الاختلاف في الاختلافات

يُعدّ أسلوب الفرق في الفروق ( DID ^{[ 1 ]} أو DD ^{[ 2 ]} ) تقنية إحصائية شبه تجريبية تُستخدم في الاقتصاد القياسي والبحوث الكمية في العلوم الاجتماعية، وهي تُحاكي تصميم البحث التجريبي باستخدام بيانات الدراسات الرصدية ، وذلك بدراسة التأثير التفاضلي للمعالجة على "مجموعة المعالجة" مقابل " المجموعة الضابطة " في تجربة طبيعية . ^{[ 3 ]} يحسب هذا الأسلوب تأثير المعالجة (أي المتغير التفسيري أو المتغير المستقل ) على النتيجة (أي المتغير المستجيب أو المتغير التابع ) من خلال مقارنة متوسط ​​التغير بمرور الوقت في متغير النتيجة لمجموعة المعالجة بمتوسط ​​التغير بمرور الوقت للمجموعة الضابطة. وعلى الرغم من أنه يهدف إلى التخفيف من آثار العوامل الخارجية وانحياز الاختيار ، إلا أن هذه الطريقة، اعتمادًا على كيفية اختيار مجموعة المعالجة، قد تظل عرضةً لبعض الانحيازات (مثل انحدار المتوسط ، والسببية العكسية ، وانحياز المتغير المحذوف ).

وعلى النقيض من تقدير السلسلة الزمنية لتأثير العلاج على الأفراد (الذي يحلل الاختلافات بمرور الوقت) أو تقدير المقطع العرضي لتأثير العلاج (الذي يقيس الفرق بين مجموعات العلاج ومجموعات التحكم)، فإن الفرق في الاختلافات يستخدم بيانات اللوحة لقياس الاختلافات، بين مجموعة العلاج ومجموعة التحكم، في التغيرات في متغير النتيجة التي تحدث بمرور الوقت.

يتطلب تحليل الفرق بين الفروق بيانات مُقاسة من مجموعة علاجية ومجموعة ضابطة في فترتين زمنيتين مختلفتين أو أكثر، وتحديدًا فترة زمنية واحدة على الأقل قبل "العلاج" وفترة زمنية واحدة على الأقل بعد "العلاج". في المثال الموضح، يُمثل الخط P النتيجة في المجموعة العلاجية ، بينما يُمثل الخط S النتيجة في المجموعة الضابطة . يُقاس المتغير التابع (النتيجة) في كلتا المجموعتين عند الزمن 1، قبل أن تتلقى أي _من  المجموعتين العلاج (أي المتغير المستقل أو التفسيري)، ويُمثل بالنقطتين P1 و _S1 . تتلقى المجموعة التجريبية العلاج _، ثم تُقاس المجموعتان مرة أخرى في الوقت 2. لا يمكن تفسير كل الفرق بين المجموعتين التجريبية والضابطة في الوقت 2 (أي الفرق بين P2 _و S2 ) على أنه تأثير للعلاج، لأن المجموعتين لم تبدآ من نفس النقطة في الوقت 1. لذلك، تحسب طريقة الفرق المنفصل ( DID) الفرق "الطبيعي" في متغير النتيجة بين المجموعتين (الفرق الذي كان سيظل موجودًا حتى لو لم تتلق أي من المجموعتين العلاج)، ويمثله الخط المنقط Q. (لاحظ أن ميل الخط من P1 إلى Q هو نفسه ميل الخط من _S1 إلى _{S2 )} . تأثير العلاج هو الفرق بين النتيجة الملاحظة ( P2 ) والنتيجة "الطبيعية" (الفرق بين P2 _و Q ) _.   

ضع في اعتبارك النموذج

${\displaystyle y_{it}~=~\gamma _{s(i)}+\lambda _{t}+\delta I(\dots )+\varepsilon _{it}}$

أين${\displaystyle y_{it}}$المتغير التابع للفرد${\displaystyle i}$والوقت${\displaystyle t}$،${\displaystyle s(i)}$هي المجموعة التي${\displaystyle i}$ينتمي (أي مجموعة العلاج أو مجموعة الضبط)، و${\displaystyle I(\dots )}$هو اختصار للمتغير الوهمي الذي يساوي 1 عندما يكون الحدث الموصوف في${\displaystyle (\dots )}$صحيح، وصفر فيما عدا ذلك. في الرسم البياني للزمن مقابل${\displaystyle Y}$حسب المجموعة،${\displaystyle \gamma _{s}}$يمثل التقاطع الرأسي للرسم البياني لـ${\displaystyle s}$، و${\displaystyle \lambda _{t}}$يمثل الاتجاه الزمني المشترك بين المجموعتين وفقًا لفرضية الاتجاه المتوازي (انظر الافتراضات أدناه).${\displaystyle \delta }$هو تأثير العلاج، و${\displaystyle \varepsilon _{it}}$هو الحد المتبقي .

