إمكانية التحكم

تُعد قابلية التحكم خاصية مهمة لنظام التحكم وتلعب دورًا حاسمًا في العديد من مشاكل التنظيم، مثل تثبيت الأنظمة غير المستقرة باستخدام التغذية الراجعة، ومشاكل التتبع، والحصول على استراتيجيات التحكم المثلى ، أو ببساطة تحديد مدخل له تأثير مرغوب فيه على الحالة.

إن إمكانية التحكم وإمكانية الملاحظة مفهومان متلازمان . تتعلق إمكانية التحكم بتنظيم الحالة عن طريق اختيار مدخل مناسب، بينما تتعلق إمكانية الملاحظة بالقدرة على معرفة الحالة من خلال مراقبة المخرجات (بافتراض أن المدخلات تخضع للمراقبة أيضًا).

بشكل عام، يرتبط مفهوم قابلية التحكم بالقدرة على توجيه النظام ضمن نطاق تكوينه باستخدام تعديلات محددة مسموح بها فقط. ويختلف التعريف الدقيق تبعًا للإطار أو نوع النماذج المستخدمة.

فيما يلي أمثلة على صيغ مختلفة لمفاهيم قابلية التحكم التي تم تقديمها في أدبيات الأنظمة والتحكم:

• إمكانية التحكم في الحالة: القدرة على توجيه النظام بين الحالات
• إمكانية تحكم قوية: القدرة على التنقل بين الحالات خلال أي فترة زمنية محددة
• القدرة على التحكم الجماعي: القدرة على توجيه مجموعة من الأنظمة الديناميكية في وقت واحد
• إمكانية التحكم في المسار: القدرة على التوجيه على طول مسار محدد مسبقًا بدلاً من مجرد الوصول إلى حالة نهائية مرغوبة
• إمكانية التحكم في المخرجات: القدرة على توجيه المخرجات إلى قيم محددة
• إمكانية التحكم في الإطار السلوكي: شرط التوافق بين مسارات المدخلات والمخرجات الماضية والمستقبلية

تُعرّف حالة النظام الحتمي ، وهي مجموعة قيم جميع متغيرات حالة النظام (المتغيرات التي تُحددها المعادلات الديناميكية)، بأنها تصف النظام وصفًا كاملًا في أي لحظة زمنية. وبالتحديد، لا حاجة إلى أي معلومات عن ماضي النظام للتنبؤ بمستقبله، إذا كانت حالاته الحالية معروفة، وكذلك جميع القيم الحالية والمستقبلية لمتغيرات التحكم (المتغيرات التي يمكن اختيار قيمها).

تصف إمكانية التحكم الكامل في الحالة (أو ببساطة إمكانية التحكم إذا لم يُذكر سياق آخر) قدرة مُدخل خارجي (متجه متغيرات التحكم) على نقل الحالة الداخلية للنظام من أي حالة ابتدائية إلى أي حالة نهائية خلال فترة زمنية محدودة. ^{[ 1 ] : 737}

بمعنى آخر، يمكننا تعريف قابلية التحكم بشكل غير رسمي كما يلي: إذا وُجدت، لأي حالة ابتدائية _{x₀ وأي حالة} نهائية xₘ ، _سلسلة إدخال لنقل حالة النظام من x₀ إلى xₘ خلال فترة زمنية محدودة، فإن النظام المُمَثَّل بتمثيل فضاء الحالة يكون قابلاً للتحكم. في أبسط مثال لنظام خطي مستمر وثابت زمنيًا (LTI)، يُحدد بُعد الصف في تعبير فضاء الحالة ẋ = Ax ( t ) + Bu ( t ) الفترة الزمنية؛ حيث يُساهم كل صف بمتجه في فضاء حالة النظام. إذا لم يكن هناك عدد كافٍ من هذه المتجهات لتغطية فضاء حالة x ، فلن يتمكن النظام من تحقيق قابلية التحكم. قد يكون من الضروري تعديل A و B لتقريب العلاقات التفاضلية الأساسية التي يُقدِّرها النظام بشكل أفضل لتحقيق قابلية التحكم.

لا تعني إمكانية التحكم إمكانية الحفاظ على حالة تم الوصول إليها، بل تعني فقط إمكانية الوصول إلى أي حالة.

لا تعني إمكانية التحكم إمكانية إنشاء مسارات عشوائية عبر فضاء الحالة، بل تعني فقط وجود مسار ضمن فترة زمنية محددة. وعندما يمكن تحديد هذه الفترة الزمنية، يُشار إلى النظام الديناميكي غالبًا بأنه قابل للتحكم بقوة.

