دالة التماثل

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الفئات ، تُنتج مجموعات التماثل (أي مجموعات التشكلات بين الكائنات ) دوالاً مهمة لفئة المجموعات . تُسمى هذه الدوال بالدوال التماثلية ولها تطبيقات عديدة في نظرية الفئات وفروع أخرى من الرياضيات.

ليكن C فئة صغيرة محليًا (أي فئة تكون فيها الفئات المتجانسة عبارة عن مجموعات وليست فئات مناسبة ).

بالنسبة لجميع العناصر A و B في C ، نُعرّف دالتين لفئة المجموعات على النحو التالي:

Hom( A , – )  : C → Set	Hom( – , B )  : C → Set [ 1 ]
هذا دالة متغيرة مصاحبة معطاة بالصيغة التالية: تقوم الدالة Hom( A , – ) بربط كل كائن X في C بمجموعة التشكلات Hom( A , X ). تقوم الدالة Hom( A , – ) بتحويل كل تشاكل f  : X → Y إلى الدالة Hom( A , f )  : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ) معطى بواسطة ${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$لكل g في Hom( A , X ).	هذا دالة متغايرة معطاة بالصيغة التالية: تقوم الدالة Hom( – , B ) بربط كل كائن X في C بمجموعة التشكلات Hom( X , B ) تقوم الدالة Hom( – , B ) بتحويل كل تشاكل h  : X → Y إلى الدالة Hom( h , B )  : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ) معطى بواسطة ${\displaystyle g\mapsto g\circ h}$لكل g في Hom( Y , B ).

يُطلق على الدالة Hom( – , B ) أيضًا اسم دالة نقاط الكائن B.

لاحظ أن تثبيت الوسيط الأول لـ Hom يُنتج بشكل طبيعي دالة متغايرة، وتثبيت الوسيط الثاني يُنتج بشكل طبيعي دالة متغايرة عكسية. هذا ناتج عن طريقة تركيب التشكلات.

يرتبط زوج الدوال Hom( A , – ) و Hom( – , B ) ارتباطًا طبيعيًا . لأي زوج من التشكلات f  : B → B ′ و h  : A ′ → A، يكون المخطط التالي تبادليًا :

كلا المسارين يرسلان g  : A → B إلى f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′. 

تُشير خاصية التبديل في الرسم البياني أعلاه إلى أن Hom( – , – ) دالة ثنائية من C × C إلى Set، وهي دالة متغايرة في المتغير الأول ومتغايرة في المتغير الثاني. وبصورة مكافئة، يمكننا القول أن Hom( – , – ) دالة ثنائية

الصفحة الرئيسية( – , – )  : C ^op × C → Set

حيث C ^op هي الفئة المقابلة لـ C. ويُستخدم الرمز Hom _C ( – , – ) أحيانًا للدلالة على Hom( – , – ) من أجل التأكيد على الفئة التي تشكل المجال.

بالرجوع إلى الرسم التخطيطي التبادلي أعلاه، يلاحظ المرء أن كل تشاكل

h  : A ′ → A

يؤدي إلى تحول طبيعي

هوم( ح , – )  : هوم( أ , – ) → هوم( أ ′ , – )

وكل شكل من أشكال التشاكل

f  : B → B ′

يؤدي إلى تحول طبيعي

هوم( – ، و )  : هوم( – ، ب ) → هوم( – ، ب ′ )

تُشير مُبرهنة يونيدا إلى أن كل تحويل طبيعي بين دوال هوم يكون على هذا الشكل. بعبارة أخرى، تُؤدي دوال هوم إلى تضمين كامل ودقيق للفئة C في فئة الدوال Set ^{C op} (متغاير أو مُغاير عكسيًا حسب دالة هوم المُستخدمة).

