حساب

الحساب هو أي نوع من العمليات الحسابية أو غير الحسابية التي تكون محددة جيدًا. ^{[ 1 ] [ 2 ]} ومن الأمثلة الشائعة على الحساب حل المعادلات الرياضية وتنفيذ خوارزميات الحاسوب .

تُعرف الأجهزة الميكانيكية أو الإلكترونية (أو تاريخياً ، الأشخاص) التي تُجري العمليات الحسابية باسم الحواسيب . علم الحاسوب هو مجال أكاديمي يُعنى بدراسة الحوسبة.

لقد ناقش علماء الرياضيات فكرة ضرورة أن تكون العبارات الرياضية "مُعرَّفة جيدًا" منذ القرن السابع عشر على الأقل ، ^{[ 3 ]} إلا أن التوصل إلى تعريف مناسب ظل أمرًا صعب المنال. ^{[ 4 ]} وقد اقترح العديد من علماء الرياضيات تعريفًا مُرشحًا بشكل مستقل في ثلاثينيات القرن العشرين. ^{[ 5 ]} وقد صاغ عالم الرياضيات آلان تورينج أشهر هذه التعريفات ، حيث عرّف العبارة أو العملية الحسابية المُعرَّفة جيدًا بأنها أي عبارة يمكن التعبير عنها بدلالة مُعاملات التهيئة لآلة تورينج . ^{[ 6 ]} وتشمل التعريفات الأخرى (المُكافئة رياضيًا) قابلية تعريف لامدا لألونزو تشيرش ، والتكرارية العامة لهيربراند - غودل - كلين، وقابلية تعريف 1 لإميل بوست . ^{[ 5 ]}

اليوم، يُطلق على أي بيان رسمي أو عملية حسابية تُظهر هذه الخاصية من التحديد الجيد اسم قابل للحساب ، بينما يُشار إلى البيان أو العملية الحسابية نفسها باسم عملية حسابية .

وقد نسب تعريف تورينج "الوضوح" إلى فئة كبيرة جدًا من العبارات الرياضية، بما في ذلك جميع العبارات الجبرية ذات الصياغة الجيدة ، وجميع العبارات المكتوبة بلغات برمجة الحاسوب الحديثة. ^{[ 7 ]}

على الرغم من شيوع هذا التعريف، إلا أن هناك بعض المفاهيم الرياضية التي لا يوجد لها تعريف دقيق في ظل هذا التعريف. ويشمل ذلك مسألة التوقف ولعبة القندس المشغول . ويبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كان هناك تعريف أكثر دقة لمصطلح "محدد جيدًا" قادر على استيعاب كل من العبارات القابلة للحساب وغير القابلة للحساب. ^{[ ملاحظة 1 ] [ 8 ]}

تتضمن بعض الأمثلة على العبارات الرياضية القابلة للحساب ما يلي:

• جميع العبارات المميزة في لغات البرمجة الحديثة، بما في ذلك C++ و Python و Java ^{[ 7 ]}
• جميع العمليات الحسابية التي تتم بواسطة جهاز كمبيوتر إلكتروني أو آلة حاسبة أو عداد
• جميع الحسابات التي أجريت على محرك تحليلي
• جميع العمليات الحسابية تتم على آلة تورينج
• أغلب العبارات والحسابات الرياضية الواردة في كتب الرياضيات المدرسية

تتضمن بعض الأمثلة على العبارات الرياضية غير القابلة للحساب ما يلي:

• الحسابات أو العبارات غير المحددة بشكل جيد، بحيث لا يمكن ترميزها بشكل لا لبس فيه في آلة تورينج: ("بول يحبني ضعف ما يحبه جو").
• عبارات المشاكل التي تبدو محددة جيدًا، ولكن يمكن إثبات أنه لا توجد آلة تورينج لحلها (مثل مشكلة التوقف ).

يمكن النظر إلى الحوسبة على أنها عملية فيزيائية بحتة تحدث داخل نظام فيزيائي مغلق يُسمى الحاسوب . وقد أثبت برهان تورينج عام 1937، بعنوان " حول الأعداد القابلة للحساب، مع تطبيق على مسألة القرار" ، وجود تكافؤ رسمي بين العبارات القابلة للحساب وأنظمة فيزيائية محددة، تُعرف عادةً بالحواسيب . ومن أمثلة هذه الأنظمة الفيزيائية: آلات تورينج ، والرياضيون الذين يتبعون قواعد صارمة، والحواسيب الرقمية ، والحواسيب الميكانيكية ، والحواسيب التناظرية، وغيرها.

في نظرية الحوسبة ، تم تطوير مجموعة متنوعة من النماذج الرياضية للحوسبة. وفيما يلي نماذج رياضية نموذجية لأجهزة الحاسوب :

• نماذج الحالة بما في ذلك آلة تورينج ، وآلة الدفع لأسفل ، وآلة الحالة المحدودة ، و PRAM
• النماذج الوظيفية بما في ذلك حساب التفاضل والتكامل لامدا
• النماذج المنطقية بما في ذلك البرمجة المنطقية
• النماذج المتزامنة بما في ذلك نموذج الفاعل وحسابات العمليات

يُطلق جيونتي على النماذج التي تدرسها نظرية الحوسبة اسم الأنظمة الحسابية، ويجادل بأن جميعها أنظمة ديناميكية رياضية ذات زمن منفصل وفضاء حالة منفصل. ^{[ 13 ] : الفصل 1.} ويؤكد أن النظام الحسابي هو كائن معقد يتكون من ثلاثة أجزاء. أولاً، نظام ديناميكي رياضي${\displaystyle DS}$مع زمن منفصل ومساحة حالة منفصلة؛ ثانيًا، إعداد حسابي${\displaystyle H=\left(F,B_{F}\right)}$، والذي يتكون من جزء نظري${\displaystyle F}$وجزء حقيقي${\displaystyle B_{F}}$ثالثًا، تفسير${\displaystyle I_{DS,H}}$، الذي يربط النظام الديناميكي${\displaystyle DS}$مع الإعداد${\displaystyle H}$[ ^{14 ] : ص 179-180}

• الحوسبة
• مشكلة حسابية
• نظرية الحوسبة
• الحوسبة الفائقة
• حدود الحساب
• الحساب العددي