ضع في اعتبارك متوسط ​​المتغير التابع والمؤشرات الصورية حسب المجموعة والوقت:

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{s}&={\text{ عدد الأفراد في المجموعة }}s\\{\overline {y}}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}y_{it}\ I(s(i)~=~s),\\{\overline {\gamma }}_{s}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{s(i)}\ I(s(i)~=~s)~=~\gamma _{s},\\{\overline {\lambda }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{t}\ I(s(i)~=~s)~=~\lambda _{t},\\{\overline {I}}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}I(s(i)~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}})\ I(s(i)~=~s)~=~I(s~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}})~=~D_{st},\\{\overline {\varepsilon }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{it}\ I(s(i)~=~s),\end{aligned}}}$

ولنفترض، تبسيطاً للأمر، أن${\displaystyle s=1,2}$و${\displaystyle t=1,2}$. لاحظ أن${\displaystyle D_{st}}$ليس الأمر عشوائياً؛ إنه ببساطة يشفر كيفية تسمية المجموعات والفترات.

${\displaystyle {\begin{aligned}&({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\\[6pt]={}&{\big [}(\gamma _{1}+\lambda _{1}+\delta D_{11}+{\overline {\varepsilon }}_{11})-(\gamma _{1}+\lambda _{2}+\delta D_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{12}){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}(\gamma _{2}+\lambda _{1}+\delta D_{21}+{\overline {\varepsilon }}_{21})-(\gamma _{2}+\lambda _{2}+\delta D_{22}+{\overline {\varepsilon }}_{22}){\big ]}\\[6pt]={}&\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})+{\overline {\varepsilon }}_{11}-{\overline {\varepsilon }}_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{22}-{\overline {\varepsilon }}_{21}.\end{aligned}}}$

وبالتالي فإن افتراض الاستقلالية الصارمة يستلزم أن

${\displaystyle \operatorname {E} \left[({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\right]~=~\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21}).}$

دون الإخلال بعمومية المسألة ، افترض أن${\displaystyle s=2}$هي مجموعة العلاج، و${\displaystyle t=2}$هي الفترة اللاحقة، ثم${\displaystyle D_{22}=1}$و${\displaystyle D_{11}=D_{12}=D_{21}=0}$، مما يعطي مقدر الفرق في الفروق

${\displaystyle {\hat {\delta }}~=~({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22}),}$

والذي يمكن تفسيره على أنه تأثير العلاج المشار إليه بواسطة${\displaystyle D_{st}}$يوضح الشكل أدناه كيفية قراءة هذا المُقدِّر كمعامل في انحدار المربعات الصغرى العادية. النموذج الموصوف في هذا القسم ذو معلمات زائدة؛ ولتلافي ذلك، يمكن ضبط أحد معاملات المتغيرات الصورية على الصفر، على سبيل المثال، يمكننا ضبط${\displaystyle \gamma _{1}=0}$.

