تحويل تشيبيشيف المنفصل

في الرياضيات التطبيقية ، يُعد تحويل تشيبيشيف المتقطع (يُختصر إلى DCT أو DChT أو DTT) نظيرًا لتحويل فورييه المتقطع لدالة في فترة حقيقية ، حيث يُحوّل في كلا الاتجاهين بين قيم الدالة عند مجموعة من عقد تشيبيشيف ومعاملات الدالة في أساس متعددات حدود تشيبيشيف . ومثل متعددات حدود تشيبيشيف، سُمّي هذا التحويل نسبةً إلى بافنوتي تشيبيشيف .

يستخدم النوعان الأكثر شيوعًا من تحويلات تشيبيشيف المنفصلة شبكة أصفار تشيبيشيف ، وهي أصفار كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول${\displaystyle T_{n}(x)}$وشبكة القيم القصوى لتشيبشيف ، وهي القيم القصوى لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول، والتي هي أيضًا أصفار لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الثاني.${\displaystyle U_{n}(x)}$. ينتج عن كلا التحويلين معاملات لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول.

تتضمن تحويلات تشيبيشيف المنفصلة الأخرى شبكات ومعاملات ذات صلة لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الثاني أو الثالث أو الرابع.

تحويل تشيبيشيف المنفصل لـ${\displaystyle {u(x)}}$عند النقاط${\displaystyle {x_{n}}}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})T_{m}(x_{n}),}$

أين

${\displaystyle x_{n}=-\cos {\frac {{\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}},}$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos \left(m\cos ^{-1}(x_{n})\right),}$

مع${\displaystyle p_{m}=1}$إذا وفقط إذا${\displaystyle m=0}$و${\displaystyle p_{m}=2}$خلاف ذلك.

باستخدام تعريف${\displaystyle x_{n}}$،

$\begin{aligned}a_{m}=\frac{p_{m}}{N}\sum_{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos{\frac{m{\bigl(}N+n+{\tfrac{1}{2}}{\bigr)}\pi}{N}}\\&=\frac{p_{m}}{N}\sum_{n=0}^{N-1}u(x_{n})(-1)^{m}\cos{\frac{m{\bigl(}n+{\tfrac{1}{2}}{\bigr)}\pi}{N}}.\end{aligned}}}$

التحويل العكسي هو

${\displaystyle u_{n}=\sum _{m=0}^{N-1}a_{m}T_{m}(x_{n})=\sum _{m=0}^{N-1}a_{m}(-1)^{m}\cos {\frac {m{\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}}.}$

(هذه متسلسلة تشيبيشيف القياسية التي تم تقييمها على شبكة الجذور.)

يمكن حساب تحويل تشيبيشيف المنفصل هذا عن طريق معالجة وسائط الإدخال لتحويل جيب التمام المنفصل ، على سبيل المثال، باستخدام كود MATLAB التالي :

دالة a = fct ( f, l ) % x =-cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2));f = f ( end : -1 : 1 , :); A = size ( f ); N = A ( 1 ); if exist ( 'A(3)' , 'var' ) && A ( 3 ) ~= 1 for i = 1 : A ( 3 ) a (:,:, i ) = sqrt ( 2 / N ) * dct ( f (:,:, i )); a ( 1 ,:, i ) = a ( 1 ,:, i ) / sqrt ( 2 ); end else a = sqrt ( 2 / N ) * dct ( f (:,:, i )); a ( 1 ,:) = a ( 1 ,:) / sqrt ( 2 ); end

dctيتم تنفيذ وظيفة MATLAB المدمجة (تحويل جيب التمام المنفصل) باستخدام تحويل فورييه السريع .

يُعطى التحويل العكسي بواسطة كود MATLAB:

دالة f = ifct ( a, l ) % x = -cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2)) k = size ( a ); N = k ( 1 );a = idct ( sqrt ( N / 2 ) * [ a ( 1 ,:) * sqrt ( 2 ); a ( 2 : end ,:)]);نهاية

يستخدم هذا التحويل الشبكة:

${\displaystyle x_{n}=-\cos {\frac {n\pi }{N}}}$

${\displaystyle T_{n}(x_{m})=\cos \left({\frac {mn\pi }{N}}+n\pi \right)=(-1)^{n}\cos {\frac {mn\pi }{N}}}$

تُستخدم شبكة القيم القصوى هذه على نطاق أوسع.

في هذه الحالة، يكون التحويل ومعكوسه هما

${\displaystyle u(x_{n})=u_{n}=\sum _{m=0}^{N}a_{m}T_{m}(x_{n}),}$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}{\biggl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}u_{0}(-1)^{m}+u_{N}{\bigr )}+\sum _{n=1}^{N-1}u_{n}T_{m}(x_{n}){\biggr )},}$

أين${\displaystyle p_{m}=1}$إذا وفقط إذا${\displaystyle m=0}$أو${\displaystyle m=N}$و${\displaystyle p_{m}=2}$خلاف ذلك.

تُستخدم تحويلة تشيبيشيف المنفصلة بشكل أساسي في التكامل العددي ، والاستيفاء، والتفاضل العددي المستقر . ^{[ 1 ]} وتُقدم مكتبة Boost المكتوبة بلغة C++ تطبيقًا يوفر هذه الميزات . ^{[ 2 ]}

• كثيرات حدود تشيبيشيف
• تحويل جيب التمام المنفصل
• تحويل فورييه المنفصل
• قائمة التحويلات المتعلقة بفورييه