الفئة المونيدية

في الرياضيات، الفئة المونيدية (أو فئة الموترات ) هي فئة${\displaystyle \mathbf {C} }$مزود بوحدة ثنائية الوظائف

${\displaystyle \otimes$ :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }

هذا تجميعي حتى تماثل طبيعي ، وكائن I هو عنصر محايد أيمن وأيسر لـ ⊗ ، مرة أخرى حتى تماثل طبيعي. تخضع التماثلات الطبيعية المرتبطة لشروط تماسك معينة ، تضمن أن جميع المخططات ذات الصلة تبادلية .

يحوّل الضرب الموتري العادي الفضاءات المتجهة ، والمجموعات الأبيلية ، ووحدات R ، وجبر R إلى فئات أحادية. ويمكن اعتبار الفئات الأحادية تعميمًا لهذه الأمثلة وغيرها. كما يمكن اعتبار كل فئة أحادية ( صغيرة ) بمثابة " تصنيف " لفئة أحادية أساسية ، وهي الفئة الأحادية التي عناصرها هي فئات التشاكل لكائنات الفئة، والتي تُعطى عمليتها الثنائية بواسطة الضرب الموتري للفئة.

ثمة تطبيق مختلف تمامًا، يمكن اعتبار الفئات المونيدية فيه تجريدًا، وهو نظام من أنواع البيانات المغلقة تحت مُنشئ نوع يأخذ نوعين ويبني نوعًا مُجمّعًا. تعمل الأنواع ككائنات، و⊗ هو مُنشئ التجميع. تُعدّ خاصية التجميع حتى التماثل طريقة للتعبير عن وجود طرق مختلفة لتجميع البيانات نفسها، مثل:${\displaystyle ((a,b),c)}$و${\displaystyle (a,(b,c))}$— تخزين نفس المعلومات حتى وإن لم تكن القيم الإجمالية متطابقة بالضرورة. قد يكون نوع التجميع مماثلاً لعملية الجمع ( النوع sum ) أو الضرب ( النوع product ). بالنسبة للنوع product، يكون الكائن المطابق هو الوحدة.${\displaystyle ()}$لذا، يوجد ساكن واحد فقط من هذا النوع، ولهذا السبب يكون أي ناتج معه متماثلًا دائمًا مع المعامل الآخر. بالنسبة لمجموع الأنواع، يكون الكائن المطابق هو النوع الفارغ ، الذي لا يخزن أي معلومات، ومن المستحيل الوصول إلى ساكنه. لا يفترض مفهوم الفئة الأحادية إمكانية فصل قيم هذه الأنواع المجمعة؛ بل على العكس، فهو يوفر إطارًا يوحد نظرية المعلومات الكلاسيكية والكمومية . ^{[ 1 ]}

In category theory, monoidal categories can be used to define the concept of a monoid object and an associated action on the objects of the category. They are also used in the definition of an enriched category.

Monoidal categories have numerous applications outside category theory proper. They are used to define models for the multiplicative fragment of intuitionisticlinear logic. They also form the mathematical foundation for the topological order in condensed matter physics. Braided monoidal categories have applications in quantum information, quantum field theory, and string theory.

A monoidal category is a category ${\displaystyle \mathbf {C} }$ equipped with a monoidal structure. A monoidal structure consists of the following:

• a bifunctor${\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ called the monoidal product,^[2] or tensor product,
• an object ${\displaystyle I}$ called the monoidal unit,^[2]unit object, or identity object,
• three natural isomorphisms subject to certain coherence conditions expressing the fact that the tensor operation:
  • is associative: there is a natural (in each of three arguments ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$) isomorphism ${\displaystyle \alpha }$, called the associator, with components ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}$,
  • has ${\displaystyle I}$ as left and right identity: there are two natural isomorphisms ${\displaystyle \lambda }$ and ${\displaystyle \rho }$, respectively called the left unitor and right unitor, with components ${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}$ and ${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}$.

