المونويد (نظرية الفئات)

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، يُعرف المونويد (أو كائن المونويد ، أو المونويد الداخلي ، أو الجبر )${\displaystyle (M,\mu ,\eta )}$في فئة أحادية${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$هو كائن${\displaystyle M}$بالإضافة إلى شكلين

• ${\displaystyle \mu \colon M\otimes M\to M}$تسمى عملية الضرب ،
• ${\displaystyle \eta \colon I\to M}$تسمى الوحدة ،

بحيث يكون الرسم التخطيطي الخماسي

ومخطط الوحدة

التنقل . في الترميز أعلاه،${\displaystyle 1}$هو تشاكل الهوية لـ${\displaystyle M}$،${\displaystyle I}$هو عنصر الوحدة و${\displaystyle \alpha ,\lambda }$و${\displaystyle \rho }$وهي على التوالي: الرابط، والوحدة اليسرى، والوحدة اليمنى للفئة المونيدية${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

بالمثل، كومونويد في فئة أحادية${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هو أحادي في الفئة الثنائية${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$.

لنفترض أن الفئة المونيدية${\displaystyle {\mathcal {C}}}$لديها ضفيرة${\displaystyle \gamma }$أحادي${\displaystyle M}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تكون عملية التبديل عندما${\displaystyle \mu \circ \gamma =\mu }$.

• الكائن الأحادي في فئة المجموعات ( التي تتميز ببنية أحادية ناتجة عن الضرب الديكارتي ) هو أحادي بالمعنى المعتاد. في هذا السياق:
  • كائن الوحدة${\displaystyle I}$يمكن اعتبار أي عنصر من عناصر الفئة الأحادية عنصرًا منفردًا.
  • الضرب${\displaystyle \mu }$يتوافق مع عملية المونويد بالمعنى المعتاد.
  • الوحدة${\displaystyle \eta }$يتوافق مع الدالة التي تربط العضو الوحيد من${\displaystyle I}$إلى عنصر الهوية في المونويد.
• الكائن الأحادي في Top ، فئة الفضاءات الطوبولوجية (مع البنية الأحادية المستحثة بواسطة طوبولوجيا المنتج )، هو أحادي طوبولوجي .
• إنّ الكائن الأحادي في فئة الأحاديات (مع الضرب المباشر للأحاديات) هو ببساطة أحادي تبديلي . وهذا ما يتبين بسهولة من حجة إيكمان-هيلتون .
• الكائن الأحادي في فئة الشبكات شبه الكاملة Sup (مع البنية الأحادية المستحثة بواسطة الضرب الديكارتي) هو كمي أحادي .
• الكائن الأحادي في ( Ab , ⊗ _Z , Z ) ، فئة المجموعات الأبيلية ، هو حلقة .
• بالنسبة لحلقة تبديلية R ، يكون الكائن أحاديًا في
  • ( R - Mod , ⊗ _R , R ) ، فئة الوحدات النمطية على R ، هي جبر R.
  • فئة الوحدات المتدرجة هي جبر R متدرج .
  • فئة مجمعات السلاسل من وحدات R هي جبر تفاضلي متدرج .
• الكائن أحادي الوحدة في K - Vect ، فئة فضاءات المتجهات K (مرة أخرى، مع الضرب الموتري)، هو جبر K ترابطي أحادي ، والكائن أحادي الوحدة هو جبر مشترك K.
• بالنسبة لأي فئة C ، فإن فئة [ C , C ] من دوالها الداخلية لها بنية أحادية مستحثة بواسطة التركيب ودالة الهوية I C. _الكائن الأحادي في [ C , C ] هو أحادي على C.
• في أي فئة ذات عنصر نهائي وحاصل ضرب منتهٍ ، يصبح كل عنصر عنصرًا أحاديًا مشتركًا عبر التشكل القطري Δ _X  : X → X × X. وبالمثل ، في فئة ذات عنصر ابتدائي وحاصل ضرب مشترك منتهٍ ، يصبح كل عنصر عنصرًا أحاديًا عبر id _X ⊔ id _X  : X ⊔ X → X.

إذا كان لدينا شبهان ( M , μ , η ) و ( M ′, μ ′, η ′) في فئة شبهية C ، فإن التشكل f  : M → M ′ هو تشكل شبهان بين شبهان عندما

• و ∘ μ = μ ′ ∘ ( و ⊗ و ),
• f ∘ η = η ′.

بمعنى آخر، المخططات التالية

،

التنقل.

تُكتب فئة المونويدات في C ومورفيزماتها المونويدية Mon _C . ^{[ 1 ]}

• Act-S ، فئة المونيدات التي تعمل على المجموعات

• عشب البحر، ماتي؛ كناور، أولريش. ميخالوف، ألكسندر ف. (2000). المونويدات، الأفعال والفئات . والتر دي جرويتر. رقم ISBN 3-11-015248-7.