترتيب الكلمات في الجمل. في هذا السياق، تُسمى الفئات المونيدية المغلقة المدمجة بزمر لامبيك .

الفئات المغلقة المدمجة هي حالة خاصة من الفئات المغلقة أحادية الشكل ، والتي بدورها هي حالة خاصة من الفئات المغلقة .

الفئات المغلقة المدمجة هي تحديداً الفئات المتناظرة المستقلة . وهي أيضاً *-مستقلة .

كل فئة مغلقة متراصة C تقبل أثرًا . أي، لكل تشاكل${\displaystyle f:A\otimes C\to B\otimes C}$يمكن للمرء أن يُعرّف

${\displaystyle \mathrm {Tr_{A,B}^{C}} (f)=\rho _{B}\circ (id_{B}\otimes \varepsilon _{C})\circ \alpha _{B,C,C^{*}}\circ (f\otimes C^{*})\circ \alpha _{A,C,C^{*}}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{C^{*}})\circ \rho _{A}^{-1}:A\to B}$

والذي يمكن إثبات أنه أثر صحيح. من المفيد رسم هذا تخطيطيًا: ${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta _{C^{*}}}}A\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\;\;f\otimes C^{*}\;\;}}(B\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\cong }}B\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {B\otimes \varepsilon _{C}}}B\otimes I{\xrightarrow {\cong }}B.}$

المثال النموذجي هو الفئة FdVect التي تحتوي على فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة ككائنات، وتطبيقات خطية كتشاكلات. هنا${\displaystyle A^{*}}$هو الثنائي المعتاد للفضاء المتجهي${\displaystyle A}$.

كما أن فئة التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لأي مجموعة هي فئة مغلقة مضغوطة.

الفئة Vect ، التي تحتوي على جميع الفضاءات المتجهة ككائنات والخرائط الخطية كتشاكلات، ليست مغلقة مضغوطة؛ إنها مغلقة أحادية متناظرة.

تُعرف الفئة المونيدية غير المتناظرة، ولكنها تُحقق بديهيات الازدواجية المذكورة أعلاه، بالفئة الصلبة . وتُسمى الفئة المونيدية التي يكون لكل عنصر فيها عنصر مزدوج أيسر (أو أيمن) أحيانًا بالفئة المستقلة اليسرى (أو اليمنى) . وتُسمى الفئة المونيدية التي يكون لكل عنصر فيها عنصر مزدوج أيسر وآخر أيمن أحيانًا بالفئة المستقلة . أما الفئة المستقلة المتناظرة، فتُسمى فئة مغلقة متراصة.

• كيلي، جي إم ؛ لابلازا، إم إل (1980). "التماسك للفئات المغلقة المدمجة". مجلة الجبر البحت والتطبيقي . 19 : 193-213 . doi : 10.1016/0022-4049(80)90101-2 .
• كيلي، جي إم (1972). "حساب الدوال متعدد المتغيرات. الجزء الأول". التماسك في الفئات . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  281. الصفحات 66-105 . doi : 10.1007/BFb0059556 . ISBN  978-3-540-05963-9.
• هيوستن، روبن (2008). "المنتجات المنتهية هي منتجات ثنائية في فئة مغلقة متراصة". مجلة الجبر البحت والتطبيقي . 212 (2): 394-400 . arXiv : math/0604542 . doi : 10.1016/j.jpaa.2007.05.021 .