نظام المعلمات الموزعة

مع فضاءات هيلبرت U و X و Y و${\displaystyle A\,}$ ∈ L ( X ), ${\displaystyle B\,}$ ∈ L ( U , X ),  ${\displaystyle C\,}$ ∈ L ( X , Y ) و  ${\displaystyle D\,}$ ∈ L ( U , Y ) تحدد المعادلات التفاضلية التالية نظامًا خطيًا ثابتًا زمنيًا منفصلًا :  

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

مع${\displaystyle x\,}$(الحالة) سلسلة ذات قيم في X ،${\displaystyle u\,}$(المدخل أو التحكم) تسلسل ذو قيم في U و${\displaystyle y\,}$(الناتج) سلسلة ذات قيم في Y.

إن حالة الزمن المستمر تشبه حالة الزمن المتقطع، ولكن يتم الآن النظر في المعادلات التفاضلية بدلاً من معادلات الفرق:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$،

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$.

لكن ثمة تعقيد إضافي يتمثل في أنه لإدراج أمثلة فيزيائية مثيرة للاهتمام، مثل المعادلات التفاضلية الجزئية ومعادلات التفاضل التأخيرية، ضمن هذا الإطار المجرد، يُضطر المرء إلى النظر في المؤثرات غير المحدودة . عادةً ما يُفترض أن A يُولّد شبه زمرة متصلة بقوة على فضاء الحالة X. بافتراض أن B و C و D مؤثرات محدودة، فإن ذلك يسمح بالفعل بإدراج العديد من الأمثلة الفيزيائية المثيرة للاهتمام، ^{[ 1 ]} ولكن إدراج العديد من الأمثلة الفيزيائية الأخرى المثيرة للاهتمام يُجبر على افتراض عدم محدودية B و C أيضًا.

في الزمن المتقطع، تُعطى دالة التحويل بدلالة معلمات فضاء الحالة بواسطة${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$وهي دالة تامة الشكل في قرص مركزه نقطة الأصل. ^{[ 4 ]} في حالة انتماء 1/ z إلى مجموعة الحلول لـ A (وهو الحال في قرص أصغر ربما مركزه نقطة الأصل)، فإن دالة التحويل تساوي${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$ومن الحقائق المثيرة للاهتمام أن أي دالة تكون هولومورفية في الصفر هي دالة نقل لنظام زمني منفصل.

إذا كانت A تولد شبه مجموعة متصلة بقوة، وكانت B و C و D مؤثرات محدودة، فإن دالة التحويل ^{[ 5 ]} تُعطى بدلالة معلمات فضاء الحالة بواسطة${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$بالنسبة لـ s ذات الجزء الحقيقي الأكبر من حد النمو الأسي لشبه المجموعة المولدة بواسطة A. في حالات أكثر عمومية، قد لا تكون هذه الصيغة بصيغتها الحالية منطقية، ولكن تعميمًا مناسبًا لها يظل صالحًا. ^{[ 6 ]} للحصول على تعبير بسيط لدالة التحويل، غالبًا ما يكون من الأفضل استخدام تحويل لابلاس في المعادلة التفاضلية المعطاة بدلًا من استخدام صيغ فضاء الحالة، كما هو موضح أدناه في الأمثلة المذكورة أعلاه.

تحديد الحالة الأولية${\displaystyle w_{0}}$وباعتبار أن تحويلات لابلاس بالنسبة إلى t تساوي صفرًا، وباستخدام الأحرف الكبيرة للدلالة على تحويلات لابلاس بالنسبة إلى t، نحصل من المعادلة التفاضلية الجزئية المذكورة أعلاه

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

هذه معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة مع${\displaystyle \xi }$باعتبار المتغير s كمعامل ، والشرط الابتدائي صفر. الحل هو${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$. بالتعويض بهذا في المعادلة عن Y وإجراء التكامل، نحصل على${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$بحيث تكون دالة التحويل${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$.

وباتباع نفس النهج كما في مثال المعادلة التفاضلية الجزئية، فإن دالة التحويل لمثال معادلة التأخير هي ^{[ 7 ]}${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$.

