تحميل القرص

لقرص محرك مساحته${\displaystyle A}$، بسرعة مستحثة منتظمة${\displaystyle v}$عند قرص الدوار، ومع${\displaystyle \rho }$بمعدل تدفق الكتلة ، وكثافة الهواء${\displaystyle {\dot {m}}}$من خلال منطقة القرص:

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho \,A\,v.}$

بحسب قانون حفظ الكتلة، يكون معدل تدفق الكتلة ثابتًا عبر تيار الانزلاق في اتجاهي المنبع والمصب للقرص (بغض النظر عن السرعة). وبما أن التدفق في اتجاه المنبع البعيد لطائرة هليكوبتر تحوم بشكل أفقي يكون ساكنًا، فإن السرعة الابتدائية والزخم والطاقة تساوي صفرًا. إذا كان لتيار الانزلاق المتجانس في اتجاه المصب البعيد للقرص سرعة معينة،${\displaystyle w}$، وذلك بفضل قانون حفظ الزخم، يصبح إجمالي قوة الدفع${\displaystyle T}$القوة المتولدة على القرص تساوي معدل تغير الزخم، والذي بافتراض سرعة ابتدائية صفرية يكون كالتالي:

${\displaystyle T={\dot {m}}\,w.}$

بحسب قانون حفظ الطاقة، يجب أن يساوي الشغل الذي يقوم به الدوار التغير في الطاقة في تيار الانزلاق:

${\displaystyle T\,v={\tfrac {1}{2}}\,{\dot {m}}\,{w^{2}}.}$

بديل عن${\displaystyle T}$وبحذف المصطلحات، نحصل على:

${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}\,w.}$

وبالتالي فإن سرعة تيار الانزلاق في الجزء البعيد من القرص تساوي ضعف السرعة عند القرص، وهي نفس النتيجة التي تنبأت بها نظرية خط الرفع لجناح محمل بشكل بيضاوي . ^{[ 9 ]}

لحساب حمل القرص باستخدام مبدأ برنولي ، نفترض أن الضغط في تيار الانزلاق البعيد في اتجاه المصب يساوي الضغط الابتدائي.${\displaystyle p_{0}}$وهو ما يعادل الضغط الجوي . من نقطة البداية إلى القرص لدينا:

${\displaystyle p_{0}=\,p_{1}+\ {\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}.}$

بين القرص والأثر البعيد، لدينا:

${\displaystyle p_{2}+\ {\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}=\,p_{0}+\ {\tfrac {1}{2}}\,\rho \,w^{2}.}$

بدمج المعادلات، تحميل القرص${\displaystyle T/\,A}$يكون:

${\displaystyle {\frac {T}{A}}=p_{2}-\,p_{1}={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,w^{2}}$

الضغط الكلي في منطقة التخلف البعيدة هو:

${\displaystyle p_{0}+{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,w^{2}=\,p_{0}+{\frac {T}{A}}.}$

إذن، يكون تغير الضغط عبر القرص مساوياً لحمل القرص. أما فوق القرص، فيكون تغير الضغط كالتالي:

${\displaystyle p_{0}-{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}=\,p_{0}-\,{\tfrac {1}{4}}{\frac {T}{A}}.}$

أسفل القرص، يكون تغير الضغط كما يلي:

${\displaystyle p_{0}+{\tfrac {3}{2}}\,\rho \,v^{2}=\,p_{0}+\,{\tfrac {3}{4}}{\frac {T}{A}}.}$

يتناقص الضغط على طول تيار الانزلاق دائمًا باتجاه المصب، باستثناء قفزة الضغط الموجبة عبر القرص. ^{[ 9 ]}

انطلاقاً من نظرية الزخم، فإن قوة الدفع هي:

${\displaystyle T={\dot {m}}\,w={\dot {m}}\,(2v)=2\rho \,A\,v^{2}.}$

السرعة المستحثة هي:

${\displaystyle v={\sqrt {{\frac {T}{A}}\cdot {\frac {1}{2\rho }}}}.}$

أين${\displaystyle T/A}$هل يتم تحميل القرص كما كان من قبل، والطاقة${\displaystyle P}$المطلوب عند التمرير (في الحالة المثالية) هو:

${\displaystyle P=Tv=T{\sqrt {{\frac {T}{A}}\cdot {\frac {1}{2\rho }}}}.}$

لذلك، يمكن التعبير عن السرعة المستحثة على النحو التالي:

${\displaystyle v={\frac {P}{T}}=\left[{\frac {T}{P}}\right]^{-1}.}$

إذن، السرعة المستحثة تتناسب عكسياً مع قدرة التحميل${\displaystyle T/P}$[ ^{10 ]​}