Note that a good way to remember how ${\displaystyle \lambda }$ and ${\displaystyle \rho }$ act is by alliteration; Lambda, ${\displaystyle \lambda }$, cancels the identity on the left, while Rho, ${\displaystyle \rho }$, cancels the identity on the right.

The coherence conditions for these natural transformations are:

• for all ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle D}$ in ${\displaystyle \mathbf {C} }$, the pentagon diagram

commutes;

• for all ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle \mathbf {C} }$, the triangle diagram

commutes.

A strict monoidal category is one for which the natural isomorphisms α, λ and ρ are identities. Every monoidal category is monoidally equivalent to a strict monoidal category.

• يمكن اعتبار أي فئة ذات جداءات منتهية فئة أحادية، حيث يكون الجداء هو الجداء الأحادي، والكائن النهائي هو الوحدة. تُسمى هذه الفئة أحيانًا فئة أحادية ديكارتية . على سبيل المثال:
  • المجموعة ، وهي فئة المجموعات التي يكون فيها الضرب الديكارتي هو الوحدة، أي مجموعة معينة مكونة من عنصر واحد تعمل كوحدة.
  • القط ، فئة الفئات الصغيرة مع فئة المنتج ، حيث تكون الفئة التي تحتوي على كائن واحد وخريطة هويته فقط هي الوحدة.
• وبالمثل، فإن أي فئة ذات نواتج مشتركة منتهية تكون أحادية، حيث يكون الناتج المشترك هو الناتج الأحادي، والكائن الأولي هو الوحدة. وتسمى هذه الفئة الأحادية بالفئة الأحادية الكارتيزية المشتركة.
• R -Mod ، وهي فئة الوحدات النمطية على حلقة تبديلية R ، هي فئة أحادية، حيث يمثل حاصل الضرب الموتري للوحدات النمطية ⊗ _R حاصل الضرب الأحادي، وتمثل الحلقة R (التي تُعتبر وحدة نمطية على نفسها) عنصر الوحدة. ومن الحالات الخاصة ما يلي:
  • K -Vect هي فئة الفضاءات المتجهة على حقل K ، حيث يمثل الفضاء المتجه أحادي البعد K وحدةً لها. وتندرج K -FdVect ( فئة الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة ) تحت هذه الفئة بالامتداد.
  • Ab ، فئة المجموعات الأبيلية ، حيث تعمل مجموعة الأعداد الصحيحة Z كوحدة.
• بالنسبة لأي حلقة تبديلية R ، فإن فئة الجبر R هي أحادية مع حاصل الضرب الموتري للجبر كحاصل ضرب و R كوحدة.
• إن فئة الفضاءات المدببة (المقتصرة على الفضاءات المولدة بشكل مضغوط على سبيل المثال) هي أحادية مع كون الضرب الساحق بمثابة الضرب والكرة المدببة 0 (فضاء منفصل من نقطتين) بمثابة الوحدة.
• إن فئة جميع الدوال الداخلية على فئة C هي فئة أحادية صارمة مع تركيب الدوال كحاصل ضرب والدالة المطابقة كوحدة.
• كما هو الحال بالنسبة لأي فئة E ، فإن الفئة الفرعية الكاملة التي يشملها أي عنصر معين هي فئة أحادية، وينطبق الأمر نفسه على أي فئة ثنائية E ، وأي عنصر C في Ob( E )، فإن الفئة الفرعية الثنائية الكاملة لـ E التي يشملها { C } هي فئة أحادية. في حالة E = Cat ، نحصل على مثال الدوال الداخلية المذكور أعلاه.
• تُعتبر أنصاف الشبكات ذات التقاطع المحدود من الأعلى فئات أحادية متناظرة صارمة : المنتج هو التقاطع والوحدة هي العنصر العلوي.
• أي مونيد عادي${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$هي فئة أحادية صغيرة ذات مجموعة كائنات${\displaystyle M}$، فقط متطابقات للتشاكلات ،${\displaystyle \cdot }$كحاصل ضرب موتر و${\displaystyle 1}$باعتبارها كائنها المحايد. وعلى العكس من ذلك، فإن مجموعة فئات التشاكل (إن صح التعبير) لفئة أحادية هي أحادية بالنسبة للجداء الموتري.
• أي أحادي تبديلي${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$يمكن تمثيلها كفئة أحادية ذات عنصر واحد. تذكر أن الفئة ذات العنصر الواحد هي نفسها الفئة الأحادية العادية. باستخدام حجة إيكمان-هيلتون ، بإضافة جداء أحادي آخر على${\displaystyle M}$يتطلب ذلك أن يكون الناتج تبادليًا.

