استنسل خماسي النقاط

في التحليل العددي ، عند وجود شبكة مربعة أحادية أو ثنائية الأبعاد، فإنّ قالب النقاط الخمس لنقطة ما في الشبكة هو قالب يتكون من النقطة نفسها مع جيرانها الأربعة. يُستخدم هذا القالب لكتابة تقريبات الفروق المحدودة للمشتقات عند نقاط الشبكة، وهو مثال على التفاضل العددي .

في بُعد واحد

في بُعد واحد، إذا كانت المسافة بين النقاط في الشبكة هي h ، فإنّ استنسل النقاط الخمس لنقطة x في الشبكة هو

\{x-2h,xh,x,x+h,x+2h\}.

المشتق الأول أحادي البعد

يمكن تقريب المشتقة الأولى لدالة f لمتغير حقيقي عند نقطة x باستخدام قالب من خمس نقاط على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

f'(x)\approx {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(xh)+f(x-2h)}{12h}}

النقطة المركزية f ( x ) نفسها غير متضمنة، فقط النقاط الأربع المجاورة لها.

الاشتقاق

يمكن الحصول على هذه الصيغة من خلال كتابة متسلسلات تايلور الأربعة لـ $f(x\pm h)$ و $f(x\pm 2h)$ عند النقطة $a$ ، حتى حدود h ³ (أو حتى حدود h ⁵ للحصول على تقدير للخطأ أيضًا)، مع تقييم كل سلسلة عند $a=x\mp h$ و $a=x\mp 2h$ على التوالي (للحصول على كل شيء بمصطلحات مشتركة) $f^{(k)}(x)$ ثم نحل نظام المعادلات الأربع هذا للحصول على f ′ ( x ). في الواقع، لدينا عند النقطتين x + h و x − h :

f(x\pm h)=f(x)\pm hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)\pm {\frac {h^{3}}{6}}f^{(3)}(x)+O_{1\pm }(h^{4}).\qquad (E_{1\pm }).

التقييم $(E_{1+})-(E_{1-})$ أعطنا

f(x+h)-f(xh)=2hf'(x)+{\frac {h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{1}(h^{4}).\qquad (E_{1}).

^{يجب أن} يكون الحد المتبقي O1 ₍ h4 ) من رتبة h5 بدلاً من ^h4^، لأنه لو كُتبت حدود h4 في ( ^E1+ $)$ و( E1- ) ، لكانت قد اختفت بفعل $f$ $($ $x$ ₊ $h$ $) -$ $f$ $($ _x_- $h$ $) . ولكن في هذه الحسابات$ $،$ تُركت على حالها لأن رتبة تقدير الخطأ غير مُعالجة هنا (انظر أدناه) $.$

وبالمثل، لدينا

f(x\pm 2h)=f(x)\pm 2hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)\pm {\frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm }(h^{4}).\qquad (E_{2\pm })

و $(E_{2+})-(E_{2-})$ أعطنا

f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{\frac {8h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{2}(h^{5}).\qquad (E_{2}).

للتخلص من حدود ƒ⁽³⁾ ( x )، احسب 8 × ( E ₁ ) − ( E ₂ )

8f(x+h)-8f(xh)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{5})

وبذلك نحصل على الصيغة كما سبق. ملاحظة: معاملات f في هذه الصيغة، (8، -8، -1، 1)، تمثل مثالاً محدداً لمرشح سافيتزكي-غولاي الأكثر عمومية .

تقدير الخطأ

الخطأ في هذا التقريب من رتبة h ^4. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال التوسع ^{[ 2 ].}

{\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}=f'(x)-{\frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})

والتي يمكن الحصول عليها عن طريق توسيع الطرف الأيسر في متسلسلة تايلور . أو بدلاً من ذلك، يمكن تطبيق استقراء ريتشاردسون على تقريب الفرق المركزي لـ $f'(x)$ على شبكات بمسافة 2 h و h .

المشتقات أحادية البعد من الرتبة العليا

صيغ الفروق المركزية لقوالب النقاط الخمس التي تقارب المشتقات الثانية والثالثة والرابعة هي

{\begin{aligned}f''(x)&\approx {\frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^{2}}}\\[1ex]f^{(3)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}\\[1ex]f^{(4)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^{4}}}\end{aligned}}

تبلغ الأخطاء في هذه التقريبات O ( h⁴ )، ^و O ( h² )، و ^O ( h² ) ^على التوالي. ^{[ 2 ]}

العلاقة بكثيرات حدود لاغرانج الاستيفائية

كبديل لاشتقاق أوزان الفروق المحدودة من متسلسلة تايلور، يمكن الحصول عليها عن طريق تفاضل كثيرات حدود لاغرانج

\ell _{j}(\xi )=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {\xi -x_{i}}{x_{j}-x_{i}}},

حيث توجد نقاط الاستيفاء

x_{0}=x-2h,\quad x_{1}=x-h,\quad x_{2}=x,\quad x_{3}=x+h,\quad x_{4}=x+2h.

ثم، متعددة الحدود من الدرجة الرابعة $p_{4}(x)$ إن استيفاء الدالة $f (x)$ عند هذه النقاط الخمس هو

p_{4}(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell _{j}(x)

ومشتقاته هي

p_{4}'(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell '_{j}(x).

إذن، تقريب الفروق المحدودة للدالة $f' (x)$ عند النقطة الوسطى $x = x 2$ هو

f'(x_{2})=\ell _{0}'(x_{2})f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+\ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})

يُعطي حساب مشتقات كثيرات حدود لاغرانج الخمس عند $x = x²$ نفس الأوزان المذكورة أعلاه. تتميز هذه الطريقة بمرونة أكبر، إذ يُمكن تطبيقها بسهولة على شبكة غير منتظمة $.$