الفئة الصلبة

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 9 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الفئات ، وهي فرع من الرياضيات ، تُعرَّف الفئة الصلبة بأنها فئة أحادية يكون فيها كل عنصر صلبًا، أي أن له عنصرًا ثنائيًا X * (الفئة الداخلية Hom [ X , 1 ]) وتشاكلًا 1 → X ⊗ X * يحقق الشروط الطبيعية. تُسمى الفئة صلبة يمينًا أو صلبة يسارًا بناءً على ما إذا كانت لها عناصر ثنائية يمينًا أو عناصر ثنائية يسارًا. وقد عُرِّفت هذه الفئات لأول مرة (تبعًا لألكسندر غروتينديك ) على يد نيانترو سافيدرا ريفانو في أطروحته حول فئات تاناكيان . [ 1 ]

تعريف

يوجد على الأقل تعريفان متكافئان للصلابة.

  • يُطلق على الكائن X من فئة أحادية اسم الكائن الصلب الأيسر إذا كان هناك كائن Y ومورفيزماتηX:1→X⊗Y{\displaystyle \eta _{X}:\mathbf {1} \to X\otimes Y}وϵX:Y⊗X→1{\displaystyle \epsilon _{X}:Y\otimes X\to \mathbf {1} }بحيث يكون كلا التركيبين

X →ηX⊗أنادX (X⊗Y)⊗X →αX،Y،X-1 X⊗(Y⊗X) →أنادX⊗ϵX X{\displaystyle X~{\xrightarrow {\eta _{X}\otimes \mathrm {id} _{X}}}~(X\otimes Y)\otimes X~{\xrightarrow {\alpha _{X,Y,X}^{-1}}}~X\otimes (Y\otimes X)~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{X}\otimes \epsilon _{X}}}~X}

Y →أنادY⊗ηX Y⊗(X⊗Y) → αX،Y،X  (Y⊗X)⊗Y →ϵX⊗أنادY Y{\displaystyle Y~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{Y}\otimes \eta _{X}}}~Y\otimes (X\otimes Y)~{\xrightarrow {~\alpha _{X,Y,X}~}}~(Y\otimes X)\otimes Y~{\xrightarrow {\epsilon _{X}\otimes \mathrm {id} _{Y}}}~Y}

هي متطابقات. ويُعرَّف الجسم الصلب القائم بشكل مماثل.

المعكوس هو كائن X −1 بحيث يكون كل من X ⊗ X −1 و X −1 ⊗ X متماثلين مع 1 ، وهو الكائن المحايد للفئة المونيدية. إذا كان للكائن X معكوس أيسر (أو أيمن) X −1 بالنسبة للجداء الموتري، فإنه يكون صلبًا أيسر (أو أيمن)، ويكون X * = X −1 .

تؤدي عملية أخذ الثنائيات إلى دالة متغايرة على فئة صلبة.

الاستخدامات

يُعدّ تعريف أثر التشاكل الداخلي لجسم صلب أحد التطبيقات المهمة للصلابة. يمكن تعريف الأثر لأي فئة محورية ، أي فئة صلبة بحيث يكون (  ) ** ، وهو المؤثر الذي يأخذ الثنائية مرتين مكررتين، متماثلًا مع مؤثر التطابق. عندئذٍ، لأي جسم صلب أيمن X ، وأي جسم آخر Y ، يمكننا تعريف التشاكل.

ϕX،Y:{حoم(1،X*⊗Y)⟶حoم(X،Y)و⟼(ϵX⊗أنادY)∘(أنادX⊗و){\displaystyle \phi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (X,Y)\\f&\longmapsto &(\epsilon _{X}\otimes id_{Y})\circ (id_{X}\otimes f)\end{array}}\right.}

وتماثلها المتبادل

ψX،Y:{حoم(X،Y)⟶حoم(1،X*⊗Y)ز⟼(أنادX*⊗ز)∘ηX{\displaystyle \psi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (X,Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)\\g&\longmapsto &(id_{X^{*}}\otimes g)\circ \eta _{X}\end{array}}\right.}.