ضع في اعتبارك النظام الخطي المستمر ^{[ ملاحظة 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}}$$

يوجد تحكم u من الحالة x ₀ عند الزمن t ₀ إلى الحالة x ₁ عند الزمن t ₁ > t ₀ إذا وفقط إذا كان x ₁ − ϕ ( t ₀ , t ₁ ) x ₀ ينتمي إلى فضاء الأعمدة لـ $${\displaystyle W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{\mathsf {T}}\phi (t_{0},t)^{\mathsf {T}}\mathrm {d} t}$$ حيث ϕ ( t ₀ , t ) هي مصفوفة انتقال الحالة ، و W ( t ₀ , t ₁ ) هي مصفوفة غرام للتحكم .

في الواقع، إذا كان η ₀ هو حل لـ W ( t ₀ , t ₁ ) η = x ₁ − ϕ ( t ₀ , t ₁ ) x ₀ فإن التحكم المعطى بواسطة u ( t ) = − B ( t ) ^T ϕ ( t ₀ , t ) ^T η ₀ من شأنه أن يقوم بالتحويل المطلوب.

لاحظ أن المصفوفة W ( t ₀ , t ₁ ) المعرفة كما سبق لها الخصائص التالية:

تتضمن مصفوفة غرام للتحكم تكامل مصفوفة انتقال الحالة لنظام ما. ويُعدّ شرط الرتبة ، المشابه لشرط رتبة كالمان للأنظمة الثابتة زمنيًا، شرطًا أبسط للتحكم .

لنفترض نظامًا خطيًا مستمرًا في الزمن Σ يتغير بسلاسة في الفترة [ t ₀ , t ] : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}}$$

مصفوفة انتقال الحالة ϕ سلسة أيضًا. لنُعرّف الدالة المصفوفية M₀ ( t ) = ϕ ( t₀ , _t ) B ( t ) ذات القيم n × m _، ولنُعرّف $${\displaystyle M_{k}(t)={\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1.}$$

لنفترض مصفوفة الدوال ذات القيم المصفوفية التي تم الحصول عليها عن طريق سرد جميع أعمدة المصفوفة M ( M _i ، لـ i = 0، 1، ...، k ): $${\displaystyle M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right].}$$

^إذا وُجد عدد صحيح غير سالب k بحيث يكون رتبة M ( ^k ₎ ( t̅ ) = n ^، فإن Σ قابلة ^{للتحكم .} [ ³ ]

إذا كانت Σ تتغير تحليليًا أيضًا في الفترة [ t ₀ , t ] ، فإن Σ تكون قابلة للتحكم على كل فترة فرعية غير تافهة من [ t ₀ , t ] إذا وفقط إذا وُجد t̅ ∈ [ t ₀ , t ] وعدد صحيح غير سالب k بحيث يكون رتبة M ^{( k )} ( ti ₎ = n . ^{[ 3 ]}

قد تكون الطرق المذكورة أعلاه معقدة للتحقق، لأنها تتضمن حساب مصفوفة انتقال الحالة ϕ . يُعرَّف شرط مكافئ آخر كما يلي: ليكن _B₀ ( t ) = B ( t ) ، ولكل i ≥ 0 ، نُعرِّف $${\displaystyle B_{i+1}(t)=A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).}$$ في هذه الحالة، يتم الحصول على كل B _{_i} مباشرةً من البيانات ( A ( t ), B ( t )) . يكون النظام قابلاً للتحكم إذا وُجد t̅ ∈ [ t_₀ , t ₁ ] وعدد صحيح غير سالب k بحيث يكون rank( [ B _₀ ( t̅ ), B _₁ ( t̅ ), ..., B _{_k} ( t̅ ) ] ) = n . ^{[ 3 ]}

بالنسبة لنظام فضاء الحالة الخطي ذي الزمن المتقطع (أي متغير الزمن)${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$) معادلة الحالة هي $${\displaystyle {\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)}$$ حيث A مصفوفة من الرتبة n × n و B مصفوفة من الرتبة n × r (أي أن u هي r مدخلات مجمعة في متجه من الرتبة r × 1 ). ويتمثل اختبار قابلية التحكم في أن تكون المصفوفة من الرتبة n × nr$${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$$تتمتع المصفوفة C برتبة صف كاملة (أي أن رتبة C تساوي n ). بمعنى آخر، إذا كان النظام قابلاً للتحكم، فستحتوي C على n عمودًا مستقلة خطيًا ؛ وإذا كانت n عمودًا من C مستقلة خطيًا ، فيمكن الوصول إلى كل حالة من الحالات n عن طريق إعطاء النظام مدخلات مناسبة من خلال المتغير u ( k ) .

الأنظمة غير الخطية في شكل التحكم الأفيني

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}}$

يمكن الوصول إليها محلياً${\displaystyle x_{0}}$إذا كان توزيع إمكانية الوصول${\displaystyle R}$يمتد${\displaystyle n}$الفضاء، عندما${\displaystyle n}$يساوي بُعد${\displaystyle x}$و R معطاة بالصيغة التالية: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.}$

هنا،${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]}$هي عملية الأقواس المتكررة المحددة بواسطة

${\displaystyle [\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.}$

يمكن في الواقع اشتقاق مصفوفة قابلية التحكم للأنظمة الخطية في القسم السابق من هذه المعادلة.