قد تمتلك بعض الفئات دالة تعمل كدالة Hom، ولكنها تأخذ قيمًا في الفئة C نفسها، بدلاً من المجموعة Set . تُعرف هذه الدالة بدالة Hom الداخلية ، وغالبًا ما تُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}$

للتأكيد على طبيعته الشبيهة بالمنتج، أو كما

${\displaystyle \mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C}$

للتأكيد على طبيعتها الوظيفية، أو أحيانًا ببساطة بأحرف صغيرة:

${\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.}$للاطلاع على أمثلة، انظر فئة العلاقات .

تُسمى الفئات التي تمتلك دالة Hom داخلية بالفئات المغلقة . أحدها يمتلك ذلك

${\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)}$،

حيث I هو الكائن الوحدوي للفئة المغلقة. في حالة الفئة الأحادية المغلقة ، يمتد هذا إلى مفهوم التقسيم الجزئي ، أي أن

${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)}$

أين${\displaystyle \otimes }$هو دالة ثنائية ، دالة الضرب الداخلي التي تُعرّف فئة أحادية . التشاكل طبيعي في كل من X و Z. بعبارة أخرى، في فئة أحادية مغلقة، تكون دالة Hom الداخلية دالة مُرافقة لدالة الضرب الداخلي. الكائن${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$يُطلق عليه اسم هوم الداخلي . عندما${\displaystyle \otimes }$هو حاصل الضرب الديكارتي${\displaystyle \times }$الكائن${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$يُطلق عليه اسم الكائن الأسي ، وغالبًا ما يُكتب على النحو التالي:${\displaystyle Z^{Y}}$.

تشكل الهومز الداخلية، عند ربطها معًا، لغةً تُسمى اللغة الداخلية للفئة. ومن أشهر هذه اللغات حساب لامدا المكتوب ببساطة ، وهو اللغة الداخلية للفئات الديكارتية المغلقة ، ونظام النوع الخطي ، وهو اللغة الداخلية للفئات الأحادية المتناظرة المغلقة .

لاحظ أن الدالة من الشكل

Hom( – , A )  : C ^op → Set

هو حزمة مسبقة ؛ وبالمثل، فإن Hom( A , – ) هو حزمة مسبقة مشتركة .

يُطلق على الدالة F  : C → Set التي تكون متماثلة بشكل طبيعي مع Hom( A , – ) لبعض A في C اسم الدالة القابلة للتمثيل (أو الحزمة المشتركة القابلة للتمثيل)؛ وبالمثل، يمكن تسمية الدالة المتغايرة المكافئة لـ Hom( – , A ) بالدالة المشتركة القابلة للتمثيل.

لاحظ أن Hom( – , – )  : C ^op × C → Set هو دالة أولية ، وتحديدًا، هي الدالة الأولية المحايدة.${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C}$.

يحافظ المؤثر الداخلي على النهايات ؛ أي،${\displaystyle \operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C}$يرسل حدودًا إلى حدود، بينما${\displaystyle \operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C}$يرسل الحدود${\displaystyle C^{\text{op}}}$أي النهايات المشتركة في${\displaystyle C}$، إلى حدود. بمعنى ما، يمكن اعتبار هذا تعريفًا للحدود أو الحدود المشتركة.

يمكن إعطاء الدالة الداخلية Hom( E , – )  : Set → Set بنية أحادية ؛ تسمى هذه الأحادية أحادية البيئة (أو القارئ) .

إذا كانت A فئة تبديلية و A عنصرًا من عناصر A ، فإن Hom _A ( A , – ) دالة متغايرة يسارية تامة من A إلى فئة Ab للمجموعات التبديلية . وهي تامة إذا وفقط إذا كانت A إسقاطية . ^{[ 2 ]}

ليكن R حلقة و M وحدة نمطية يسارية على R. الدالة Hom _R ( M , – ): Mod - R → Ab هي دالة مرافقة لدالة الضرب الموتري –${\displaystyle \otimes }$_R M : Ab → Mod - R .

• دالة خارجية
• فئة الدالة
• دالة قابلة للتمثيل

• دالة التماثل في المختبر n
• التجانس الداخلي في مختبر ن