استنسل صغير الحجم

في الرياضيات ، وخاصةً في مجال التحليل العددي المعروف باسم المعادلات التفاضلية الجزئية العددية ، يُعدّ الاستنسل المضغوط نوعًا من الاستنسل يستخدم تسع عقد فقط في طريقة التقطيع ثنائية الأبعاد. فهو يستخدم العقدة المركزية والعقد المجاورة لها فقط . بالنسبة لأي شبكة منظمة تستخدم استنسلًا مضغوطًا في بُعد واحد أو بُعدين أو ثلاثة أبعاد، يكون الحد الأقصى لعدد العقد 3 أو 9 أو 27 على التوالي. ويمكن مقارنة الاستنسل المضغوط بالاستنسل غير المضغوط . يُستخدم الاستنسل المضغوط حاليًا في العديد من برامج حل المعادلات التفاضلية الجزئية ، بما في ذلك العديد من البرامج في مجالات ديناميكا الموائع الحسابية (CFD) وتحليل العناصر المحدودة (FEA) وغيرها من برامج الحل الرياضية المتعلقة بالمعادلات التفاضلية الجزئية ^{[ 1 ] [ 2 ] .}

يُعطى نموذج النقطتين للمشتقة الأولى للدالة بالصيغة التالية:

$${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f{\left(x_{0}{-}h\right)}}{2h}}+{\mathcal {O}}{\left(h^{2}\right)}.}$$

يتم الحصول على ذلك من خلال توسيع متسلسلة تايلور للمشتقة الأولى للدالة المعطاة بواسطة:

$${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f''(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .}$$

استبدال${\displaystyle h}$مع${\displaystyle -h}$لدينا:

$${\displaystyle f'(x_{0})=-{\frac {f{\left(x_{0}{-}h\right)}-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .}$$

ينتج عن جمع المعادلتين أعلاه معًا إلغاء الحدود التي تحتوي على قوى فردية لـ${\displaystyle h}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}2f'(x_{0})&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f{\left(x_{0}{-}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \\[1ex]f'(x_{0})&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f{\left(x_{0}{-}h\right)}}{2h}}-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \\&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f{\left(x_{0}{-}h\right)}}{2h}}+{\mathcal {O}}{\left(h^{2}\right)}.\end{aligned}}}$$

على سبيل المثال، يتم إعطاء قالب النقاط الثلاث للمشتقة الثانية لدالة ما على النحو التالي:

$${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}+f{\left(x_{0}{-}h\right)}-2f(x_{0})}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}{\left(h^{2}\right)}.}$$

يتم الحصول على ذلك من خلال توسيع متسلسلة تايلور للمشتقة الأولى للدالة المعطاة بواسطة: $${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f''(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .}$$

استبدال${\displaystyle h}$مع${\displaystyle -h}$لدينا: $${\displaystyle f'(x_{0})=-{\frac {f{\left(x_{0}{-}h\right)}-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .}$$

ينتج عن طرح المعادلتين أعلاه إلغاء الحدود التي تحتوي على قوى زوجية لـ${\displaystyle h}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f{\left(x_{0}{-}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .\\[1ex]f^{(2)}(x_{0})&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}+f{\left(x_{0}{-}h\right)}-2f(x_{0})}{h^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{2}+\cdots .\\[1ex]f^{(2)}(x_{0})&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}+f{\left(x_{0}{-}h\right)}-2f(x_{0})}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}{\left(h^{2}\right)}.\end{aligned}}}$$

• الاستنسل (التحليل العددي)
• استنسل غير مضغوط
• استنسل خماسي النقاط