عندما تُمارس سلطة التحكم على نظام ديناميكي خطي من خلال اختيار مصفوفة كسب التغذية الراجعة المتغيرة مع الزمن${\displaystyle K(t)}$النظام

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=(A-BK(t))\mathbf {x} }$

هو غير خطي، بمعنى أنه يحتوي على نواتج معلمات التحكم والحالات. توزيع إمكانية الوصول${\displaystyle R}$هو، كما كان من قبل،

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}.}$

من الواضح أنه لكي يكون النظام قابلاً للتحكم، فمن الضروري أن${\displaystyle R}$يتمتع بترتيب عمودي كامل. اتضح أن هذا الشرط كافٍ أيضًا. مع ذلك، يجب تعديل استراتيجية التحكم (المثلى) الموضحة سابقًا بحيث لا يمر المسار، عند تطبيق مدخل أمثل لتوجيه النظام بين الحالات المحددة، بنقطة الأصل، وإلا فلن يكون من الممكن كتابة مدخل التنظيم في شكل تغذية راجعة.${\displaystyle u=-K(t)\mathbf {x} }$تم إثبات إمكانية التحكم، فضلاً عن إمكانية التحكم القوية، لهذا النظام الثنائي الخطي في ^{[ 5 ] .}

تمثل القدرة على التحكم الجماعي القدرة على التوجيه${\displaystyle n}$الأنظمة الديناميكية الخطية التي تخضع لديناميكيات متطابقة

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}^{(i)}(t)=A\mathbf {x} ^{(i)}(t)+B\mathbf {u} ^{(i)}(t)}$

أين${\displaystyle n}$يساوي بُعد${\displaystyle \mathbf {x} }$، بين تكوينات البداية والنهاية المحددة عن طريق مصفوفة كسب التغذية الراجعة للحالة المشتركة${\displaystyle K(t)}$وبالتالي، يقوم كل منهما بإنشاء مدخل تحكم

${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}(t)=K(t){\mathbf {x} }^{(i)}(t)}$

ل${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$، على التوالى.

توزيع إمكانية الوصول${\displaystyle R}$يُعدّ امتلاك رتبة عمود كاملة شرطًا ضروريًا بشكل بديهي. وهو شرط كافٍ أيضًا، وفي الواقع، يمكن التحكم في المجموعة بشكل كبير، حيث يمكن توجيهها من تكوين أولي.

${\displaystyle \Phi (0)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(0)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(0)\end{bmatrix}}}$

إلى أي تكوين طرفي محدد

${\displaystyle \Phi (T)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(T)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(T)\end{bmatrix}},}$

متاح${\displaystyle \det(\Phi (0)\Phi (T))>0}$، خلال أي فترة زمنية محددة${\displaystyle [0,T]}$من خلال اختيار مصفوفة كسب التغذية الراجعة المتغيرة مع الزمن الشائعة${\displaystyle K(t)}$متاح${\displaystyle R}$له رتبة عمود كاملة. ^{[ 5 ]}

إذا كان نظام التحكم المنفصل قابلاً للتحكم الصفري، فهذا يعني أنه يوجد نظام قابل للتحكم${\displaystyle u(k)}$لهذا السبب.${\displaystyle x(k_{0})=0}$لبعض الحالة الأولية${\displaystyle x(0)=x_{0}}$بمعنى آخر، هذا يكافئ الشرط القائل بوجود مصفوفة${\displaystyle F}$بحيث${\displaystyle A+BF}$هو عديم القدرة.

يمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال التفكيك القابل للتحكم وغير القابل للتحكم.

تُعدّ قابلية التحكم في المخرجات مفهومًا ذا صلة بمخرجات النظام (المُشار إليها بـ y في المعادلات السابقة)؛ إذ تصف هذه القابلية قدرة مُدخل خارجي على نقل المخرجات من أي حالة ابتدائية إلى أي حالة نهائية خلال فترة زمنية محدودة. ولا يشترط وجود علاقة بين قابلية التحكم في الحالة وقابلية التحكم في المخرجات. وبالتحديد:

• لا يعني النظام القابل للتحكم بالضرورة إمكانية التحكم في مخرجاته. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة D تساوي صفرًا ، ولم تكن المصفوفة C ذات رتبة صفية كاملة، فإن بعض مواضع المخرجات ستكون محجوبة بسبب البنية المحدودة لمصفوفة المخرجات، وبالتالي غير قابلة للتحقيق. علاوة على ذلك، حتى لو أمكن نقل النظام إلى أي حالة في زمن محدود، فقد تكون هناك بعض المخرجات التي لا يمكن الوصول إليها من جميع الحالات. يستخدم مثال عددي بسيط المصفوفة D = صفرًا، والمصفوفة C التي تحتوي على صف واحد على الأقل من الأصفار؛ وبالتالي، لا يستطيع النظام إنتاج مخرج غير صفري على طول هذا البُعد.
• لا يعني النظام القابل للتحكم في المخرجات بالضرورة أنه قابل للتحكم في حالته. على سبيل المثال، إذا كان بُعد فضاء الحالة أكبر من بُعد المخرجات، فسيكون هناك مجموعة من تكوينات الحالة الممكنة لكل مخرج على حدة. أي أن النظام قد يمتلك ديناميكيات صفرية كبيرة ، وهي مسارات للنظام لا يمكن ملاحظتها من المخرجات. وبالتالي، فإن القدرة على توجيه المخرجات إلى موضع معين في زمن محدود لا تدل على تكوين حالة النظام.

بالنسبة لنظام خطي مستمر الزمن، كما في المثال أعلاه، والموصوف بالمصفوفات A و B و C و D ، فإن مصفوفة قابلية التحكم في المخرجات هي مصفوفة من الرتبة m × ( n + 1) r$${\displaystyle {\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}}$$ يكون للنظام رتبة صف كاملة (أي رتبة m ) إذا وفقط إذا كان قابلاً للتحكم في المخرجات. ^{[ 1 ] : 742.} في ظل شروط معينة، تُعتبر قابلية التحكم في المخرجات وقابلية الملاحظة الوظيفية للنظام مشكلتين رياضيتين متناظرتين . ^{[ 6 ]}

في الأنظمة ذات سلطة التحكم المحدودة، غالبًا ما يتعذر نقل أي حالة ابتدائية إلى أي حالة نهائية داخل الفضاء الفرعي القابل للتحكم. تعود هذه الظاهرة إلى قيود على المدخلات، قد تكون متأصلة في النظام (مثل تشبع المُشغِّل ) أو مفروضة عليه لأسباب أخرى (مثل اعتبارات السلامة). تُدرس قابلية التحكم في الأنظمة ذات قيود المدخلات والحالة في سياق نظرية الوصول ^{[ 7 ]} ونظرية الجدوى ^{[ 8 ]} .

في ما يُعرف بالنهج النظري للنظام السلوكي الذي وضعه ويليمز (انظر: الأفراد في الأنظمة والتحكم )، لا تُحدد النماذج المدروسة بنية المدخلات والمخرجات بشكل مباشر . في هذا الإطار، تُوصف الأنظمة بمسارات مقبولة لمجموعة من المتغيرات، والتي يمكن تفسير بعضها كمدخلات أو مخرجات.

يُعرَّف النظام بأنه قابل للتحكم في هذا السياق، إذا أمكن ربط أي جزء سابق من سلوك ما (مسار المتغيرات الخارجية) بأي مسار مستقبلي لهذا السلوك، بحيث يكون هذا الربط جزءًا من السلوك المسموح به للنظام. ^{[ 9 ] : 151}

يُعد مفهوم الاستقرار أقل دقة من مفهوم قابلية التحكم . يُقال إن النظام مستقر عندما يمكن جعل جميع متغيرات الحالة غير القابلة للتحكم ذات ديناميكيات مستقرة . وبالتالي، حتى لو لم يكن بالإمكان التحكم في بعض متغيرات الحالة (كما هو محدد في اختبار قابلية التحكم أعلاه)، فإن جميع متغيرات الحالة ستظل محدودة أثناء سلوك النظام. ^{[ 10 ]}

ليكن T ∈ T و x ∈ X (حيث X هي مجموعة جميع الحالات الممكنة و T هي فترة زمنية). تُعرَّف المجموعة التي يمكن الوصول إليها من x في الزمن T على النحو التالي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\},}$$ حيث يشير x T → z إلى وجود انتقال حالة من x إلى z في الوقت T.

بالنسبة للأنظمة المستقلة، تُعطى المجموعة التي يمكن الوصول إليها بالصيغة التالية: $${\displaystyle \mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B),}$$ حيث R هي مصفوفة قابلية التحكم.

تُعرف المجموعة التي يمكن التحكم بها، والتي ترتبط بالمجموعة التي يمكن الوصول إليها، كما يلي: $${\displaystyle C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}.}$$ تم تقديم العلاقة بين إمكانية الوصول وإمكانية التحكم من قبل سونتاغ: ^{[ 3 ]}

• مراقبة
• Hautus lemma

• دالة MATLAB للتحقق من إمكانية التحكم في النظام. مؤرشفة بتاريخ 10 فبراير 2012 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• دالة في برنامج Mathematica للتحقق من إمكانية التحكم في النظام