ثم لأي تشاكل داخليو:X→X{\displaystyle f:X\to X}، يُعرَّف أثر الدالة f بأنه التركيب:

تر⁡و:1→ψX،X(و)X*⊗X→γX،XX⊗X*→ϵX1،{\displaystyle \mathop {\mathrm {tr} } f:\mathbf {1} {\xrightarrow {\psi _{X,X}(f)}}X^{*}\otimes X{\xrightarrow {\gamma _{X,X}}}X\otimes X^{*}{\xrightarrow {\epsilon _{X}}}\mathbf {1} ,}

يمكننا المضي قدماً وتحديد بُعد الجسم الصلب على النحو التالي:

خافت⁡X:=تر⁡ أنادX{\displaystyle \dim X:=\mathop {\mathrm {tr} } \ \mathrm {id} _{X}}.

تُعدّ الصلابة مهمة أيضاً بسبب علاقتها بالتماثلات الداخلية. إذا كان X كائناً صلباً من اليسار، فإن كل تماثل داخلي من الشكل [ X , Z ] موجود ومتماثل مع Z ⊗ Y. على وجه الخصوص، في فئة صلبة، توجد جميع التماثلات الداخلية.

المصطلحات البديلة

تُسمى الفئة المونيدية التي يكون لكل عنصر فيها ثنائي أيسر (أو أيمن) أحيانًا بالفئة المستقلة اليسرى (أو اليمنى). وتُسمى الفئة المونيدية التي يكون لكل عنصر فيها ثنائي أيسر وثنائي أيمن أحيانًا بالفئة المستقلة. أما الفئة المستقلة المتناظرة فتُسمى بالفئة المغلقة المدمجة .

الفئة المستقلة هي فئة أحادية يوجد فيها كائنات ثنائية . [ 2 ] الفئة المستقلة اليسرى (أو اليمنى ) هي فئة أحادية يكون لكل كائن فيها كائن ثنائي أيسر (أو أيمن) . الفئة المستقلة هي فئة أحادية يكون لكل كائن فيها كائن ثنائي أيسر وآخر أيمن . [ 3 ] الفئة الصلبة مرادف للفئة المستقلة. في الفئة الأحادية المتناظرة ، يكون وجود الثنائيات اليسرى مكافئًا لوجود الثنائيات اليمنى، وتُسمى الفئات من هذا النوع بالفئات المغلقة المدمجة (المتناظرة) . في قواعد الفئات ، تُسمى الفئات الصلبة من اليسار واليمين غالبًا بالمجموعات المسبقة ، وتُستخدم في حساب لامبيك ، وهو امتداد غير متناظر للمنطق الخطي .

يرتبط مفهوما الفئة المستقلة* والفئة المستقلة ارتباطًا وثيقًا، فكل فئة مستقلة هي فئة مستقلة*. يمكن وصف الفئة المستقلة* بأنها فئة توزيعية خطية ذات نفي (يساري ويميني)؛ تحتوي هذه الفئات على ضربين أحاديين مرتبطين بقانون توزيعي. في حالة تطابق الضربين الأحاديين واستخلاص التوزيعات من تماثل التجميع للبنية الأحادية المفردة، نحصل على فئات مستقلة.

التطبيقات

تتشكل فئة الدوافع النقية من خلال تشديد فئة الدوافع النقية الفعالة.

ملحوظات

  1. ^ ريفانو، ن. سافيدرا (1972). الفئات Tannakiennes . ملاحظات محاضرة في الرياضيات (باللغة الفرنسية). المجلد.  265. سبرينغر. دوى : 10.1007/BFb0059108 . رقم ISBN 978-3-540-37477-0.
  2. ↑ يستخدم بعض المؤلفين هذا المصطلح للفئة المغلقة المتناظرة أحادية الشكل ، أو للفئة أحادية الشكل ثنائية الإغلاق عندما لا يُفترض التناظر.
  3. ^ فوكس وشويجيرت 2003 ، ص. 34 التعريف 3.5 

مراجع