تنسيق رقم الحاسوب

كل نظام من هذه الأنظمة العددية هو نظام موضعي، ولكن بينما تمثل الأوزان العشرية قوى العدد 10، تمثل الأوزان الثمانية قوى العدد 8، وتمثل الأوزان السداسية عشرية قوى العدد 16. لتحويل الأرقام من النظام السداسي عشري أو الثماني إلى النظام العشري، يُضرب كل رقم في قيمة موقعه، ثم تُجمع النتائج. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{octal }}756\\[5pt]={}&(7\times 8^{2})+(5\times 8^{1})+(6\times 8^{0})\\[5pt]={}&(7\times 64)+(5\times 8)+(6\times 1)\\[5pt]={}&448+40+6\\[5pt]={}&{\text{decimal }}494\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}&{\text{hex }}\mathrm {3b2} \\[5pt]={}&(3\times 16^{2})+(11\times 16^{1})+(2\times 16^{0})\\[5pt]={}&(3\times 256)+(11\times 16)+(2\times 1)\\[5pt]={}&768+176+2\\[5pt]={}&{\text{decimal }}946\end{aligned}}}$

يمكن أن يكون تنسيق النقطة الثابتة مفيدًا لتمثيل الكسور في النظام الثنائي.

يجب تحديد عدد البتات اللازمة للدقة والنطاق المطلوبين لتخزين الأجزاء الكسرية والصحيحة من العدد. على سبيل المثال، باستخدام تنسيق 32 بت، يمكن استخدام 16 بت للجزء الصحيح و16 بت للجزء الكسري.

يلي بت الثمانية بت الأربعة، ثم بت الاثنين، ثم بت الواحد. وتستمر بتات الكسور في اتباع النمط الذي حددته بتات الأعداد الصحيحة. البت التالي هو بت النصف، ثم بت الربع، ثم بت الثمن، وهكذا. على سبيل المثال:

لا يمكن لهذا النوع من الترميز تمثيل بعض القيم بالنظام الثنائي. على سبيل المثال، الكسر ١/٥ ، أو ٠.٢ بالنظام العشري، ستكون أقرب القيم التقريبية كما يلي:

حتى مع استخدام المزيد من الأرقام، يبقى التمثيل الدقيق مستحيلاً. فالعدد ١/٣ ، المكتوب بالنظام العشري على النحو التالي : ٠ ٫ ٣٣٣٣٣٣٣٣٣ ... ، يستمر إلى ما لا نهاية. وإذا توقف قبل الأوان، فلن تمثل القيمة ١/٣ بدقة .

على الرغم من استخدام كل من الأعداد الصحيحة غير الموقعة والموقعة في الأنظمة الرقمية، إلا أن العدد الصحيح ذو 32 بت لا يكفي حتى للتعامل مع كامل نطاق الأعداد التي يمكن للآلة الحاسبة معالجتها، وهذا لا يشمل الكسور. وللحصول على دقة ونطاق أوسع للأعداد الحقيقية ، علينا التخلي عن الأعداد الصحيحة الموقعة والأعداد ذات الفاصلة الثابتة والتحول إلى صيغة " الفاصلة العائمة ".

في النظام العشري، نحن على دراية بالأعداد العشرية ذات الفاصلة العائمة من الشكل ( التدوين العلمي ):

1.1030402 × 10⁵ = 1.1030402 × 100000 = ^110304.02

أو باختصار أكثر:

1.1030402E5

وهذا يعني "1.1030402 مضروبًا في 1 متبوعًا بخمسة أصفار". لدينا قيمة عددية معينة (1.1030402) تُعرف باسم " العدد المعنوي "، مضروبة في قوة من قوى العدد 10 (E5، أي ^10⁵ أو 100,000)، تُعرف باسم " الأس ". إذا كان لدينا أس سالب، فهذا يعني أن العدد مضروب في 1 بعدد المنازل العشرية التي تساوي هذا العدد. على سبيل المثال:

2.3434E − 6 = 2.3434 × 10 ⁻⁶ = 2.3434 × 0.000001 = 0.0000023434

تكمن ميزة هذه الطريقة في أنه باستخدام الأس، يمكننا الحصول على نطاق أوسع بكثير من الأرقام، حتى لو كان عدد الأرقام في الجزء الدال، أو "الدقة العددية"، أصغر بكثير من النطاق. ويمكن تعريف تنسيقات مماثلة للأعداد العشرية الثنائية لأجهزة الحاسوب. يوجد عدد من هذه التنسيقات، وأكثرها شيوعًا هو ما حدده معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات (IEEE). يحدد معيار IEEE 754-2008 تنسيقًا للأعداد العشرية 64 بت بالمواصفات التالية:

• أس ثنائي مكون من 11 بت، باستخدام تنسيق "زيادة-1023". تعني الزيادة-1023 أن الأس يظهر كعدد صحيح ثنائي غير مُوَقَّع يتراوح بين 0 و2047؛ وطرح 1023 يعطي القيمة المُوَقَّعة الفعلية.
• جزء ذو دلالة مكون من 52 بت، وهو أيضًا عدد ثنائي غير موقع، يحدد قيمة كسرية مع وجود "1" ضمنيًا في البداية.
• بت الإشارة ، الذي يعطي إشارة الرقم.