تنطبق جميع افتراضات جاوس-ماركوف الخاصة بنموذج المربعات الصغرى العادية (OLS) بالتساوي على نموذج الفرق في الفروق (DID)، لأن DID هو نسخة خاصة من OLS. بالإضافة إلى ذلك، يتطلب DID افتراض وجود اتجاه متوازٍ . ينص افتراض الاتجاه المتوازٍ على أن${\displaystyle \lambda _{2}-\lambda _{1}}$متماثلة في كليهما${\displaystyle s=1}$و${\displaystyle s=2}$بما أن التعريف الرسمي أعلاه يمثل الواقع بدقة، فإن هذا الافتراض صحيح تلقائيًا. ومع ذلك، فإن نموذجًا مع${\displaystyle \lambda _{st}:\lambda _{22}-\lambda _{21}\neq \lambda _{12}-\lambda _{11}}$قد يكون هذا أكثر واقعية. ولزيادة احتمالية صحة فرضية الاتجاه المتوازي، غالبًا ما يُدمج أسلوب الفرق في الفروق مع المطابقة . ^{[ 4 ]} يتضمن هذا "مطابقة" وحدات "العلاج" المعروفة مع وحدات "التحكم" الافتراضية المحاكاة: وهي وحدات مكافئة لها في الخصائص ولم تتلقَّ علاجًا. من خلال تعريف متغير النتيجة على أنه فرق زمني (التغير في النتيجة المرصودة بين فترتي ما قبل العلاج وما بعده)، ومطابقة وحدات متعددة في عينة كبيرة بناءً على سجلات ما قبل العلاج المتشابهة، فإن متوسط ​​تأثير العلاج الناتج (أي متوسط ​​تأثير العلاج على المعالجين) يوفر تقديرًا قويًا لتأثيرات العلاج باستخدام أسلوب الفرق في الفروق. يخدم هذا غرضين إحصائيين: أولًا، بافتراض صحة المتغيرات المصاحبة لما قبل العلاج، من المرجح أن تكون فرضية الاتجاهات المتوازية صحيحة؛ وثانيًا، يقلل هذا الأسلوب من الاعتماد على افتراضات الإهمال المرتبطة اللازمة للاستدلال الصحيح.

كما هو موضح في الشكل، فإن أثر العلاج هو الفرق بين القيمة المرصودة لـ y والقيمة التي كانت ستكون عليها y في حال وجود اتجاهات متوازية، لو لم يكن هناك علاج. مع ذلك، يتمثل أحد عيوب طريقة الفرق في الفروق (DID) في حدوث تغيير في أحد المجموعتين دون الأخرى في الوقت نفسه الذي يحدث فيه العلاج، مما يعني انتهاك فرضية الاتجاهات المتوازية.

لضمان دقة تقدير الفرق في الفروق (DID)، يُفترض أن تركيبة الأفراد في المجموعتين تظل ثابتة بمرور الوقت. عند استخدام نموذج الفرق في الفروق، يجب مراعاة ومعالجة العديد من المشكلات التي قد تؤثر سلبًا على النتائج، مثل الارتباط الذاتي ^{[ 2 ]} وانخفاضات آشنفيلتر .

يمكن تطبيق طريقة DID وفقًا للجدول أدناه، حيث تمثل الخلية السفلية اليمنى مقدر DID.

${\displaystyle y_{st}}$	${\displaystyle s=2}$	${\displaystyle s=1}$	اختلاف
${\displaystyle t=2}$	${\displaystyle y_{22}}$	${\displaystyle y_{12}}$	${\displaystyle y_{12}-y_{22}}$
${\displaystyle t=1}$	${\displaystyle y_{21}}$	${\displaystyle y_{11}}$	${\displaystyle y_{11}-y_{21}}$
يتغير	${\displaystyle y_{21}-y_{22}}$	${\displaystyle y_{11}-y_{12}}$	${\displaystyle (y_{11}-y_{21})-(y_{12}-y_{22})}$

إجراء تحليل الانحدار يعطي نفس النتيجة. لنأخذ نموذج المربعات الصغرى العادية (OLS) كمثال.

${\displaystyle y~=~\beta _{0}+\beta _{1}T+\beta _{2}S+\beta _{3}(T\cdot S)+\varepsilon }$