يستنتج من شروط التماسك الثلاثة المحددة أن فئة كبيرة من المخططات (أي المخططات التي تُبنى مورفيزماتها باستخدام${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \lambda }$،${\displaystyle \rho }$(الهويات والضرب الموتري) تتبادل: هذه هي " نظرية التماسك " لماك لين . يُذكر أحيانًا بشكل غير دقيق أن جميع هذه المخططات تتبادل.

يوجد مفهوم عام للكائن المونويدي في فئة مونويدية، وهو تعميم للمفهوم العادي للمونويد من الجبر المجرد . المونويدات العادية هي تحديدًا الكائنات المونويدية في الفئة المونويدية الديكارتية Set . علاوة على ذلك، يمكن اعتبار أي فئة مونويدية صارمة (صغيرة) كائنًا مونويديًا في فئة الفئات Cat (المزودة بالبنية المونويدية المستحثة بواسطة الضرب الديكارتي).

الدوال المونويدية هي الدوال بين الفئات المونويدية التي تحافظ على حاصل الضرب الموتري، والتحويلات الطبيعية المونويدية هي التحويلات الطبيعية بين تلك الدوال التي تكون "متوافقة" مع حاصل الضرب الموتري.

يمكن اعتبار كل فئة أحادية بمثابة الفئة B (∗, ∗) لفئة ثنائية B تحتوي على كائن واحد فقط، ويرمز له بـ ∗.

إن مفهوم الفئة C المخصبة في فئة أحادية M يحل محل مفهوم مجموعة من التشكلات بين أزواج من الكائنات في C بمفهوم كائن M من التشكلات بين كل كائنين في C.

• إذا، في فئة أحادية،${\displaystyle A\otimes B}$و${\displaystyle B\otimes A}$إذا كانت هذه الفئات متماثلة طبيعياً بطريقة تتوافق مع شروط التماسك، فإننا نتحدث عن فئة أحادية مضفرة . وإذا كان هذا التماثل الطبيعي هو معكوسه، فإننا نحصل على فئة أحادية متناظرة .
• الفئة المونيدية المغلقة هي فئة مونويدية يكون فيها المؤثر${\displaystyle X\mapsto X\otimes A}$له مُرافق أيمن ، والذي يُسمى "المُؤثر الداخلي المتجانس".${\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)}$وتشمل الأمثلة الفئات المغلقة الديكارتية مثل Set ، وهي فئة المجموعات، والفئات المغلقة المدمجة مثل FdVect ، وهي فئة فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة.
• الفئات المستقلة (أو الفئات المغلقة المدمجة أو الفئات الصلبة ) هي فئات أحادية يوجد فيها ثنائيات ذات خصائص جيدة؛ إنها تجرد فكرة FdVect .
• الفئات المونيدية المتناظرة ذات الخنجر ، المزودة بدالة خنجر إضافية، تُجرّد فكرة فضاءات هيلبرت ذات الأبعاد المحدودة (FdHilb ). وتشمل هذه الفئات المدمجة ذات الخنجر .
• فئات تاناكيان هي فئات أحادية غنية بحقل، وهي تشبه إلى حد كبير فئات التمثيل للمجموعات الجبرية الخطية .

• الهيكل العظمي (نظرية الفئات)
• الفئة الكروية
• فعل الفئة المونويدية

• الوسائط المتعلقة بفئة المونيدال في ويكيميديا ​​كومنز