تلعب الخرائط دورًا هامًا${\displaystyle \Phi _{n}}$والتي تُسقط مجموعة جميع المتتاليات ذات القيم U على X، وتُعطى بواسطة${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$والتفسير هو أن${\displaystyle \Phi _{n}u}$هي الحالة التي يتم الوصول إليها بتطبيق تسلسل الإدخال u عندما تكون الحالة الابتدائية صفرًا. يُطلق على النظام اسم

• يمكن التحكم بها بدقة في الوقت n إذا كان نطاق${\displaystyle \Phi _{n}}$يساوي X ،
• يمكن التحكم بها تقريبًا في الوقت n إذا كان نطاق${\displaystyle \Phi _{n}}$كثيف في X ،
• لا يمكن التحكم فيه في الوقت n إذا كان نطاق${\displaystyle \Phi _{n}}$يشمل نطاق A ⁿ .

فيما يتعلق بإمكانية التحكم في الأنظمة ذات الزمن المستمر، فإن الخريطة${\displaystyle \Phi _{t}}$مقدم من${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$يلعب الدور الذي${\displaystyle \Phi _{n}}$^{تُنفَّذ هذه العملية} في زمن منفصل. ومع ذلك، فإن فضاء دوال التحكم التي يعمل عليها هذا المؤثر يؤثر الآن على التعريف. الخيار المعتاد هو L² (0, ∞; U )، وهو فضاء (فئات التكافؤ) للدوال التربيعية القابلة للتكامل ذات القيم U على الفترة (0, ∞)، ولكن توجد خيارات أخرى ممكنة مثل L¹ (0, ∞; U ) ^. يمكن تعريف مفاهيم قابلية التحكم المختلفة بمجرد تحديد مجال   ${\displaystyle \Phi _{t}}$يتم اختياره. يُطلق على النظام اسم ^{[ 8 ]}

• يمكن التحكم بها بدقة في الوقت t إذا كان نطاق${\displaystyle \Phi _{t}}$يساوي X ،
• يمكن التحكم بها تقريبًا في الوقت t إذا كان نطاق${\displaystyle \Phi _{t}}$كثيف في X ،
• لا يمكن التحكم فيه في الوقت t إذا كان نطاق${\displaystyle \Phi _{t}}$يشمل نطاق${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$.

تلعب الخرائط دورًا هامًا${\displaystyle \Psi _{n}}$والتي تُسقط X على فضاء جميع المتتابعات ذات القيم Y ، وتُعطى بواسطة${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$إذا كان k  ≤ n، وصفرًا إذا كان k > n . والتفسير هو أن   ${\displaystyle \Psi _{n}x}$هو الناتج المقتطع مع الشرط الابتدائي x والتحكم صفر. يُسمى النظام

• يمكن رصدها بدقة في الزمن n إذا وُجد k _n  >  0 بحيث${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$لكل x  ∈ X ، 
• يمكن ملاحظتها تقريبًا في الزمن n إذا${\displaystyle \Psi _{n}}$هو حقني ،
• يمكن ملاحظة الحالة النهائية في الزمن n إذا وُجد k _n  >  0 بحيث${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$لكل x  ∈ X.​ 

فيما يتعلق بإمكانية رصد الأنظمة ذات الزمن المستمر، فإن الخريطة${\displaystyle \Psi _{t}}$مقدم من${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$بالنسبة لـ s ∈ [0,t] ، وصفر بالنسبة لـ s>t، يلعب هذا الدور الذي${\displaystyle \Psi _{n}}$تُطبَّق هذه العملية في الزمن المتقطع. ومع ذلك، فإن فضاء الدوال الذي يُطبَّق عليه هذا المؤثر يؤثر الآن على التعريف. الخيار المعتاد هو ^L² ( 0, ∞, Y )، وهو فضاء (فئات التكافؤ) للدوال التربيعية القابلة للتكامل ذات القيم Y على الفترة (0, ∞) ، ولكن توجد خيارات أخرى ممكنة مثل L¹ (0, ∞, Y ). يمكن تعريف مفاهيم الملاحظة المختلفة بمجرد ^تحديد المجال المقابل لـ    ${\displaystyle \Psi _{t}}$يتم اختياره. يُطلق على النظام اسم ^{[ 9 ]}

• يمكن رصدها بدقة في الزمن t إذا وُجد k _t  >  0 بحيث${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$لكل x  ∈ X ، 
• يمكن ملاحظتها تقريبًا في الزمن t إذا${\displaystyle \Psi _{t}}$هو حقني ،
• يمكن ملاحظة الحالة النهائية في الزمن t إذا وُجد k _t  >  0 بحيث${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$لكل x  ∈ X.​