أين${\displaystyle T}$هو متغير وهمي للفترة، يساوي${\displaystyle 1}$متى${\displaystyle t=2}$، و${\displaystyle S}$هو متغير وهمي لعضوية المجموعة، يساوي${\displaystyle 1}$متى${\displaystyle s=2}$المتغير المركب${\displaystyle (T\cdot S)}$هو متغير وهمي يشير إلى متى${\displaystyle S=T=1}$على الرغم من عدم توضيح ذلك بدقة هنا، إلا أن هذه طريقة مناسبة لتحديد معلمات النموذج وفقًا لتعريفه الرسمي . علاوة على ذلك، يتضح أن متوسطات المجموعة والفترة في ذلك القسم ترتبط بتقديرات معلمات النموذج على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\beta }}_{0}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{1}&={\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{2}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{3}&={\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0){\big ]},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle {\widehat {E}}(\dots \mid \dots )}$يرمز إلى المتوسطات الشرطية المحسوبة على العينة، على سبيل المثال،${\displaystyle T=1}$هو المؤشر للفترة اللاحقة،${\displaystyle S=0}$يُعد مؤشراً لمجموعة الضبط. لاحظ أن${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$هو تقدير للوضع الافتراضي وليس لتأثير المجموعة الضابطة. غالبًا ما تُستخدم المجموعة الضابطة كبديل للوضع الافتراضي (انظر: طريقة التحكم التركيبي لفهم أعمق لهذه النقطة). وبالتالي،${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$يمكن تفسير ذلك على أنه تأثير كل من المجموعة الضابطة والوضع الافتراضي للتدخل (العلاج). وبالمثل،${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$وبسبب افتراض الاتجاه المتوازي، يكون الفرق بين مجموعة العلاج ومجموعة التحكم هو نفسه أيضًا في${\displaystyle T=1}$لا ينبغي تفسير الأوصاف المذكورة أعلاه على أنها تشير إلى التأثير (المتوسط) لمجموعة الضبط فقط، لأن${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$أو الفرق بين مجموعتي العلاج والمراقبة في الفترة السابقة فقط، لـ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$كما هو الحال في دراسة كارد وكروجر أدناه، الفرق الزمني الأول لمتغير النتيجة${\displaystyle (\Delta Y_{i}=Y_{i,1}-Y_{i,0})}$يلغي الحاجة إلى تحليل الاتجاه الزمني (أي،${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$) لتكوين تقدير غير متحيز لـ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}}$، مما يعني أن${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$لا يعتمد ذلك في الواقع على مجموعة العلاج أو مجموعة المقارنة. ^{[ 5 ]} وبالتالي، فإن وجود فرق بين مجموعتي العلاج والمقارنة من شأنه أن يلغي الحاجة إلى الفروق العلاجية (أي،${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$) لتكوين تقدير غير متحيز لـ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}}$يُعدّ فهم هذا الفارق الدقيق أمرًا بالغ الأهمية عندما يعتقد المستخدم بوجود انتهاكات (ضعيفة) للاتجاه المسبق المتوازي، أو في حالة انتهاكات افتراضات التقريب المضاد للواقع المناسبة نظرًا لوجود صدمات غير مشتركة أو أحداث مُربكة . ولرؤية العلاقة بين هذه الرموز والقسم السابق، ضع في اعتبارك، كما ذُكر أعلاه، ملاحظة واحدة فقط لكل فترة زمنية لكل مجموعة.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)&={\widehat {E}}(y\mid {\text{ after period, control}})\\[3pt]\\&={\frac {{\widehat {E}}(y\ I({\text{ after period, control}}))}{{\widehat {P}}({\text{ after period, control}})}}\\[3pt]\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i,{\text{after}}}I(i{\text{ in control}})}{n_{\text{control}}}}={\overline {y}}_{\text{control, after}}\\[3pt]\\&={\overline {y}}_{\text{12}}\end{aligned}}}$

وهكذا بالنسبة للقيم الأخرى لـ${\displaystyle T}$و${\displaystyle S}$وهو ما يعادل

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}~=~(y_{11}-y_{21})-(y_{12}-y_{22}).}$

لكن هذا هو التعبير عن تأثير العلاج الذي ورد في التعريف الرسمي وفي الجدول أعلاه.

تتضمن متغيرات أطر الفرق في الفروق تلك الخاصة بالتنفيذ المتدرج للعلاج بالإضافة إلى مقدر تم تقديمه لفترات زمنية متعددة ومتغيرات أخرى بواسطة برانتلي كالاواي وبيدرو إتش سي سانت آنا . ^{[ 6 ]}