مع تخزين البتات في 8 بايت من الذاكرة:

حيث يرمز "S" إلى بت الإشارة، و"x" إلى بت الأس، و"m" إلى بت الجزء المهم. بعد استخراج البتات هنا، يتم تحويلها باستخدام العملية الحسابية التالية:

< الإشارة > × (1 + < الكسر المعنوي > ) × 2 ^{< الأس > − 1023}

يوفر هذا النظام أرقامًا صالحة حتى حوالي 15 رقمًا عشريًا، مع نطاق الأرقام التالي:

تحدد المواصفات أيضًا العديد من القيم الخاصة التي لا تُعتبر أرقامًا مُعرّفة، وتُعرف باسم NaNs ، اختصارًا لـ "ليس رقمًا". وتستخدمها البرامج للإشارة إلى العمليات غير الصالحة وما شابه ذلك.

تستخدم بعض البرامج أيضًا أرقامًا عشرية ذات 32 بت. ويستخدم النظام الأكثر شيوعًا جزءًا ذا دلالة مكونًا من 23 بت مع بت إشارة، بالإضافة إلى أس مكون من 8 بت بتنسيق "زيادة-127"، مما ينتج عنه سبعة أرقام عشرية صالحة.

يتم تحويل البتات إلى قيمة عددية باستخدام العملية الحسابية التالية:

< الإشارة > × (1 + < الكسر المعنوي > ) × 2 ^{< الأس > − 127}

مما يؤدي إلى النطاق التالي من الأرقام:

تُعرف هذه الأرقام العشرية بشكل عام باسم "الأعداد الحقيقية" أو "الأعداد العشرية"، ولكن مع وجود عدد من الاختلافات:

تُسمى قيمة الفاصلة العائمة ذات 32 بت أحيانًا "real32" أو "single"، مما يعني "قيمة الفاصلة العائمة ذات الدقة المفردة".

يُطلق على العدد العشري ذو 64 بت أحيانًا اسم "real64" أو "double"، مما يعني "قيمة الفاصلة العائمة ذات الدقة المزدوجة".

تم اختيار العلاقة بين الأرقام وأنماط البتات لتسهيل التعامل معها في الحاسوب؛ إذ يمكن أن تمثل ثمانية بايتات مخزنة في ذاكرة الحاسوب عددًا حقيقيًا من 64 بت، أو عددين حقيقيين من 32 بت، أو أربعة أعداد صحيحة (مُوقّعة أو غير مُوقّعة)، أو أي نوع آخر من البيانات التي تتسع في ثمانية بايتات. والفرق الوحيد يكمن في كيفية تفسير الحاسوب لها. فلو خزّن الحاسوب أربعة أعداد صحيحة غير مُوقّعة ثم قرأها من الذاكرة كعدد حقيقي من 64 بت، لكانت النتيجة في أغلب الأحيان عددًا حقيقيًا صحيحًا تمامًا، وإن كانت بيانات غير صالحة.

لا يمكن تمثيل سوى نطاق محدود من الأعداد الحقيقية باستخدام عدد معين من البتات. قد تحدث عمليات حسابية تجاوزات أو نقص في سعة الذاكرة، مما ينتج عنه قيمة كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا بحيث لا يمكن تمثيلها.

يتميز هذا التمثيل بدقة محدودة. فعلى سبيل المثال، لا يمكن تمثيل سوى 15 رقمًا عشريًا باستخدام عدد حقيقي 64 بت. إذا أُضيف عدد عشري صغير جدًا إلى عدد كبير، فإن النتيجة هي العدد الكبير فقط. كان العدد الصغير أصغر من أن يظهر حتى في 15 أو 16 رقمًا، وبالتالي يتجاهله الحاسوب. يُعد تحليل تأثير الدقة المحدودة مشكلة مدروسة جيدًا. وتُعتبر تقديرات حجم أخطاء التقريب وطرق الحد من تأثيرها على العمليات الحسابية الكبيرة جزءًا من أي مشروع حسابي ضخم. يختلف حد الدقة عن حد النطاق، لأنه يؤثر على الجزء الدال، وليس على الأس.

الجزء الدال هو كسر ثنائي لا يتطابق بالضرورة تمامًا مع كسر عشري. في كثير من الحالات، لا يتطابق مجموع مقلوب قوى العدد 2 مع كسر عشري محدد، وبالتالي ستكون نتائج العمليات الحسابية غير دقيقة بعض الشيء. على سبيل المثال، الكسر العشري "0.1" يكافئ كسرًا ثنائيًا متكررًا بلا نهاية: 0.000110011 ... ^{[ 6 ]}