تُعتبر مقالة كارد وكروجر حول الحد الأدنى للأجور في نيوجيرسي ، المنشورة عام 1994، ^{[ 5 ]} من أشهر دراسات الفرق في الفروق؛ وقد مُنح كارد لاحقًا جائزة نوبل التذكارية في العلوم الاقتصادية لعام 2021 ، جزئيًا لهذا العمل وما يتصل به. قارن كارد وكروجر التوظيف في قطاع الوجبات السريعة في نيوجيرسي وبنسلفانيا ، في فبراير ونوفمبر 1992، بعد ارتفاع الحد الأدنى للأجور في نيوجيرسي من 4.25 دولارًا إلى 5.05 دولارًا في أبريل 1992. إن رصد التغير في التوظيف في نيوجيرسي فقط، قبل وبعد التغيير، لا يُراعي المتغيرات المُغفلة مثل الطقس والظروف الاقتصادية الكلية للمنطقة. وبإدراج بنسلفانيا كمتغير تحكم في نموذج الفرق في الفروق، يتم التحكم ضمنيًا في أي تحيز ناتج عن متغيرات مشتركة بين نيوجيرسي وبنسلفانيا، حتى عندما تكون هذه المتغيرات غير مُلاحظة. بافتراض أن ولايتي نيوجيرسي وبنسلفانيا تشهدان اتجاهات متوازية مع مرور الوقت، يمكن تفسير التغير في معدل التوظيف في بنسلفانيا على أنه التغير الذي كانت ستشهده نيوجيرسي لو لم ترفع الحد الأدنى للأجور، والعكس صحيح. تشير الأدلة إلى أن رفع الحد الأدنى للأجور لم يُؤدِّ إلى انخفاض في معدل التوظيف في نيوجيرسي، خلافًا لما قد تُشير إليه بعض النظريات الاقتصادية. يُبين الجدول أدناه تقديرات كارد وكروجر لأثر رفع الحد الأدنى للأجور على التوظيف، مُقاسًا بوحدات العمل بدوام كامل (FTEs) . يُقدِّر كارد وكروجر أن رفع الحد الأدنى للأجور بمقدار 0.80 دولار في نيوجيرسي أدى إلى زيادة في التوظيف بمعدل 2.75 وحدة عمل بدوام كامل لكل متجر.

يمكن العثور على مثال تطبيقي لهذا البحث في أمر Stata -diff- ^{[ 7 ]}

لقد طُبِّقَ إطار عمل الفرق في الفروق (DID) على نطاق واسع خارج نطاق اقتصاديات العمل ودراسات الحد الأدنى للأجور. ففي مجال الصحة العامة ، استُخدم هذا الإطار لتقييم أثر التوجيهات الطبية الجديدة أو حملات التطعيم من خلال مقارنة المناطق قبل وبعد تطبيق السياسات. ^{[ 8 ]} وفي مجال التعليم ، تُساعد أساليب الفرق في الفروق على قياس أثر الإصلاحات، مثل التغييرات في تمويل المدارس أو حجم الفصول الدراسية. أما في اقتصاديات البيئة ، فتُستخدم هذه الأساليب لتقييم اللوائح المتعلقة بالتلوث، واستهلاك الطاقة، وسياسات المناخ. وتعتمد هذه التطبيقات على الافتراض الأساسي المتمثل في وجود اتجاهات متوازية، ولكن عند تصميمها بعناية، فإنها تُزوِّد صانعي السياسات بتقديرات سببية قوية باستخدام البيانات الرصدية.

• تصميم التجارب
• متوسط ​​تأثير العلاج
• طريقة تحكم اصطناعية

• أنغريست، جيه دي؛ بيشكه، جيه إس (2008). الاقتصاد القياسي غير الضار في الغالب: دليل تجريبي . مطبعة جامعة برينستون. ص 227-243 . ISBN  978-0-691-12034-8.
• أندرو بيكر، برانتلي كالواي، سكوت كانينغهام، أندرو غودمان-بيكون، وبيدرو إتش سي سانت آنا. 2025. " تصاميم الفرق في الفروق: دليل عملي " . مجلة الأدب الاقتصادي .
• كاميرون، آرثر سي؛ تريفيدي، برافين ك. (2005). الاقتصاد القياسي الجزئي: الأساليب والتطبيقات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 768-772 . doi : 10.1017/CBO9780511811241 . ISBN  9780521848053. S2CID 120313863 . 
• إمبنز، غيدو دبليو؛ وولدريدج، جيفري إم (2009). "التطورات الحديثة في الاقتصاد القياسي لتقييم البرامج" . مجلة الأدب الاقتصادي . 47 (1): 5-86 . doi : 10.1257/jel.47.1.5 .
• باكيا، جون؛ هايم، برادلي (أغسطس 2008). "كيف تستجيب التبرعات الخيرية للحوافز والدخل؟ تقديرات اللوحات الديناميكية التي تراعي التغيرات المتوقعة في الضرائب" . ورقة عمل NBER رقم 14237. doi : 10.3386 /w14237 .
• كونلي، ت .؛ تابر، س. (يوليو 2005). "الاستدلال باستخدام 'الفرق في الفروق' مع عدد قليل من التغييرات في السياسات" . ورقة عمل فنية رقم 312 صادرة عن المكتب الوطني للبحوث الاقتصادية . doi : 10.3386/t0312 .

• تقدير الفرق في الفرق ، موقع اقتصاديات الرعاية الصحية